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Vidéo de la leçon : Le champ magnétique dû à un courant dans un solénoïde Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer le champ magnétique dû à un courant dans un solénoïde.

16:20

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, notre sujet est le champ magnétique dû à un courant dans un solénoïde. Nous verrons comment ce champ est produit, à quoi il ressemble, et nous apprendrons également à calculer l’intensité du champ dans le solénoïde.

Pour commencer, nous pouvons rappeler que tout fil dans lequel circule un courant comme celui-ci produira un champ magnétique autour de lui-même. Et de plus, si nous prenons les extrémités de ce fil et que nous les connectons ensemble pour former une boucle, cette boucle circulaire transportant le courant produit également un champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur d’elle-même. Maintenant, si nous prenons cette boucle de fil et que nous l’inclinons un peu, de sorte que nous la regardons presque de côté, ce qui se passe - même si c’est un peu difficile à voir avec toutes les lignes de champ magnétique – c’est qu’à l’intérieur de cette boucle de fil conducteur, un champ magnétique net vers la gauche est créé.

C’est le résultat pour une boucle circulaire. Mais qu’en serait-il si nous avions plusieurs boucles comme celle-ci, toutes avec un courant orienté dans le même sens? Si tel était le cas, chaque boucle contribuerait également à ce champ magnétique pointant vers la gauche à l’intérieur des boucles. Le résultat net est un champ assez fort et assez uniforme orienté dans ce sens. Maintenant, que se passe-t-il si au lieu d’être séparées, ces boucles étaient toutes réunies en un seul fil continu? Si tel était le cas, nous constaterions que le champ magnétique produit serait essentiellement le même que celui produit par nos plusieurs boucles. Le nom que nous donnons à un fil arrangé ainsi est solénoïde.

Si nous observons un solénoïde depuis un bout, cela pourrait ressembler à ceci, à un cercle. Mais vu de côté, nous voyons toutes les différents spires ou boucles qui font partie de cette bobine magnétique. Lorsqu’un solénoïde transporte du courant, comme celui-ci, il produit en effet un fort champ magnétique dans les spires du solénoïde. Nous pouvons représenter cela avec ces multiples lignes de champ. Et le solénoïde produit également un champ magnétique, bien que faible, à l’extérieur du solénoïde.

Maintenant, considérons cette vue depuis le bout du solénoïde, admettons que nous avons obtenu cette vue en mettant notre œil sur cette extrémité. Cela signifie que si nous pouvions voir le champ magnétique dans les spires du solénoïde, il ressemblerait à ceci. Grâce à l’effet total de toutes les différentes spires du solénoïde, l’intensité du champ magnétique dans cette section transversale que nous examinons ici est pratiquement constante. Que nous parlions de l’intensité du champ magnétique ici ou ici ou ici dans notre section transversale ou en tout autre point, cette valeur est essentiellement la même.

Il y a une équation pour décrire l’intensité du champ magnétique à l’intérieur des boucles du solénoïde. Si nous appelons l’intensité de ce champ 𝐵, alors 𝐵 est égal à cette constante, 𝜇 zéro, qui représente la perméabilité du vide - essentiellement, en quelle mesure le vide est magnétisable - multiplié par 𝐼, l’intensité du courant dans le solénoïde, fois N majuscule, où 𝑁 majuscule représente le nombre de boucles ou de spires du solénoïde. Et puis tout cela est divisé par la longueur du solénoïde le long de son axe appelé 𝐿 majuscule.

Dans le solénoïde que nous avons dessiné à l’écran, le 𝑁 majuscule sera égal à un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, puisque nous avons sept spires dans notre solénoïde. Et 𝐿, la longueur du solénoïde, serait égale à cette distance-ci. Ce sont les valeurs que nous utiliserions dans cette équation pour calculer l’intensité du champ magnétique à l’intérieur des spires du solénoïde.

Il convient de mentionner que, tout comme l’intensité du champ magnétique est la même dans une section transversale donnée de l’intérieur du solénoïde, nous disons également qu’elle est la même sur la longueur du solénoïde. Ainsi, l’intensité du champ magnétique ici à l’intérieur des spires du solénoïde est égale à l’intensité du champ magnétique ici, disons dans le noyau du solénoïde. Fondamentalement, il y a ce volume, nous l’avons montré ici en rose, et nous disons que l’intensité du champ magnétique en tout point de ce volume est donnée par cette équation-ci.

Maintenant, si nous réorganisons un peu cette équation pour avoir 𝜇 zéro fois 𝑁 fois 𝐼 sur 𝐿, parfois nous verrons cette équation écrite sous une forme alternative où N majuscule sur 𝐿 est remplacée par 𝑛 minuscule. Lorsque l’équation est écrite de cette façon, nous disons qu’elle est écrite en fonction de la densité spirale des boucles du solénoïde. En d’autres mots, combien de boucles ou de spires il y a par unité de longueur. Ainsi, l’équation pour le champ magnétique peut être écrite de deux façons, et chacune signifie la même chose. Mais cette façon, comme nous l’avons vu, est un peu plus condensée et elle emploie ce facteur appelé la densité spirale. Lorsque nous utilisons 𝑛 minuscule, cela signifie que nous n’avons pas besoin de connaître précisément le nombre de spires ou la longueur totale de notre solénoïde. Nous sommes simplement intéressés par le rapport entre 𝑁 majuscule et 𝐿 majuscule.

