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Fiche explicative de la leçon : Inéquations à une inconnue avec valeurs absolues Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des inéquations à une inconnue qui contiennent des valeurs absolues.

On ne peut pas résoudre les équations avec des valeurs absolues de la même manière que les équations affines. De même, il faut une méthode spécifique pour résoudre les inéquations avec valeurs absolues.

Définition : La valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre 𝑥 est défini algébriquement comme suit:|𝑥|=𝑥𝑥0,𝑥𝑥<0.sisi

À partir de la définition de la valeur absolue, on voit qu’il y a toujours deux nombres qui ont la même valeur absolue non nulle, tandis que seul 0 a une valeur absolue de 0. Par exemple, les solutions de |𝑥|=4 sont les deux nombres à une distance de 4 unités à partir de 0 situés de chaque côté de 0, c’est-à-dire 4 et 4. Algébriquement, on peut transformer cette équation en deux équations, à savoir, 𝑥=4 pour 𝑥0 et 𝑥=4 pour 𝑥<0.

Les inéquations avec valeurs absolues sont les inéquations qui contiennent la valeur absolue d’un nombre exprimée en fonction de l’inconnue 𝑥. Les inéquations avec valeurs absolues les plus simples sont de la forme |𝑥|<𝑐,|𝑥|𝑐,|𝑥|>𝑐,|𝑥|𝑐,𝑐 est une constante.

Considérons, par exemple, |𝑥|4. Si on utilise la définition de la valeur absolue d’un nombre comme étant la distance entre 0 et ce nombre, la solution à cette inéquation est l’ensemble des nombres qui sont situés à une distance inférieure ou égale à 4 de 0. On peut représenter cela sur la droite graduée.

Cet ensemble de nombres est [4;4]. Alternativement, on peut écrire 4𝑥4.

Il convient de noter que si 𝑐 est négatif, l’inéquation n’a pas de solution, car la valeur absolue d’un nombre est toujours non négative.

Une forme un peu plus complexe d’une inéquation avec valeurs absolues est |𝑥𝑎|<𝑐,|𝑥𝑎|𝑐,|𝑥𝑎|>𝑐,|𝑥𝑎|𝑐,𝑐 est une constante.

Au lieu d’avoir la valeur absolue de 𝑥, on a la valeur absolue de 𝑥𝑎. Appelons ce nombre 𝑛. Donc, 𝑛=𝑥𝑎, qu’on peut réécrire comme 𝑎+𝑛=𝑥. Par conséquent, 𝑛 est le nombre qu’on ajoute à 𝑎, pour avoir 𝑥.

Considérons un curseur situé à 𝑎 sur une droite graduée;si on le déplace de 𝑛 le curseur sera à 𝑥. Si 𝑛 est positif, alors 𝑥 est plus grand que 𝑎 (c’est situé à droite par rapport à 𝑎), et si 𝑛 est négatif, alors 𝑥 est inférieur à 𝑎 (c’est situé à gauche par rapport à 𝑎).

On peut donc interpréter la valeur absolue de 𝑛, c’est-à-dire |𝑥𝑎|, comme la distance entre 𝑥 et 𝑎. Considérons, par exemple, l’inéquation |𝑥2|3.

Son ensemble des solutions est l’ensemble des nombres situés à une distance inférieure ou égale à 3 du nombre 2. Les deux nombres qui sont à une distance de 3 unités de 2 sont 1 et 5. Par conséquent, tous les nombres entre 1 et 5 sont situés à une distance maximale de 3 du nombre 2. L’ensemble des solutions est [1;5].

Inversons maintenant l’inéquation, |𝑥2|>3. La solution à cette inéquation est l’ensemble des nombres qui sont à une distance supérieure à 3 de 2. Ce sont tous les nombres qui sont inférieurs à 1 ou supérieur à 5. En notation d’ensemble, on a ];1[]5;++[.

Résumons nos découvertes.

Résultat standard : Ensemble des solutions d’une inéquation simple avec valeurs absolues

L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|𝑐 (avec 𝑐0) est un intervalle centré en 𝑎 de longueur 2𝑐:[𝑎𝑐;𝑎+𝑐].

De même, |𝑥𝑎|<𝑐 (avec 𝑐0) a l’ensemble des solutions ]𝑎𝑐;𝑎+𝑐[.

