Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des inéquations à une inconnue qui contiennent des valeurs absolues.
On ne peut pas résoudre les équations avec des valeurs absolues de la même manière que les équations affines. De même, il faut une méthode spécifique pour résoudre les inéquations avec valeurs absolues.
Définition : La valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre est défini algébriquement comme suit :
À partir de la définition de la valeur absolue, on voit qu’il y a toujours deux nombres qui ont la même valeur absolue non nulle, tandis que seul 0 a une valeur absolue de 0. Par exemple, les solutions de sont les deux nombres à une distance de 4 unités à partir de 0 situés de chaque côté de 0, c’est-à-dire 4 et . Algébriquement, on peut transformer cette équation en deux équations, à savoir, pour et pour .
Les inéquations avec valeurs absolues sont les inéquations qui contiennent la valeur absolue d’un nombre exprimée en fonction de l’inconnue . Les inéquations avec valeurs absolues les plus simples sont de la forme où est une constante.
Considérons, par exemple, . Si on utilise la définition de la valeur absolue d’un nombre comme étant la distance entre 0 et ce nombre, la solution à cette inéquation est l’ensemble des nombres qui sont situés à une distance inférieure ou égale à 4 de 0. On peut représenter cela sur la droite graduée.
Cet ensemble de nombres est . Alternativement, on peut écrire .
Il convient de noter que si est négatif, l’inéquation n’a pas de solution, car la valeur absolue d’un nombre est toujours non négative.
Une forme un peu plus complexe d’une inéquation avec valeurs absolues est où est une constante.
Au lieu d’avoir la valeur absolue de , on a la valeur absolue de . Appelons ce nombre . Donc, , qu’on peut réécrire comme . Par conséquent, est le nombre qu’on ajoute à , pour avoir .
Considérons un curseur situé à sur une droite graduée ; si on le déplace de le curseur sera à . Si est positif, alors est plus grand que (c’est situé à droite par rapport à ), et si est négatif, alors est inférieur à (c’est situé à gauche par rapport à ).
On peut donc interpréter la valeur absolue de , c’est-à-dire , comme la distance entre et . Considérons, par exemple, l’inéquation
Son ensemble des solutions est l’ensemble des nombres situés à une distance inférieure ou égale à 3 du nombre 2. Les deux nombres qui sont à une distance de 3 unités de 2 sont et 5. Par conséquent, tous les nombres entre et 5 sont situés à une distance maximale de 3 du nombre 2. L’ensemble des solutions est .
Inversons maintenant l’inéquation, . La solution à cette inéquation est l’ensemble des nombres qui sont à une distance supérieure à 3 de 2. Ce sont tous les nombres qui sont inférieurs à ou supérieur à 5. En notation d’ensemble, on a .
Résumons nos découvertes.
Résultat standard : Ensemble des solutions d’une inéquation simple avec valeurs absolues
L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme (avec ) est un intervalle centré en de longueur :
De même, (avec ) a l’ensemble des solutions
L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme est le complémentaire de l’ensemble des solutions de l’inéquation opposée , décrit ci-dessus :
De même, a l’ensemble des solutions
On peut représenter cela sur une droite graduée.
Ce type d’inéquations correspond à des situations réelles de tolérance à un attribut mesurable spécifique d’un objet. Par exemple, considérons un menuisier qui coupe des morceaux de bois d’une longueur de 2,54 m avec une tolérance de 1 cm. Cela signifie que la longueur ne doit pas nécessairement être exactement 2,54 m mais peut être jusqu’à 1 cm plus grand ou plus petit que 2,54 m. Par conséquent, toute pièce dont la longueur est comprise entre 2,53 m et 2,55 m a la longueur requise ; on dit que ces longueurs sont dans la marge de tolérance.
Voyons dans notre premier exemple comment décrire une telle situation par une inéquation avec valeurs absolues.
Exemple 1: Résoudre des problèmes en déterminant les limites de l’ensemble des solutions d’une inéquation avec valeurs absolues
Une usine produit des canettes d’un poids de grammes. Pour contrôler la qualité de la production, les cannettes ne peuvent être vendues que si . Déterminez le poids le plus lourd et le plus léger d’une cannette pouvant être vendue.
Réponse
Interprétons d’abord l’inéquation donnée, . Puisque est le poids d’une cannette en grammes, représente la différence entre le poids réel de la boîte et le poids de 183 g. L’inéquation est donc la différence entre le poids réel de la boîte et 183 g. L’inéquation signifie que cette différence peut aller jusqu’à 6 grammes dans les deux sens ; qui veut dire que le poids d’une cannette peut atteindre 6 grammes plus lourd ou plus léger que 183 g.
Par conséquent, le poids le plus lourd possible est et le poids le plus léger possible est .
Dans l’exemple précédent, nous avons traité une situation dans laquelle une usine a pour objectif de produire des canettes avec un poids de 183 g ; ce poids est le poids nominal. Cependant, puisqu’il est probablement difficile de produire des canettes avec un poids spécifique, une certaine variation autour du poids nominal est permise, 6 grammes ; on dit qu’il y a une tolérance de 6 grammes. Pour chaque cannette, la différence entre son poids et le poids nominal est l’écart par rapport au poids nominal.
