Vidéo : Compter le nombre d’issues sous une contrainte

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à compter le nombre d’issues possibles lorsque nous avons des contraintes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à compter un certain nombre d’issues possibles sous certaines contraintes données. Et pour ce faire, nous commençons par rappeler le principe fondamental du dénombrement, parfois appelé la règle du produit du dénombrement. Elle dit que si les évènements 𝐴 et 𝐵, qui sont des évènements indépendants, ont des issues possibles respectives 𝑚 et 𝑛, alors le nombre total d’issues possibles pour l'ensemble des évènements est le produit de celles-ci. Il s'agit de 𝑚 fois 𝑛.

Par exemple, de combien de façons peut-on créer un code pin à trois chiffres en utilisant les nombres de zéro à neuf ?

Il y a 10 nombres possibles que nous pouvons utiliser pour chaque chiffre. Cela signifie qu'il y a 10 façons de choisir le premier chiffre, 10 façons de choisir le deuxième chiffre et 10 façons de choisir le troisième chiffre. Le principe fondamental de dénombrement nous dit que le nombre total de résultats possibles est alors le produit de ceux-ci. C'est 10 fois 10 fois 10 ou bien sûr 10 au cube, ce qui est égal à 1000. En fait, nous pouvons généraliser. Et nous pouvons dire que lorsque l'on compte avec remise, en d'autres termes, la répétition est autorisée, alors le nombre total de résultats à partir de 𝑛 évènements répétés de choisir parmi 𝑚 éléments est donné comme 𝑚 à la puissance 𝑛.

Remarquez cependant que cela concerne spécifiquement les évènements indépendants, ceux où le résultat du premier évènement n'affecte pas le résultat du second. En d'autres termes, dans ce cas, lorsque nous avons choisi ce premier chiffre, cela n'a pas affecté le nombre que nous avons pu choisir pour le deuxième chiffre. Si ce n'est pas le cas, par exemple, lorsqu'il y a des contraintes sur l'utilisation de ce nombre deux fois, alors nous pouvons toujours utiliser le principe fondamental du dénombrement. Mais nous devons être un peu plus prudents. Voyons à quoi cela peut ressembler.

Combien de nombres à quatre chiffres, sans répétition, peuvent être formés en utilisant les éléments de l'ensemble contenant zéro, un, trois et quatre ?

Nous créons donc des nombres à quatre chiffres, et nous ne pouvons pas répéter ces chiffres. Nous savons que nous pouvons compter le nombre total de résultats possibles en utilisant le principe fondamental du dénombrement, ou la règle du produit de dénombrement. Cette règle dit que lorsqu'on combine plusieurs évènements, le nombre total de résultats est obtenu en multipliant le nombre de résultats de chaque évènement. Nous devons donc identifier ce qu'est réellement chaque évènement. Le premier évènement est de choisir le premier chiffre, le deuxième est de choisir le deuxième, et ainsi de suite. Il y a quatre éléments dans notre ensemble, mais cela ne veut pas dire qu'il y a quatre façons de choisir le premier chiffre. En fait, pour que notre nombre soit un nombre à quatre chiffres, son premier chiffre ne peut pas être zéro. Il ne peut être seulement un, trois ou quatre. Il n'y a donc en fait que trois façons de choisir le premier chiffre.

Ensuite, nous considérons le deuxième chiffre. Nous avons déjà choisi un nombre dans la liste un, trois et quatre. Et nous savons que nous ne pouvons pas répéter un de ces chiffres. Et donc, si nous prenons un des nombres de notre ensemble, il ne nous en reste plus que trois. Il y a trois façons de choisir le deuxième chiffre. Nous passons maintenant au troisième chiffre et nous disons que nous avons déjà choisi deux nombres possibles dans la liste, ce qui nous en laisse deux. Et de même, lorsque nous arrivons au quatrième chiffre, nous avons déjà pris trois nombres, et il ne nous en reste donc qu'un nombre à choisir. Le principe de dénombrement dit alors que le nombre total de résultats, qui est ici le nombre total de nombres à quatre chiffres, est le produit de ces valeurs. C'est trois fois trois fois deux fois un, ce qui est égal à 18. Nous pouvons faire 18 nombres à quatre chiffres étant donné qu'aucun chiffre ne peut être répété à partir des éléments de notre ensemble.

Prenons un exemple similaire pour voir si nous pouvons généraliser ceci.

Le mot de passe de David doit comporter cinq caractères. Il peut utiliser les chiffres de zéro à neuf et ne peut pas utiliser le même chiffre plus d'une fois. Combien de mots de passe différents David pourrait-il créer ?

Nous cherchons à trouver le nombre total de mots de passe à cinq chiffres, en gardant à l'esprit que nous ne pouvons pas utiliser le même chiffre plus d'une fois. Nous rappelons donc le principe fondamental du dénombrement ou la règle du produit de dénombrement. Cela nous dit que nous pouvons trouver le nombre total de résultats pour deux ou plusieurs évènements en multipliant ensemble le nombre de résultats pour chaque évènement. Ici, les évènements consistent à choisir le premier caractère, le deuxième caractère jusqu'au cinquième caractère. Et comme nous travaillons avec les chiffres de zéro à neuf inclus, il y a un total de 10 chiffres à partir desquels choisir. Et il y a donc 10 résultats différents possibles pour le premier évènement pour choisir ce premier chiffre.

