Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment dénombrer les issues possibles lorsque nous avons des contraintes.
Le principe fondamental du dénombrement est très utile pour compter le nombre d’issues possibles dans le cas d’évènements indépendants.
Définition : Principe fondamental du dénombrement
Si on a deux évènements indépendants et de sorte que le nombre d’issues possibles pour l’évènement est et le nombre d’issues possibles pour l’évènement est , le nombre total de couples d’issues possibles distincts issus de ces deux évènements est le produit .
Dans cette fiche explicative, nous aimerions examiner les cas où l’issue d’un événement affecte celle d’autres événements et où nous avons des événements avec certaines contraintes. Dans ces cas, nous pouvons toujours appliquer le principe fondamental du dénombrement. Cependant, nous pourrons avoir besoin d’analyser le problème attentivement pour calculer le nombre d’issues possibles de chaque événement.
Imaginer que nous devons choisir un code PIN à trois chiffres ; s’il n’y a pas de contrainte sur les chiffres que nous pouvons choisir, le principe fondamental du dénombrement nous dit que le nombre total de choix possibles est . Cependant, quel serait le nombre total d’issues possibles si nous étions contraints de ne pas utiliser deux fois le même chiffre (ce qui équivaut à faire en sorte que chaque chiffre soit unique) ? Dans ce cas, le choix du premier chiffre réduit le nombre de choix possibles pour le deuxième, qui réduit à son tour le nombre de choix possibles pour le troisième. Ainsi, nous avons 10 choix pour le premier chiffre, 9 pour le deuxième et 8 pour le troisième. À ce stade, nous pouvons appliquer le principe fondamental du dénombrement et déterminer le nombre total d’issues possibles . Ces deux scénarios sont si fréquents que nous les distinguons avec la terminologie suivante.
Définition : Dénombrement avec ou sans remise
Pour sélectionner éléments parmi une collection de élément, on peut procéder de deux manières différentes :
- avec remise : le nombre d’éléments parmi lesquels nous sélectionnons reste fixe. Ainsi, chaque fois que nous choisissons un nouvel élément, il y a choix. C’est comme si, chaque fois que nous choisissions un élément, nous le remplacions par une copie identique. Dans ce cas, le nombre total d’issues possibles est .
- sans remise : le nombre d’éléments parmi lesquels nous choisissons diminue à chaque fois que nous en choisissons un. Par conséquent, nous avons choix pour le premier choix et pour le deuxième. C’est comme si nous choisissions des billes dans un sac sans les y remettre. Dans ce cas, le nombre d’élément que nous sélectionnons doit être inférieur ou égal au nombre total d’éléments, et le nombre total d’issues possibles est .
Exemple 1: Dénombrer sans remise
Déterminez le nombre de façons de former un nombre à 2 chiffres, sans répétition de chiffres, à partir de 4 chiffres différents de zéro.
Réponse
Nous choisissons 2 chiffres dans une collection de 4 chiffres distincts. Comme nous ne pouvons pas répéter deux fois le même chiffre, nous sommes dans le cas sans remise. Par conséquent, le nombre total d’issues possibles est .
Une autre façon de voir cela est que, pour le premier chiffre, nous avons 4 choix possibles. Ensuite, une fois que nous avons sélectionné ce chiffre, nous choisissons le second. Pour le second, nous ne pouvons pas choisir le même chiffre, il ne nous reste donc que trois choix possibles. Ainsi, d’après le principe fondamental du dénombrement, nous avons un total de façons distinctes de former le nombre à deux chiffres.
Nous allons maintenant examiner une manière différente de restreindre nos choix au moyen d’un exemple simple.
Exemple 2: Dénombrement des issues possibles sous des contraintes
Les numéros de téléphone sur un réseau particulier sont composés de douze chiffres, les trois premiers chiffres étant toujours 072. Déterminez le nombre total de numéros de téléphone différents que le réseau peut utiliser.
Réponse
On nous dit que tous les numéros de téléphone contiennent douze chiffres. Cependant, les trois premiers chiffres sont imposés. Dans ce cas, les trois premiers chiffres doivent être 072. Par conséquent, pour ces trois chiffres, nous n’avons aucun choix à faire. Ainsi, il suffit de déterminer les possibilités pour les neuf chiffres restants. Pour chacun de ces chiffres, il y a dix possibilités. Ainsi, selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre total de numéros de téléphone possibles sera .
L’exemple précédent a présenté l’approche générale pour résoudre des problèmes avec des contraintes.
