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Vidéo de question : Utilisation d’identités périodiques pour évaluer une expression trigonométrique impliquant des angles remarquables Mathématiques

Déterminez la valeur de cos 135° + tan 135° + cosec 225° + cos 225°.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de cosinus de 135 degrés plus tangente de 135 degrés plus cosécante de 225 degrés plus cosinus de 225 degrés.

Pour répondre à cette question, rappelons quelques propriétés des angles remarquables. Le sinus de 45 degrés est égal à racine de deux sur deux. De même, le cosinus de 45 degrés est égal à racine de deux sur deux. La tangente de 45 degrés est égale à un.

Ensuite, examinons les graphiques entre zéro et 360 degrés. La courbe de sinus 𝜃 a une valeur maximale de un et une valeur minimale de moins un. Elle commence à zéro et se termine à zéro. La partie de la courbe comprise entre zéro et 180 degrés est symétrique par rapport à la droite d’équation 𝜃 égale 90 degrés. 45 degrés est à mi-chemin entre zéro et 90 degrés. 225 degrés est à mi-chemin entre 180 et 270 degrés.

Ainsi, le sinus de 225 degrés est égal à moins le sinus de 45 degrés. Le sinus de 225 degrés est donc égal à moins racine de deux sur deux. Nous pouvons utiliser cette valeur pour calculer la cosécante de 225 degrés, car la cosécante de 𝜃 égale un sur sinus 𝜃.

La courbe de cosinus a également une valeur maximale de un et une valeur minimale de moins un. Cosinus de zéro égale un. Cosinus de 360° égale un. La partie de la courbe représentée est symétrique par rapport à la droite d’équation 𝜃 égale 180 degrés. Encore une fois, nous avons des valeurs à mi-chemin entre 90 et 180, et 180 et 270. Nous voyons que le cosinus de 135 degrés est égal au cosinus de 225 degrés. Ceci est égal à moins cosinus 45 degrés. Ainsi, ces deux valeurs sont elles aussi égales à moins racine de deux sur deux.

Enfin, examinons la courbe de tangente 𝜃, qui a des asymptotes en 𝜃 égale 90° et 𝜃 égale 270 degrés. Il n’y a pas de valeurs maximale ou minimale de tangente 𝜃. Voici la courbe de tangente 𝜃. Encore une fois, par symétrie, nous voyons que tan de 135 degrés est égal à moins tan de 45 degrés. Puisque tangente de 45 égale un, moins tangente de 45 égale moins un.

Nous avons mentionné plus tôt que cosécante 𝜃 était égal à un sur sinus 𝜃. Par conséquent, la cosécante de 225 degrés est égale à un sur sin 225 degrés. Cosécante 225 est égal à un divisé par moins racine de deux sur deux. Ceci est égal à moins deux sur racine de deux. Nous pouvons rationaliser cette fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de deux. Ceci est égal à moins deux racine de deux sur deux, ce qui se simplifie en moins racine de deux.

Faisons un peu de place et récapitulons. Cosinus de 135 degrés égale moins racine de deux sur deux. Tangente de 135 degrés égale moins un. Cosécante de 225 degrés égale moins racine de deux. Enfin, le cosinus de 225 degrés est égal à moins racine de deux sur deux. Il faut additionner ces quatre nombres.

Nous obtenons moins racine de deux sur deux moins un moins racine de deux moins racine de deux sur deux. Les deux moins racine de deux sur deux donnent moins racine de deux. Nous obtenons moins racine de deux moins un moins racine de deux. Moins racine de deux moins racine de deux est égal à moins deux racine de deux. Ainsi, la réponse finale est moins deux racine de deux moins un. La valeur de cosinus 135 plus tangente 135 plus cosécante 225 plus cosinus de 225 est moins deux racine de deux moins un.

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