L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|>𝑐 est le complémentaire de l’ensemble des solutions de l’inéquation opposée |𝑥𝑎|𝑐, décrit ci-dessus:[𝑎𝑐;𝑎+𝑐]=];𝑎𝑐[]𝑎+𝑐;++[.

De même, |𝑥𝑎|𝑐 a l’ensemble des solutions ]𝑎𝑐;𝑎+𝑐[=];𝑎𝑐][𝑎+𝑐;++[.

On peut représenter cela sur une droite graduée.

Ce type d’inéquations correspond à des situations réelles de tolérance à un attribut mesurable spécifique d’un objet. Par exemple, considérons un menuisier qui coupe des morceaux de bois d’une longueur de 2,54 m avec une tolérance de 1 cm. Cela signifie que la longueur ne doit pas nécessairement être exactement 2,54 m mais peut être jusqu’à 1 cm plus grand ou plus petit que 2,54 m. Par conséquent, toute pièce dont la longueur est comprise entre 2,53 m et 2,55 m a la longueur requise;on dit que ces longueurs sont dans la marge de tolérance.

Voyons dans notre premier exemple comment décrire une telle situation par une inéquation avec valeurs absolues.

Exemple 1: Résoudre des problèmes en déterminant les limites de l’ensemble des solutions d’une inéquation avec valeurs absolues

Une usine produit des canettes d’un poids de 𝑥 grammes. Pour contrôler la qualité de la production, les cannettes ne peuvent être vendues que si |𝑥183|6. Déterminez le poids le plus lourd et le plus léger d’une cannette pouvant être vendue.

Réponse

Interprétons d’abord l’inéquation donnée, |𝑥183|6. Puisque 𝑥 est le poids d’une cannette en grammes, 𝑥183 représente la différence entre le poids réel de la boîte et le poids de 183 g. L’inéquation |𝑥183| est donc la différence entre le poids réel de la boîte et 183 g. L’inéquation |𝑥183|6 signifie que cette différence peut aller jusqu’à 6 grammes dans les deux sens;qui veut dire que le poids d’une cannette peut atteindre 6 grammes plus lourd ou plus léger que 183 g.

Par conséquent, le poids le plus lourd possible est 183+6=189,g et le poids le plus léger possible est 1836=177.g.

Dans l’exemple précédent, nous avons traité une situation dans laquelle une usine a pour objectif de produire des canettes avec un poids de 183 g;ce poids est le poids nominal. Cependant, puisqu’il est probablement difficile de produire des canettes avec un poids spécifique, une certaine variation autour du poids nominal est permise, 6 grammes;on dit qu’il y a une tolérance de 6 grammes. Pour chaque cannette, la différence entre son poids et le poids nominal est l’écart par rapport au poids nominal.

Résumons maintenant avec notre prochain exemple l’inverse de l’exemple précédent, à savoir, écrire une inéquation avec valeurs absolues pour décrire un intervalle.

Exemple 2: Former des inéquations avec valeurs absolues dans un problème de la vie courante

Sachant que les notes des élèves à un examen vont de 69 à 93, écrivez une inéquation avec valeurs absolues pour exprimer l’étendue des notes.

Réponse

On peut d’abord écrire l’étendue donnée comme un intervalle fermé, [69;93]. Rappelons que l’ensemble des solutions d’une inéquation avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|𝑐 est un intervalle fermé centré en 𝑎 avec une longueur 2𝑐. On peut donc trouver cette inéquation en déterminant le centre, 𝑎, de [69;93] et sa demi-longueur, 𝑐.

La longueur de [69;93] est définie par 2𝑐=9369=24.

On peut trouver son centre soit en utilisant la demi-longueur (𝑐=12) et en l’additionnant à la limite inférieure ou en la soustrayant de la limite supérieure:𝑎=69+12=9312=81, ou en calculant le milieu entre 69 et 93 (qui est la moyenne des deux valeurs):𝑎=12(69+93)=12×162=81.

Ainsi, on peut exprimer l’étendue de 69 à 93 comme l’inéquation avec valeurs absolues |𝑥81|12.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment certaines inéquations complexes sont équivalentes à une simple inéquation avec valeurs absolues.