Résumons maintenant avec notre prochain exemple l’inverse de l’exemple précédent, à savoir, écrire une inéquation avec valeurs absolues pour décrire un intervalle.
Exemple 2: Former des inéquations avec valeurs absolues dans un problème de la vie courante
Sachant que les notes des élèves à un examen vont de 69 à 93, écrivez une inéquation avec valeurs absolues pour exprimer l’étendue des notes.
Réponse
On peut d’abord écrire l’étendue donnée comme un intervalle fermé, . Rappelons que l’ensemble des solutions d’une inéquation avec valeurs absolues de la forme est un intervalle fermé centré en avec une longueur . On peut donc trouver cette inéquation en déterminant le centre, , de et sa demi-longueur, .
La longueur de est définie par
On peut trouver son centre soit en utilisant la demi-longueur et en l’additionnant à la limite inférieure ou en la soustrayant de la limite supérieure : ou en calculant le milieu entre 69 et 93 (qui est la moyenne des deux valeurs) :
Ainsi, on peut exprimer l’étendue de 69 à 93 comme l’inéquation avec valeurs absolues
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment certaines inéquations complexes sont équivalentes à une simple inéquation avec valeurs absolues.
Exemple 3: Réécrire une inéquation comme une inéquation avec valeurs absolues
Complétez : L’ensemble des solutions en de l’inéquation est égal à .
Réponse
Pour commencer, rappelons qu’une racine carrée est toujours non négative. Par conséquent, on a .
On peut maintenant évaluer le carré de chaque côté de l’inéquation, ce qui donne .
En divisant chaque côté par 4, on obtient et, en factorisant , on obtient
Lorsqu’on prend la racine carrée de chaque côté, on obtient alors .
Rappelons que l’ensemble des solutions d’une inéquation avec valeurs absolues de la forme est un intervalle fermé centré en avec une longueur , c’est-à-dire .
Par conséquent, c’est ici , qui est l’option D.
Dans l’exemple précédent, représenter graphiquement la parabole et la droite horizontale nous permet de visualiser que, étant donné l’axe de symétrie d’une parabole, l’ensemble des solutions d’une inéquation de la forme est toujours centré dans la coordonnée du sommet de la parabole.
Il est à noter qu’on aurait aussi bien pu résoudre l’inéquation en déterminant les limites de l’intervalle, c’est-à-dire les coordonnées des points d’intersections de la parabole avec la droite . Voici les solutions de l’équation : qui sont et 6.
Puisque le coefficient du terme dans est positif, la parabole s’ouvre vers le haut, ce qui signifie, comme on le voit sur le graphique, que l’ensemble des solutions de l’inéquation est .
Si la parabole était ouverte vers le bas et traversait toujours la droite aux mêmes points, elle serait en dessous de la droite pour tous dans l’ensemble .
Nous allons maintenant apprendre comment résoudre ces inéquations graphiquement et algébriquement. Ces méthodes nous permettront alors de résoudre des inéquations plus complexes. Récapitulons d’abord comment tracer la représentation graphique d’une fonction avec valeurs absolues. Pour ce faire, on peut compléter une table de valeur pour :
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
Ensuite, on peut tracer les coordonnées sur un repère pour tracer le graphique :
La capacité à appliquer la définition de la valeur absolue et de tracer des graphiques avec valeurs absolues est très utile pour résoudre des inéquations avec valeurs absolues. Ainsi, s’exercer à ces compétences est très important.
Considérez l’inéquation
Résolvons la d’abord graphiquement. Donc, sur le même repère, on trace les graphiques de et :
On peut voir que le graphique rouge, , est inférieur ou égal à 3 lorsque est supérieur ou égal à et inférieur ou égal à 2. Donc, la solution à l’inéquation est .
L’ensemble des solutions est .
Notez que le graphique de est symétrique par rapport à , ce qui est cohérent avec l’interprétation de comme la distance entre et comme nous l’avons appris plus tôt.
Maintenant, on peut également voir sur le graphique comment aborder la résolution de cette inéquation graphiquement. Le graphique rouge contient une partie de chacune des droites et . Donc, résoudre est équivalent à résoudre l’ensemble des inéquations composées et . Si on multiplie chaque côté de la dernière inéquation par , on obtient .
Par conséquent, est équivalent à .
Résolvons-la algébriquement en soustrayant d’abord 1 des trois termes : .
Ceci est en accord avec les conclusions qu’on a obtenues en examinant les graphiques.
Les deux méthodes sont également acceptables pour résoudre les inéquations avec valeurs absolues, mais il est important de s’exercer à les utiliser, en particulier la résolution graphique, car cela aide à visualiser la solution. Il est également important de s’exercer à donner sa réponse sous diverses formes, y compris sous forme d’inéquations simplifiées sur des droites numériques et d’intervalles.
Voyons encore quelques exemples.