Voilà donc comment nous calculons l’intensité du champ magnétique dans les boucles d’un solénoïde. Et comme nous l’avons vu, dans les spires d’un solénoïde, le sens du champ est toujours la même. Le sens du champ dépendra du sens du courant dans le solénoïde, mais il pointera toujours le long du grand axe du solénoïde, soit à gauche ou à droite vu depuis un côté du solénoïde. Notez bien ce qui se passe lorsque nous sortons de ces spires. Dans ce cas, si nous suivons une ligne de champ, disons celle-ci, nous voyons qu’elle commence à se boucler sur elle-même et forme finalement une boucle fermée. Soit dit en passant, cela est vrai pour les lignes de champ magnétique en général.

Ainsi, sur un schéma qui nous montre le champ magnétique créé par un solénoïde, nous pouvons nous attendre à ce que, quelle que soit le sens du champ dans les spires du solénoïde, dans ce cas vers la gauche, les lignes de champ en-dehors du solénoïde pointeront dans le sens inverse lorsqu’elles se courbent sur elles-mêmes. Mais alors, une fois que ces lignes de champ entrent dans les boucles de solénoïde, elles pointent dans le même sens que toutes les autres lignes de champ. Sachant tout cela, entraînons-nous un peu avec ces idées à travers un exemple.

Un solénoïde a une longueur de 3,2 centimètres et se compose de 90 spires de fil. Le fil transporte un courant de 1,2 ampère. Calculez l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde. Donnez votre réponse en teslas exprimés en notation scientifique arrondie à une décimale près. Utilisez une valeur de quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept teslas mètres par ampère pour 𝜇 zéro.

Donc dans cet exercice, nous considérons un solénoïde, qui est une série de spires ou de boucles de fil. Maintenant, on nous dit que notre solénoïde a 90 spires, et nous pouvons voir qu’il n’y en a clairement pas 90 ici, mais nous pouvons simplement faire semblant que ce soit le cas. Donc, ce solénoïde a 90 tours, et nous dirons que cette valeur est représentée par la lettre 𝑁 majuscule. En plus, nous savons que la longueur de notre solénoïde, que nous appellerons 𝐿 majuscule, est de 3,2 centimètres et aussi qu’un courant, nous l’appellerons 𝐼, de 1,2 ampère circule dans ce fil.

En raison de ce courant, les spires du solénoïde créeront un champ magnétique autour d’elles-mêmes. Nous voulons calculer l’intensité de ce champ cumulé ou total au centre du solénoïde. Donc, il s’agit à peu près de ce niveau par rapport à sa longueur. Et si nous regardions le solénoïde depuis le bout à travers sa section transversale circulaire, nous trouverions ce point juste ici. Donc, c’est là que nous voulons calculer l’intensité du champ magnétique, et nous appellerons cela B majuscule.

À ce stade, nous pouvons rappeler une relation mathématique décrivant ce champ magnétique. L’intensité du champ au centre du solénoïde est égale à 𝜇 zéro, une constante appelée la perméabilité du vide, multipliée par le nombre total de spires du solénoïde multiplié par le courant qui circule dans ce fil, le tout divisé par la longueur totale du solénoïde de bout en bout. Dans l’énoncé du problème, on nous donne les valeurs de 𝑁, 𝐼 et 𝐿, et on nous donne également la valeur à utiliser pour 𝜇 zéro. Ainsi, nous pouvons substituer ces valeurs données dans notre équation pour trouver 𝐵. Alors, la valeur que nous utilisons pour 𝜇 zéro est quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept teslas mètres par ampère. 𝑁 majuscule vaut 90. Le courant 𝐼 est de 1,2 ampères. Et la longueur du solénoïde 𝐿 est de 3,2 centimètres.

Avant de calculer cette intensité de champ magnétique, notez que les ampères, A, s’annulent ici dans notre numérateur et que, également, dans le numérateur, nous avons ces unités de mètres tandis que dans le dénominateur, nous avons une unité de distance en centimètres. Nous allons donner notre réponse en teslas. Nous voyons que c’est l’unité ici représentée par T majuscule. Et pour ce faire, nous avons besoin que notre unité de distance s’annule. Pour faciliter ce processus, convertissons la longueur de notre solénoïde de centimètres en mètres. 100 centimètres font un mètre. Et par conséquent, 3,2 centimètres équivalent à 0,032 mètres. Et maintenant, les unités de distance dans notre numérateur et dénominateur, écrites en mètres, s’annuleront en effet et il nous restera des unités de teslas.

Et lorsque nous calculons 𝐵, nous obtenons un résultat en notation scientifique arrondie à une décimale près de 4,2 fois 10 puissance moins trois teslas. C’est l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde.