Exemple 3: Réécrire une inéquation comme une inéquation avec valeurs absolues

Complétez:L’ensemble des solutions en de l’inéquation 4𝑥16𝑥+168 est égal à .

  1. {3;5}
  2. [3;5]
  3. ]3;5[
  4. [3;5]
  5. ]3;5[

Réponse

Pour commencer, rappelons qu’une racine carrée est toujours non négative. Par conséquent, on a 04𝑥16𝑥+168..

On peut maintenant évaluer le carré de chaque côté de l’inéquation, ce qui donne 04𝑥16𝑥+1664..

En divisant chaque côté par 4, on obtient 0𝑥4𝑥+416, et, en factorisant 𝑥4𝑥+4, on obtient 0(𝑥2)16.

Lorsqu’on prend la racine carrée de chaque côté, on obtient alors 0|𝑥2|4..

Rappelons que l’ensemble des solutions d’une inéquation avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|𝑐 est un intervalle fermé centré en 𝑎 avec une longueur 2𝑐, c’est-à-dire [𝑎𝑐;𝑎+𝑐].

Par conséquent, c’est ici [2;6], qui est l’option D.

Dans l’exemple précédent, représenter graphiquement la parabole 𝑦=𝑥4𝑥+4 et la droite horizontale 𝑦=16 nous permet de visualiser que, étant donné l’axe de symétrie d’une parabole, l’ensemble des solutions d’une inéquation de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐𝑑 est toujours centré dans la coordonnée 𝑥 du sommet de la parabole.

Il est à noter qu’on aurait aussi bien pu résoudre l’inéquation 04𝑥16𝑥+168 en déterminant les limites de l’intervalle, c’est-à-dire les coordonnées 𝑥 des points d’intersections de la parabole avec la droite 𝑦=16. Voici les solutions de l’équation:𝑥4𝑥+4=16,𝑥4𝑥12=0,qui sont 2 et 6.

Puisque le coefficient du terme 𝑥 dans 𝑥4𝑥+4 est positif, la parabole 𝑦=𝑥4𝑥+4 s’ouvre vers le haut, ce qui signifie, comme on le voit sur le graphique, que l’ensemble des solutions de l’inéquation 𝑥4𝑥+416 est [2;6].

Si la parabole était ouverte vers le bas et traversait toujours la droite 𝑦=16 aux mêmes points, elle serait en dessous de la droite pour tous 𝑥 dans l’ensemble ]2;6[.

Nous allons maintenant apprendre comment résoudre ces inéquations graphiquement et algébriquement. Ces méthodes nous permettront alors de résoudre des inéquations plus complexes. Récapitulons d’abord comment tracer la représentation graphique d’une fonction avec valeurs absolues. Pour ce faire, on peut compléter une table de valeur pour 𝑦=|𝑥|:𝑦=|𝑥|

𝑥3210123
𝑦3210123

Ensuite, on peut tracer les coordonnées sur un repère pour tracer le graphique:

La capacité à appliquer la définition de la valeur absolue et de tracer des graphiques avec valeurs absolues est très utile pour résoudre des inéquations avec valeurs absolues. Ainsi, s’exercer à ces compétences est très important.

Considérez l’inéquation |𝑥+1|3.

Résolvons la d’abord graphiquement. Donc, sur le même repère, on trace les graphiques de 𝑦=|𝑥+1| et 𝑦=3:

On peut voir que le graphique rouge, 𝑦=|𝑥+1|, est inférieur ou égal à 3 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à 4 et inférieur ou égal à 2. Donc, la solution à l’inéquation est 4𝑥2..

L’ensemble des solutions est [4;2].

Notez que le graphique de 𝑦=|𝑥+1| est symétrique par rapport à 𝑥=1, ce qui est cohérent avec l’interprétation de |𝑥+1|=|𝑥(1)| comme la distance entre 𝑥 et 1 comme nous l’avons appris plus tôt.

Maintenant, on peut également voir sur le graphique comment aborder la résolution de cette inéquation graphiquement. Le graphique rouge contient une partie de chacune des droites 𝑦=𝑥+1 et 𝑦=(𝑥+1). Donc, résoudre |𝑥+1|3 est équivalent à résoudre l’ensemble des inéquations composées 𝑥+13 et (𝑥+1)3. Si on multiplie chaque côté de la dernière inéquation par 1, on obtient 𝑥+13..