Exemple 4: Résoudre des inéquations avec valeurs absolues
Déterminez l’ensemble des solutions de l’inéquation .
Réponse
Nous allons résoudre cette question d’abord en utilisant la méthode graphique, puis la méthode algébrique. Pour résoudre l’inéquation graphiquement, nous devons tracer les graphiques de et de sur le même repère.
Pour tracer le graphique de , on résout d’abord , et on obtient que . Lorsque , ; par conséquent, et ainsi le graphique est le même que la droite dans cette région. Pour , ; ainsi, et le graphique est le même que la droite dans cette région. Lorsqu’on trace ces deux droites avec sur un repère, on obtient ce qui suit.
On observe que les deux graphiques se croisent à et et que le graphique est au-dessous de la droite pour . Par conséquent, on conclut que la solution à l’inéquation est
La question, cependant, demande l’ensemble des solutions de l’inéquation, qui serait écrit comme .
Si on veut résoudre l’inéquation algébriquement, on réécrit comme l’inéquation composée :
Si on soustrait 4 de chaque côté, on obtient
Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Considérons maintenant un exemple dans lequel on doit réarranger l’inéquation avant de la résoudre comme nous venons de le faire.
Exemple 5: Résoudre des inéquations avec valeurs absolues
Déterminez algébriquement l’ensemble des solutions de l’inéquation .
Réponse
Remarquez ici que la question nous demande explicitement de calculer l’ensemble des solutions algébriquement ; cependant, dans le but d’expliquer la solution, nous présenterons également la représentation graphique. Si on commence par soustraire 3 de chaque côté de l’inéquation, on obtient .
Maintenant, le côté gauche de l’inéquation est une valeur absolue qui est toujours supérieure ou égale à zéro, et le côté droit est un nombre négatif, donc il n’y a pas de solution car le côté gauche ne peut jamais être inférieur ou égal au côté droit. Cela peut être vu clairement en traçant les graphiques de et dans le même repère :
Le graphique rouge ici n’est évidemment jamais inférieure à la droite bleue. Par conséquent, l’ensemble des solutions de l’inéquation est l’ensemble vide, .
Dans le dernier exemple, nous allons résoudre algébriquement une inéquation avec valeurs absolues plus complexe.
Exemple 6: Résoudre des inéquations avec valeurs absolues de manière algébrique
Déterminez algébriquement l’ensemble des solutions de l’inéquation .
Réponse
On a ici une inéquation qui contient deux termes avec valeurs absolues, et . Si on applique la définition formelle de la valeur absolue de chaque terme on a et
Nous voyons que nous devons diviser en deux intervalles pour chaque terme avec valeur absolue, de sorte que soit divisé en 3 intervalles au total : . Pour éviter les erreurs, utilisons une table de valeurs pour écrire la valeur de chaque terme avec valeur absolue pour chaque intervalle et réécrire ainsi l’inéquation pour chaque intervalle.
Nous avons maintenant une inéquation à résoudre pour chacun des trois intervalles.
Pour , on a
Lorsqu’on développe les parenthèses, on obtient ce qui devient
Si on soustrait 8 de chaque côté, on obtient
Et, finalement, lorsqu’on multiplie chaque côté par on obtient
Pour , on a
Lorsqu’on développe les parenthèses on obtient ce qui devient
Cette inéquation n’est pas vraie. Par conséquent, ne peut pas être dans l’intervalle .
Pour , on a ce qui devient
Si on ajoute 8 à chaque côté, on obtient
Et, finalement, si on divise chaque côté par 2, on obtient
Lorsqu’on combine les 3 solutions, on constate que qui correspond à l’ensemble des solutions
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- On peut définir la valeur absolue d’un nombre comme sa distance par rapport à zéro.
- On peut résoudre les inéquations avec valeurs absolues de la forme ou (avec ) algébriquement en les écrivant comme une inéquation composée de la forme ou .
- Les inéquations avec valeurs absolues de la forme ou sont les opposés de ou , ce qui signifie que leurs ensembles des solutions sont complémentaires.
- L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme (avec ) est un intervalle centré en avec une longueur : ; de même, (avec ) a l’ensemble des solutions .
- L’ensemble des solutions des inéquations avec valeurs absolues de la forme est et celui de est .
- On peut résoudre les inéquations avec valeurs absolues de la forme (ou tout autre symbole d’inégalité) graphiquement en représentant graphiquement la fonction avec valeurs absolues correspondante et la droite et inspecter pour quelles valeurs de la fonction avec valeurs absolues est au-dessous de (pour les inéquations avec ou ) ou au-dessus (pour les inéquations avec ou ) de la droite .
- On peut résoudre des inéquations plus complexes algébriquement en divisant en intervalles où les signes des nombres à l’intérieur des barres de valeur absolue de tous les termes avec valeurs absolues de l’inéquation ne changent pas. On peut alors réécrie les inéquations pour chacun de ces intervalles en utilisant la définition formelle de la valeur absolue et les résoudre séparément. On obtient la solution finale en combinant toutes les solutions.