Maintenant, il est vraiment important de réaliser que nous ne pouvons pas utiliser le même chiffre plus d'une fois lorsque nous considérons le nombre total de résultats pour notre deuxième évènement, c'est-à-dire lorsque nous choisissons le deuxième chiffre. Nous en avons déjà choisi un parmi les chiffres de zéro à neuf, ce qui nous laisse seulement neuf autres à choisir. De même, lorsque nous arrivons au troisième chiffre, nous savons que nous avons déjà pris deux chiffres possibles dans notre liste. Il nous reste donc huit chiffres à choisir.

De la même manière, il y a sept façons de choisir le quatrième chiffre et seulement six façons de choisir le cinquième. Le principe du dénombrement ou la règle du produit pour le dénombrement nous dit que nous devons maintenant multiplier ces nombres ensemble. 10 fois neuf fois huit fois sept fois six est 30 240. Nous voyons donc qu'il y a 30 240 mots de passe différents que David pourrait créer étant donné qu'il ne peut utiliser que les chiffres de zéro à neuf et ne peut pas les utiliser plus d'une fois.

Nous pouvons maintenant généraliser ce résultat. Nous appelons cela le dénombrement sans remise. Et c'est parce que nous enlevons un chiffre, nous ne le remettons pas et nous ne l'utilisons pas une nouvelle fois. Et nous disons que lorsqu’on compte sans remise, le nombre total de façons de choisir les articles 𝑛 dans une collection de 𝑚 est 𝑚 fois 𝑚 moins un fois 𝑚 moins deux jusqu'à 𝑚 moins 𝑛 moins un.

Examinons maintenant une autre façon d'imposer des contraintes.

Après une réorganisation récente, James prend la responsabilité de la fabrication des nombres impairs dans la chaîne de production des numéros sur les plaques de maisons. Dans le cadre de son enquête scientifique sur les niveaux de production, il veut savoir combien de nombres de trois chiffres ne contiennent que des nombres impairs. Calculez la réponse pour lui.

Nous voulons déterminer le nombre total de plaques de maison à trois chiffres. Cependant, il y a une contrainte assez importante à ce sujet. Ces nombres ne peuvent contenir que des chiffres impairs, c'est-à-dire qu'ils doivent être composés des nombres un, trois, cinq, sept ou neuf. Considérons donc chacun des chiffres à tour de rôle.

Le premier chiffre peut être n'importe lequel de ces nombres. Il peut s'agir d'un, trois, cinq, sept ou neuf. Il y a donc cinq façons possibles de choisir le premier chiffre. Il n'y a pas de contraintes sur l'utilisation du même chiffre plus d'une fois. Par exemple, nous pourrions choisir le chiffre un, un, un ; ce serait bien. Il y a donc toujours cinq façons de choisir le deuxième chiffre. Le deuxième chiffre peut être n'importe lequel de ces nombres impairs. Ensuite, pour le troisième chiffre, nous avons exactement la même situation. Nous pouvons choisir les chiffres un, trois, cinq, sept ou neuf. Il y a donc cinq façons de choisir le troisième chiffre.

Le principe fondamental de dénombrement ou la règle du produit de dénombrement dit que le nombre total de façons de choisir celles-ci est alors le produit de celles-ci. C'est cinq fois cinq fois cinq, ce qui fait 125. Il y a donc 125 nombres à trois chiffres qui ne contiennent que des chiffres impairs.

Considérons un contexte un peu différent.

Un bâtiment a cinq portes qui sont numérotées un, deux, trois, quatre, cinq. Déterminez le nombre de manières dont une personne peut entrer, puis quitter le bâtiment, si elle ne peut pas utiliser la même porte deux fois.

Essayons de visualiser cela. Notre bâtiment a cinq portes, et étiquetons-les comme un, deux, trois, quatre, cinq comme on nous le dit. Imaginons qu’une personne cherche à entrer dans le bâtiment. Il y a cinq façons possibles de le faire. Mais imaginons, pour les besoins de l'argument, qu'elle choisit la porte numéro deux. Une fois à l'intérieur du bâtiment, on nous dit qu’elle ne peut pas utiliser la même porte deux fois, et nous éliminons donc la porte numéro deux comme sortie. En regardant autour de nous, nous voyons maintenant qu'il y a une, deux, trois, quatre façons possibles pour cette personne de sortir du bâtiment. Elle peut, par exemple, choisir la porte quatre. Il y a donc cinq façons possibles d'entrer dans le bâtiment. Mais une fois dans le bâtiment, il n'y a que quatre façons possibles de sortir.