Voyons maintenant un autre exemple.

Un fil qui transporte un courant constant de 0,9 ampères prend la forme d’un solénoïde de longueur 310 millimètres. L’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde est mesurée comme étant 7,7 fois 10 puissance moins quatre teslas. Calculez le nombre de spires dont est formé le solénoïde, en donnant votre réponse au nombre entier de spires près. Utilisez une valeur de quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept teslas mètres par ampère pour 𝜇 zéro.

Dans cet exemple, alors, nous avons un solénoïde dans lequel circule un courant constant, nous pouvons l’appeler I majuscule, de 0,9 ampères et dont la longueur est de 310 millimètres. Et nous appellerons cette longueur 𝐿 majuscule. Le solénoïde est composé d’un nombre inconnu de spires. Nous appellerons ce nombre N majuscule, et c’est ce que nous voulons calculer. Pour nous aider à faire cela avec le courant 𝐼 et la longueur 𝐿, on nous indique l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde. Nous pouvons appeler ce champ 𝐵, et son intensité est donnée comme étant de 7,7 fois 10 puissance moins quatre teslas. Afin de calculer N majuscule, le nombre total de spires dans le solénoïde, nous devons nous rappeler comment cette variable est liée aux variables de l’intensité du champ magnétique, du courant et de la longueur.

L’intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde est donnée par 𝜇 zéro, cette constante appelée la perméabilité du vide, multipliée par le nombre total de spires dans le solénoïde multiplié par le courant qui y circule, le tout divisé par la longueur du solénoïde le long de son axe. Dans notre cas, ce n’est pas 𝐵 que nous voulons calculer, mais le nombre de spires, 𝑁. Donc, pour ce faire, multiplions les deux côtés de l’équation par 𝐿 sur 𝜇 zéro fois 𝐼. Sur le côté droit, cela signifie que 𝐿, 𝜇 zéro et 𝐼 s’annulent tous. Et nous constatons que le nombre de spires dans un solénoïde est égal à sa longueur multipliée par l’intensité du champ magnétique en son centre divisée par 𝜇 zéro fois le courant dans le solénoïde 𝐼.

En ce qui concerne les facteurs du côté gauche de cette expression, on nous donne les quatre. Nous connaissons 𝐿, 𝐵 et 𝐼. Et on nous dit d’utiliser une valeur de quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept teslas mètres par ampère pour 𝜇 zéro. En substituant toutes ces valeurs, nous trouvons cette expression pour le nombre de spires 𝑁. Avant de calculer cette valeur, convertissons la longueur de notre solénoïde, qui est actuellement en millimètres, en mètres. Pour nous aider à faire cela, nous pouvons rappeler que 1000 millimètres font un mètre, ce qui signifie que pour convertir 310 millimètres en mètres, nous allons déplacer notre virgule de un, deux, trois rangs vers la gauche, ce qui nous donne un résultat de 0,310 mètre.

Et maintenant, considérons les unités du numérateur et du dénominateur de cette fraction. Nous voyons tout d’abord que ces unités de mètres au numérateur s’annulent avec les mètres ici. Et puis aussi, l’unité de teslas se simplifie en haut et en bas, tout comme l’unité d’ampères parce que l’ampère est au numérateur et au dénominateur, on pourrait dire, de notre dénominateur global. Donc, comme nous l’espérions, ce résultat sera sans unité parce que nous calculons un nombre.

Maintenant, lorsque nous mettons cette fraction dans notre calculatrice, nous constatons que nous n’obtenons pas réellement un nombre entier comme résultat. Cela peut se produire en pratique en raison de la construction d’un solénoïde où, par exemple, aux extrémités du solénoïde, une spire peut être incomplète. Donc, ce n’est pas forcément un problème que 𝑁 ne soit pas un nombre entier. Mais l’énoncé de la question nous dit d’arrondir notre résultat au nombre entier près. Lorsque nous faisons cela, nous trouvons un résultat de 211. Il s’agit du nombre de spires de ce solénoïde, au nombre entier près.

Résumons maintenant ce que nous avons appris sur le champ magnétique dû à un courant dans un solénoïde. Dans cette leçon, nous avons appris qu’un solénoïde est un fil agencé en une série de boucles ou de spires. Nous avons vu de plus que lorsqu’un courant circule dans un solénoïde, il produit un champ magnétique. Ce champ est essentiellement constant à l’intérieur des boucles du solénoïde, alors qu’en dehors de ces boucles, le champ est beaucoup plus faible et de sens variable.

À l’intérieur des boucles du solénoïde, l’intensité du champ magnétique 𝐵 est donnée par 𝜇 zéro, la perméabilité du vide, multipliée par le nombre de spires du solénoïde multiplié par la grandeur du courant qui y circule, divisée par sa longueur totale. Nous avons vu de plus que cela est égal à 𝜇 zéro fois 𝑛 fois 𝐼, où 𝑛 est la densité spirale. Voilà un résumé du champ magnétique dû à un courant dans un solénoïde.

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