Par conséquent, |𝑥+1|3 est équivalent à 3𝑥+13..

Résolvons-la algébriquement en soustrayant d’abord 1 des trois termes:31𝑥+11314𝑥2..

Ceci est en accord avec les conclusions qu’on a obtenues en examinant les graphiques.

Les deux méthodes sont également acceptables pour résoudre les inéquations avec valeurs absolues, mais il est important de s’exercer à les utiliser, en particulier la résolution graphique, car cela aide à visualiser la solution. Il est également important de s’exercer à donner sa réponse sous diverses formes, y compris sous forme d’inéquations simplifiées sur des droites numériques et d’intervalles.

Voyons encore quelques exemples.

Exemple 4: Résoudre des inéquations avec valeurs absolues

Déterminez l’ensemble des solutions de l’inéquation |𝑥+4|<9.

Réponse

Nous allons résoudre cette question d’abord en utilisant la méthode graphique, puis la méthode algébrique. Pour résoudre l’inéquation graphiquement, nous devons tracer les graphiques de 𝑦=|𝑥+4| et de 𝑦=9 sur le même repère.

Pour tracer le graphique de 𝑦=|𝑥+4|, on résout d’abord 𝑥+4=0, et on obtient que 𝑥=4. Lorsque 𝑥4, 𝑥+40;par conséquent, |𝑥+4|=𝑥+4 et ainsi le graphique est le même que la droite 𝑦=𝑥+4 dans cette région. Pour 𝑥<4, 𝑥+4<0;ainsi, |𝑥+4|=(𝑥+4) et le graphique 𝑦=|𝑥+4| est le même que la droite 𝑦=𝑥4 dans cette région. Lorsqu’on trace ces deux droites avec 𝑦=9 sur un repère, on obtient ce qui suit.

On observe que les deux graphiques se croisent à (13;9) et (5;9) et que le graphique 𝑦=|𝑥+4| est au-dessous de la droite 𝑦=9 pour 13<𝑥<5. Par conséquent, on conclut que la solution à l’inéquation est 13<𝑥<5.

La question, cependant, demande l’ensemble des solutions de l’inéquation, qui serait écrit comme ]13;5[.

Si on veut résoudre l’inéquation algébriquement, on réécrit |𝑥+4|<9 comme l’inéquation composée:9<𝑥+4<9.

Si on soustrait 4 de chaque côté, on obtient 13<𝑥<5.

Par conséquent, l’ensemble des solutions est ]13;5[.

Considérons maintenant un exemple dans lequel on doit réarranger l’inéquation avant de la résoudre comme nous venons de le faire.

Exemple 5: Résoudre des inéquations avec valeurs absolues

Déterminez algébriquement l’ensemble des solutions de l’inéquation |7𝑥|+36.

Réponse

Remarquez ici que la question nous demande explicitement de calculer l’ensemble des solutions algébriquement;cependant, dans le but d’expliquer la solution, nous présenterons également la représentation graphique. Si on commence par soustraire 3 de chaque côté de l’inéquation, on obtient |7𝑥|9..

Maintenant, le côté gauche de l’inéquation est une valeur absolue qui est toujours supérieure ou égale à zéro, et le côté droit est un nombre négatif, donc il n’y a pas de solution car le côté gauche ne peut jamais être inférieur ou égal au côté droit. Cela peut être vu clairement en traçant les graphiques de 𝑦=9 et 𝑦=|7𝑥| dans le même repère:

Le graphique rouge ici n’est évidemment jamais inférieure à la droite bleue. Par conséquent, l’ensemble des solutions de l’inéquation est l’ensemble vide, .

Dans le dernier exemple, nous allons résoudre algébriquement une inéquation avec valeurs absolues plus complexe.

Exemple 6: Résoudre des inéquations avec valeurs absolues de manière algébrique

Déterminez algébriquement l’ensemble des solutions de l’inéquation |𝑥3|+|𝑥5|>6.