Comment : Résoudre des problèmes de dénombrement avec contraintes
Lorsqu’on est confronté à des problèmes de dénombrement avec contraintes, il est généralement préférable de commencer par les issues avec le plus de contraintes. La méthode générale que nous suivons est la suivante :
- compter le nombre d’issues possibles pour les éléments contraints ;
- compter le nombre d’issues possibles pour les éléments restants sans contrainte ;
- calculer leur produit qui, selon le principe fondamental du dénombrement, correspond au nombre total d’issues possibles.
Nous allons maintenant regarder un certain nombre d’exemples où nous appliquerons cette méthode.
Exemple 3: Dénombrement sans remise avec contraintes
Combien de nombres à trois chiffres, inférieurs à 900 et sans chiffres répétés, peuvent être formés en utilisant les éléments de l’ensemble ?
Réponse
Nous commençons par examiner comment la contrainte affecte le nombre d’issues possibles. On nous dit que le nombre doit être inférieur à 900. Cela signifie que le premier chiffre ne peut pas être un neuf. Par conséquent, il y a deux choix possibles pour le premier chiffre : 7 ou 1.
Une fois que nous avons choisi ce chiffre, étant donné que nous choisissons sans remise, il reste deux choix pour le deuxième chiffre, puis il ne reste plus qu’un choix pour le dernier.
Ainsi, d’après le principe fondamental du dénombrement, le nombre total de nombres que nous pouvons former est .
Exemple 4: Dénombrement avec contraintes
De combien de façons peut-on constituer un nombre à trois chiffres, commençant par un chiffre pair et ne contenant pas deux fois le même chiffre avec les chiffres ?
Réponse
Nous commençons par considérer le nombre d’options possibles pour le chiffre contraint. On nous dit que le premier chiffre doit être pair. La collection de chiffres donnée contient quatre chiffres pairs : 2, 4, 6 et 8.
Comme nous comptons sans remise, après avoir choisi le premier chiffre, nous avons 7 options pour le deuxième et 6 pour le troisième chiffre.
Ainsi, d’après le principe fondamental du dénombrement, le nombre total de nombres que nous pouvons former est .
Considérons un exemple concret de problème de dénombrement avec plusieurs contraintes.
Exemple 5: Dénombrer avec plusieurs contraintes
Cinq enfants doivent s’asseoir à l’arrière d’un autocar. Il y a cinq sièges l’un à côté de l’autre. Cependant, Rémi et Pierre ne veulent pas être assis à coté. De combien de façons peut-on asseoir les enfants sur les cinq sièges de telle sorte que Rémi et Pierre ne soient pas assis à côté ?
Réponse
Nous commençons par étudier la contrainte. Puisque Rémi et Pierre ne veulent pas s’asseoir à côté, nous devons considérer tous les arrangements possibles pour ces deux-là afin qu’ils ne soient pas l’un à côté de l’autre. On commence par choisir le siège de Pierre ; s’il est assis sur le premier siège, Rémi peut s’asseoir sur l’un des trois derniers. Il y a donc trois possibilités si Pierre est assis sur le premier siège.
Si Pierre est assis sur le deuxième siège. Rémi ne peut s’asseoir que sur l’un des deux derniers. Par conséquent, il n’y a que deux possibilités si Pierre est assis sur le deuxième siège.
Si Pierre est assis sur le siège du milieu, Rémi ne peut s’asseoir que sur l’un des deux sièges aux extrémités, il y a donc deux possibilités.
Si Pierre est assis sur le quatrième siège, Rémi peut s’asseoir sur l’un des deux premiers sièges. Par conséquent, il y a deux possibilités si Pierre est assis sur le quatrième siège. Notez que c’est le même scénario que lorsque Pierre était assis sur le deuxième siège.
Enfin, Pierre peut s’asseoir sur le dernier siège, ce qui laisse à Rémi le choix de l’un des trois premiers sièges. Par conséquent, il y a trois possibilités si Pierre est assis sur le dernier siège.
Par conséquent, le nombre total de possibilités pour Rémi et Pierre est la somme de ces options : .
Dans tous les cas, il reste trois sièges et trois enfants à asseoir. Étant donné que nous comptons sans remise, le nombre total de possibilités pour remplir les trois derniers sièges avec les enfants restants est . Ainsi, selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre total de manières d’asseoir les enfants sur les cinq sièges sans que Rémi et Pierre ne soient à coté est .
