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Vrai ou faux : le produit mixte des vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰 nous donne un vecteur de norme égale au volume du parallélépipède défini par les vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰.
Nous commençons par rappeler la définition du produit mixte. Elle indique que le produit mixte de trois vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰 est défini comme indiqué. Comme son nom le suggère, il donne une quantité scalaire. Et cela est égal au déterminant de la matrice trois fois trois représentée, où 𝑢 indice 𝑥, 𝑢 indice 𝑦 et 𝑢 indice 𝑧 sont les composantes du vecteur 𝐮 ; 𝑣 indice 𝑥, 𝑣 indice 𝑦 et 𝑣 indice 𝑧 les composantes du vecteur 𝐯 ; et 𝑤 indice 𝑥, 𝑤 indice 𝑦 et 𝑤 indice 𝑧 les composantes du vecteur 𝐰.
Puisque cela génère une quantité scalaire et non un vecteur, nous pouvons déjà conclure que l’affirmation est fausse. Cependant, il convient également de noter la signification géométrique du produit mixte et son lien avec cette question. Le volume du parallélépipède déterminé par les vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰 est égal à la valeur absolue du produit mixte des vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰. Il s’agit de la valeur absolue du déterminant de la matrice trois fois trois indiquée. Et comme déjà mentionné, cela génère une quantité scalaire et non un vecteur.