La règle du produit pour le dénombrement ou le principe du dénombrement nous dit que le nombre total de façons par lesquelles une personne peut entrer puis sortir du bâtiment compte tenu de ces contraintes est le produit de celles-ci. C'est cinq fois quatre, soit 20. Il y a donc 20 façons possibles pour une personne d'entrer et de sortir du bâtiment, étant donné qu'elle ne peut pas utiliser la même porte deux fois.

Dans notre tout dernier exemple, nous allons voir comment déterminer le nombre de possibilités d'un plan de table.

Mia et Daniel sont en train de planifier leur mariage. Ils travaillent sur le plan de table pour la table d'honneur de la réception. Leur table d’honneur est une table droite avec huit places sur un côté. Elle doit accueillir les mariés, les parents de la mariée, les parents du marié, le témoin et la demoiselle d'honneur. Étant donné que tous les couples doivent s'asseoir l'un à côté de l'autre, et que le témoin et la demoiselle d'honneur ne sont pas un couple, combien y a-t-il de façons différentes d'installer tout le monde à la table d’honneur ?

Nous avons quelques contraintes quant à la manière dont nous installons chaque couple, la demoiselle d'honneur et le témoin. Commençons par considérer les couples qui sont les mariés, les parents de la mariée et les parents du marié comme trois unités. Et nous allons commencer par déterminer le nombre total de façons d'installer ces trois couples. Il y a trois façons de choisir le premier couple à s'asseoir. Il y a deux façons de choisir le deuxième couple et une façon de choisir le troisième. Et, bien sûr, la règle du produit pour le dénombrement ou le principe de dénombrement dit que le nombre total d'options est le produit de celles-ci. C'est trois fois deux fois un, c'est-à-dire six.

Nous avons donc six façons d'installer les couples. Mais bien sûr, chaque couple peut s'asseoir dans un ordre différent. Nous pourrions avoir les mariés ou le marié puis la mariée. Et si nous y réfléchissons bien, il y a deux façons d'installer les mariés, deux façons d'installer les parents de la mariée et deux façons d'installer les parents du marié. Deux fois deux fois deux est égal à huit, ce qui signifie qu'il y a huit façons pour chaque couple de s'asseoir l'un à côté de l'autre. N'oubliez pas qu'il s'agit de chacune des six façons originales d'installer les couples. Cela signifie que le nombre total de possibilités de s'asseoir est le produit de ces deux ensembles de résultats. C'est six fois huit, soit 48. Nous avons donc 48 façons de placer ces couples.

Et nous passons maintenant aux places du témoin et de la demoiselle d'honneur. Nous les considérons individuellement car on nous dit qu'ils ne sont pas en couple et qu'ils n'ont donc pas nécessairement besoin de s'asseoir l'un à côté de l'autre. Et donc si nous pensons à la table d’honneur avec nos trois couples déjà assis, il pourrait s'asseoir à l'une ou l'autre extrémité. Mais il peut aussi s'asseoir à n'importe quel endroit entre les couples. Il doit donc y avoir quatre possibilités de sièges pour lui. Ensuite, une fois que le témoin est assis, la demoiselle d'honneur peut s'asseoir aux deux extrémités. Mais elle peut aussi s'asseoir entre n'importe lequel des couples et/ou le témoin, selon l'endroit où il se trouve. Cela signifie qu'il existe cinq façons différentes de placer la demoiselle d'honneur.

Maintenant que nous avons considéré tous les évènements possibles, c'est-à-dire l'installation des couples, du témoin et de la demoiselle d'honneur, nous savons que le principe fondamental de dénombrement nous dit de trouver le produit de ces trois éléments. Cela fait 48 fois quatre fois cinq, ce qui équivaut à 960. Il existe au total 960 façons différentes d'installer tout le monde à la table d’honneur.

En fait, ce n'est pas la seule façon de répondre à ce problème. On peut aussi simplement considérer qu'il y a cinq groupes différents ; il y a trois couples et deux individus. Nous dirions donc qu'il y a cinq façons de choisir le premier groupe, quatre façons de choisir le deuxième groupe, trois façons de choisir le troisième, etc., ce qui nous donne un total de 120 façons différentes d'organiser ces cinq places.

Ensuite, nous revenons à la manière dont les couples sont arrangés. Nous savons que chaque couple pourrait s'asseoir dans un ordre légèrement différent. Il y a donc deux fois deux fois deux, ce qui fait huit arrangements pour nos couples. Une fois de plus, le principe fondamental de dénombrement nous dit que le nombre total de façons différentes d'installer chacun est le produit de celles-ci. C'est 120 fois huit, soit encore une fois 960.

Nous allons maintenant voir les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons étendre l'utilisation du principe fondamental du dénombrement aux scénarios où il y a des contraintes sur les résultats possibles. Nous avons vu que lorsque l'on compte avec remise, le nombre total de résultats de 𝑛 évènements répétés de choisir parmi 𝑚 éléments est 𝑚 à la puissance 𝑛. En revanche, en comptant sans remise, nous avons 𝑚 fois 𝑚 moins un fois 𝑚 moins deux jusqu'à 𝑚 moins 𝑛 moins un.

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