Une autre façon de calculer cela est de considérer le nombre total de manière d’asseoir les enfants sur les sièges et parmi elles de déterminer le nombre d’issues où Rémi et Pierre sont assis à côté et de prendre la différence. Nous détaillerons également cette méthode.
Premièrement, nous calculons le nombre total de façons d’asseoir les enfants. Comme nous comptons sans remise, le nombre total d’issues est . On considère maintenant les configurations dans lesquelles Rémi et Pierre sont à côté. Il y a quatre façons de les placer à côté l’un de l’autre.
Pour chacune de ces possibilités, il y a deux possibilités pour Rémi et Pierre : soit Rémi est à gauche de Pierre, soit Pierre est à gauche de Rémi. Par conséquent, le nombre total de possibilités pour que Rémi et Pierre soient assis à côté est . Ensuite, les trois sièges peuvent être occupés par les autres enfants ; Le nombre de possibilités pour ces enfants est de . Ainsi, le nombre total de possibilités pour que Rémi et Pierre soient assis à côté est . Enfin, nous pouvons calculer le nombre total de façons d’asseoir les enfants de telle sorte que Rémi et Pierre ne soient pas à côté en soustrayant ce nombre du nombre total d’issues possible comme cela : .
Comme nous l’avons vu, il y a souvent plusieurs façons de calculer le nombre d’issues possibles. Gagner en confiance en utilisant différentes méthodes aidera beaucoup.
Nous terminons avec un autre exemple plus complexe pour montrer comment nous pouvons appliquer cette méthode même à des scénarios assez compliqués.
Exemple 6: Dénombrer avec plusieurs contraintes
Kenza et Adrien organisent leur mariage. Ils travaillent sur le plan de la table d’honneur à la réception. Leur table est une table droite avec 8 sièges sur un côté. Il faut y installer les mariés, les parents de la mariée, les parents du marié, le garçon d’honneur et la demoiselle d’honneur. Sachant que tous les couples doivent s’asseoir l’un à côté de l’autre et que le garçon d’honneur et la demoiselle d’honneur ne sont pas un couple, de combien de façons différentes peut-on asseoir tout le monde à la table d’honneur ?
Réponse
Nous commençons par examiner les issues avec le plus de contraintes : les trois couples qui doivent être assis ensemble. Nous examinons d’abord le nombre de manières d’asseoir les trois couples. Considérant les couples comme un bloc, nous pouvons chercher à arranger trois objets dans trois espaces. Cela consiste à dénombrer sans remise ; ainsi, le nombre de possibilités est . Cependant, pour chaque couple, il y a deux façons de s’asseoir côte à côte. Par conséquent, pour chacune de ces six options, il y a façons d’asseoir les couples. Ainsi, le nombre total de possibilités est . Enfin, nous pouvons nous intéresser au garçon d’honneur et à la demoiselle d’honneur. En commençant par le garçon d’honneur, il pourrait être placé à chaque extrémité ou entre n’importe quelle paire de couples.
Par conséquent, il y a quatre options pour lui. Enfin, la demoiselle d’honneur pourrait être placée à chaque extrémité ou entre chacun des blocs garçon d’honneur ou couple.
Par conséquent, il y a cinq options pour la demoiselle d’honneur. Ainsi, d’après le principe fondamental du dénombrement, le nombre total de placements pour la table d’honneur est .
Une autre façon d’aborder ce problème est d’ignorer d’abord la disposition des couples et de simplement dire qu’il y a cinq groupes (trois couples et deux personnes) que nous devons disposer à cinq places. Le nombre de possibilités pour cela est de . Maintenant, nous pouvons considérer la disposition des couples : pour chaque couple, il y a deux arrangements possibles donnant un total de possibilités pour les couples. Ainsi, d’après le principe fondamental du dénombrement, le nombre total de placements pour la table d’honneur est .
Récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Nous pouvons étendre l’utilisation du principe fondamental du dénombrement aux scénarios où il y a différentes contraintes sur les issues possibles.
- En comptant avec remise, le nombre total d’issues de éléments choisis parmi éléments est donné par .
- En comptant sans remise, le nombre total d’issues du choix de éléments parmi une collection de éléments est donné par .
- Lorsque nous cherchons à dénombrer des issues avec des contraintes, nous devons commencer par les issues les plus contraintes et procéder ensuite avec avec les moins contraintes.
- En utilisant ces techniques, nous sommes en mesure d’aborder des scénarios relativement compliqués.
