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Un fil est donné sous la forme d’un solénoïde 𝑆 qui a 400 spires et une longueur 𝑙. Le courant dans 𝑆 un est 𝐼, et l’intensité du champ magnétique produit par 𝑆 un en son centre est 𝐵 un. Un deuxième fil est utilisé pour former un solénoïde 𝑆 deux qui a 150 spires. 𝑆 un et 𝑆 deux sont connectés bout à bout pour former un solénoïde 𝑆 trois. L’espacement des spires de 𝑆 trois est ajusté jusqu’à ce que la longueur de 𝑆 trois soit 𝑙 et que les spires de 𝑆 trois soient équidistantes les unes des autres. Les spires de 𝑆 trois sont de rayon égal aux spires de 𝑆 un. Le courant dans 𝑆 trois est 𝐼, et la force du champ magnétique produit par 𝑆 trois en son centre est 𝐵 deux. Lequel des énoncés suivants décrit la relation entre 𝐵 deux et 𝐵 un ? (A) 𝐵 deux est égal à 𝐵 un. (B) 𝐵 deux est égal à huit onzième de 𝐵 un. (C) 𝐵 deux est égal à onze huitième de 𝐵 un. (D) 𝐵 deux est égal à huit troisième de 𝐵 un. (E) 𝐵 deux est égal à cinq huitième de 𝐵 un.
Donc cette question parle de trois solénoïdes différents. Nous pouvons rappeler qu’un solénoïde est un fil d’une une forme comme celle-ci, consistant en une série de boucles ou de spires avec des espacements égaux. Supposons que ce solénoïde que nous avons dessiné ici représente 𝑆 un. On nous dit que la longueur de 𝑆 un, qui est la longueur entre ces deux extrémités du solénoïde, est 𝑙 et qu’elle consiste en 400 spires. Donc, cela fait 400 de ces boucles de fil individuelles.
Il convient de noter que dans ce schéma que nous avons dessiné, nous n’avons clairement pas dessiné toutes ces 400 spires. Ensuite, en plus de 𝑆 un, nous avons aussi un autre solénoïde 𝑆 deux. On ne nous donne pas la longueur du solénoïde 𝑆 deux, mais on nous dit qu’il se compose de 150 spires de fil. La question demande ensuite de dire que ces solénoïdes, 𝑆 un et 𝑆 deux, sont connectés bout à bout pour former un troisième solénoïde 𝑆 trois.
Nous savons alors que le nombre total de spires de fil dans ce solénoïde 𝑆 trois doit être égal aux 400 spires de 𝑆 un plus les 150 spires de 𝑆 deux. En additionnant 400 et 150, on trouve alors que le solénoïde 𝑆 trois a 550 spires. On nous dit alors que l’espacement des spires de 𝑆 trois est ajusté de sorte que toutes les spires de fil soient équidistantes les unes des autres et que la longueur totale de 𝑆 trois soit 𝑙. Autrement dit, 𝑆 trois est maintenant un solénoïde de même longueur 𝑙 que le solénoïde 𝑆 un. Mais 𝑆 trois a 550 spires de fil sur la même longueur que 𝑆 un qui n’en a que 400.
Maintenant, pour le reste de cette question, nous considérons simplement les solénoïdes 𝑆 un et 𝑆 trois. Alors, retirons le solénoïde 𝑆 deux pour nous laisser un peu plus d’espace. On nous dit que ces deux solénoïdes, 𝑆 un et 𝑆 trois, conduisent le même courant de 𝐼. En raison du courant dans le fil, nous obtenons un champ magnétique à l’intérieur de chacun des deux solénoïdes. Dans le cas de 𝑆 un, on nous dit que la force de ce champ magnétique au centre du solénoïde est 𝐵 un, alors que pour 𝑆 trois, cette force est 𝐵 deux.
Pour faire correspondre cette notation, appelons 𝑁 un le nombre de spires du solénoïde 𝑆 un, nous avons donc 𝑁 un est égal à 400. Et nous appelons 𝑁 deux le nombre de spires de 𝑆 trois, nous avons donc 𝑁 deux est égal à 550. Rappelons maintenant qu’il existe une équation qui nous dit comment calculer la force du champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde en fonction du courant dans le fil, de la longueur du solénoïde et du nombre de spires de fil utilisés pour former le solénoïde.