Réponse

On a ici une inéquation qui contient deux termes avec valeurs absolues, |𝑥3| et |𝑥5|. Si on applique la définition formelle de la valeur absolue de chaque terme on a |𝑥3|=𝑥3𝑥30,𝑥3,(𝑥3)𝑥3<0,𝑥<3,siousiou et |𝑥5|=𝑥5𝑥50,𝑥5,(𝑥5)𝑥5<0,𝑥<5,siousiou

Nous voyons que nous devons diviser en deux intervalles pour chaque terme avec valeur absolue, de sorte que soit divisé en 3 intervalles au total:];3[[3;5[[5;++[. Pour éviter les erreurs, utilisons une table de valeurs pour écrire la valeur de chaque terme avec valeur absolue pour chaque intervalle et réécrire ainsi l’inéquation pour chaque intervalle.

];3[[3;5[[5;++[
|𝑥3|(𝑥3)𝑥3𝑥3
|𝑥5|(𝑥5)(𝑥5)𝑥5
|𝑥3|+|𝑥5|>6(𝑥3)(𝑥5)>6𝑥3(𝑥5)>6𝑥3+𝑥5>6

Nous avons maintenant une inéquation à résoudre pour chacun des trois intervalles.

Pour 𝑥<3, on a (𝑥3)(𝑥5)>6.

Lorsqu’on développe les parenthèses, on obtient 𝑥+3𝑥+5>6, ce qui devient 2𝑥+8>6.

Si on soustrait 8 de chaque côté, on obtient 2𝑥>2.

Et, finalement, lorsqu’on multiplie chaque côté par 12 on obtient 𝑥<1.

Pour 3𝑥<5, on a 𝑥3(𝑥5)>6.

Lorsqu’on développe les parenthèses on obtient 𝑥3𝑥+5>6, ce qui devient 2>6.

Cette inéquation n’est pas vraie. Par conséquent, 𝑥 ne peut pas être dans l’intervalle [3;5[.

Pour 𝑥5, on a 𝑥3+𝑥5>6, ce qui devient 2𝑥8>6.

Si on ajoute 8 à chaque côté, on obtient 2𝑥>14.

Et, finalement, si on divise chaque côté par 2, on obtient 𝑥>7.

Lorsqu’on combine les 3 solutions, on constate que 𝑥<1𝑥>7,ou qui correspond à l’ensemble des solutions ];1[]7;++[=[1;7].

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut définir la valeur absolue d’un nombre comme sa distance par rapport à zéro.
  • On peut résoudre les inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|<𝑐 ou |𝑥𝑎|𝑐 (avec 𝑐0) algébriquement en les écrivant comme une inéquation composée de la forme 𝑐<𝑥𝑎<𝑐 ou 𝑐𝑥𝑎𝑐.
  • Les inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|>𝑐 ou |𝑥𝑎|𝑐 sont les opposés de |𝑥𝑎|<𝑐 ou |𝑥𝑎|𝑐, ce qui signifie que leurs ensembles des solutions sont complémentaires.
  • L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|𝑐 (avec 𝑐0) est un intervalle centré en 𝑎 avec une longueur 2𝑐:[𝑎𝑐;𝑎+𝑐];de même, |𝑥𝑎|<𝑐 (avec 𝑐0) a l’ensemble des solutions ]𝑎𝑐;𝑎+𝑐[.
  • L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|>𝑐 est [𝑎𝑐;𝑎+𝑐] et celui de |𝑥𝑎| est ]𝑎𝑐;𝑎+𝑐[.
  • On peut résoudre les inéquations avec valeurs absolues de la forme |𝑥𝑎|<𝑐 (ou tout autre symbole d’inégalité) graphiquement en représentant graphiquement la fonction avec valeurs absolues correspondante 𝑦=|𝑥𝑎| et la droite 𝑦=𝑐 et inspecter pour quelles valeurs de 𝑥 la fonction avec valeurs absolues est au-dessous de (pour les inéquations avec < ou ) ou au-dessus (pour les inéquations avec > ou ) de la droite 𝑦=𝑐.
  • On peut résoudre des inéquations plus complexes algébriquement en divisant en intervalles où les signes des nombres à l’intérieur des barres de valeur absolue de tous les termes avec valeurs absolues de l’inéquation ne changent pas. On peut alors réécrie les inéquations pour chacun de ces intervalles en utilisant la définition formelle de la valeur absolue et les résoudre séparément. On obtient la solution finale en combinant toutes les solutions.

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