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Combien de nombres à trois chiffres
strictement inférieurs à 900 et ne comportant pas de chiffres répétés peuvent être
formés à l’aide des éléments de l’ensemble sept, un, neuf ?
Il existe plusieurs façons de
trouver ces nombres à trois chiffres. Tout d’abord, nous pourrions
simplement écrire tous les nombres possibles. Comme le nombre doit être
strictement inférieur à 900, nous savons que le premier chiffre, celui de la colonne
des centaines, ne peut pas être neuf. Cela signifie que le premier
chiffre doit être sept ou un. Commençons par le plus petit
chiffre, un. Nous le plaçons dans la colonne des
centaines. Et comme notre nombre ne peut avoir
aucun chiffre répété, nous devons placer un sept et un neuf dans la colonne des
dizaines et unités. Une façon de le faire nous donne le
nombre 179. Nous pourrions également placer
neuf et sept dans l’autre sens, en nous donnant 197. Ce sont les deux seuls nombres que
nous pouvons créer en ayant un dans la colonne des centaines.
Répéter cette méthode en plaçant
sept dans la colonne des centaines nous donne les nombres 719 et 791. Comme déjà mentionné, nous ne
pouvons pas placer neuf dans la colonne des centaines. Et nous pouvons donc conclure que
nous pouvons former quatre nombres à trois chiffres, tous strictement inférieurs à
900, sans chiffres répétés à partir de l’ensemble contenant les nombres sept, un et
neuf.
Une autre méthode pour résoudre ce
problème consiste à utiliser le principe multiplicatif du dénombrement. Cela indique que nous pouvons
trouver le nombre d’issues possibles en combinant deux ou plusieurs évènements en
multipliant le nombre d’issues possibles de chaque évènement ensemble. Dans ce cas, nos événements sont
les nombres que nous choisissons ; ce sont nos trois chiffres. Puisque notre nombre doit être
strictement inférieur à 900, son premier chiffre doit être un sept ou un. Cela signifie qu’il existe deux
façons possibles de choisir ce premier chiffre. Ensuite, nous considérons le
deuxième chiffre. Nous avons choisi un nombre de
notre ensemble, ce qui signifie qu’il nous reste deux nombres. Donc, il y a deux façons de choisir
un deuxième chiffre pour nous assurer que nous n’avons pas de chiffres répétés.
Enfin, nous passons au troisième
chiffre. Comme nous avons choisi deux
nombres de notre ensemble et que nous savons que nos chiffres ne peuvent pas se
répéter, il n’y a qu’une seule façon de choisir ce troisième chiffre. Le principe multiplicatif dit que
nous pouvons trouver le nombre de nombres à trois chiffres que nous pouvons obtenir
en multipliant ces valeurs ensemble. C’est deux multiplié par deux
multiplié par un, ce qui nous donne à nouveau une réponse de quatre. Il y a quatre nombres à trois
chiffres strictement inférieurs à 900 et sans chiffres répétés qui peuvent être
formés à l’aide des éléments de l’ensemble sept, un, neuf.