Plus précisément, l’intensité du champ 𝐵 est égale à une constante 𝜇 zéro, appelée perméabilité du vide, multipliée par le nombre de spires 𝑁 multiplié par le courant 𝐼 divisé par la longueur 𝑙 du solénoïde. Dans cette question, on nous demande laquelle de ces cinq équations décrit la relation entre les deux intensités de champ magnétique 𝐵 deux et 𝐵 un. Et pour résoudre ce problème, nous pouvons appliquer cette équation à chacun des deux solénoïdes 𝑆 un et 𝑆 trois.
Pour le solénoïde 𝑆 un, 𝐵 un est égal à 𝜇 zéro fois 𝑁 un fois 𝐼 divisé par 𝑙. Pendant ce temps, pour 𝑆 trois, 𝐵 deux est égal à 𝜇 zéro fois 𝑁 deux fois 𝐼 divisé par 𝑙. En regardant ces équations pour les deux solénoïdes 𝑆 un et 𝑆 trois, nous pouvons remarquer que, dans chaque cas, le courant 𝐼 est le même que la longueur 𝑙 du solénoïde. Et évidemment, la constante 𝜇 zéro aura également la même valeur dans chaque cas.
Cela signifie que la seule quantité qui diffère à droite de chacune de ces deux équations est le nombre de spires de fil. Dans le premier cas, nous avons 𝑁 un spires de fil, tandis que dans le deuxième cas, nous avons 𝑁 deux. Nous pouvons alors regrouper les trois termes 𝜇 zéro, 𝐼 et 𝑙 qui sont les mêmes dans chacune des deux équations. Ensuite, nous pouvons remplacer 𝑁 un et 𝑁 deux par leurs valeurs réelles de, respectivement, 400 et 550.
Nous avons donc que 𝐵 un est égal à 400 multiplié par 𝜇 zéro 𝐼 sur 𝑙, alors que 𝐵 deux est égal à 550 multiplié par le même 𝜇 zéro 𝐼 sur 𝑙. Si nous prenons cette équation pour 𝐵 un et divisons les deux côtés par 400 de sorte que, à droite, le 400 au numérateur et le 400 au dénominateur s’éliminent, puis qu’avec cette équation pour 𝐵 deux, nous divisons les deux côtés par 550 de sorte que à droite, les 550 s’annulent, nous constatons que 𝐵 un sur 400 est égal à 𝜇 zéro 𝐼 sur 𝑙, tandis que 𝐵 deux sur 550 est également égal à 𝜇 zéro 𝐼 sur 𝑙.
Puisque 𝐵 un divisé par 400 et 𝐵 deux divisé par 550 sont tous deux égaux à la même quantité 𝜇 zéro 𝐼 sur 𝑙, alors il doit être vrai que 𝐵 un divisé par 400 est égal à 𝐵 deux divisé par 550. Cette équation que nous avons trouvée ici décrit la relation entre les quantités 𝐵 deux et 𝐵 un, ce qui est ce que la question nous demandait. Tout ce que nous devons faire maintenant est de simplifier cette équation que nous avons trouvée pour voir laquelle de ces cinq équations qui nous ont été données correspond.
Pour ce faire, nous allons multiplier les deux côtés de notre équation par 550. Sur le côté droit, le 550 s’annule au numérateur et au dénominateur. Sur le côté gauche, 550 divisé par 400 se simplifie en 11 divisé par huit. Et donc nous avons 11 huitième de 𝐵 un est égal à 𝐵 deux. Enfin, en échangeant les côtés gauche et droit de l’équation, nous avons 𝐵 deux est égal à 11 sur huit fois 𝐵 un.
Nous pouvons remarquer que cette équation que nous avons trouvée correspond à celle qui nous a été donnée dans la réponse (C). Nous avons trouvé que l’équation qui décrit la relation entre 𝐵 deux et 𝐵 un est l’équation de la réponse (C). 𝐵 deux est égal à onze huitième de 𝐵 un.
