Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le champ magnétique dû à un courant dans un solénoïde.
Rappelons la direction d’un champ magnétique dans une boucle d’un fil conducteur de courant. Au centre de la boucle, le champ magnétique a une direction, comme le montre le schéma ci-dessous. La ligne orange est la direction du champ magnétique et la ligne noire est la boucle métallique.
La même boucle vue de face, avec la direction du champ magnétique qui sort de l’écran, ressemblerait au schéma ci-dessous.
Rappelez-vous que les symboles ci-dessous sont utilisés pour montrer qu’une direction sort de l’écran ou entre dans l’écran.
L’intensité du champ magnétique au centre d’une boucle peut être augmentée en plaçant plusieurs boucles alignées avec elle. Le schéma ci-dessous montre deux ensembles de boucles avec le même courant et le même rayon alignés de cette manière.
L’ensemble des boucles à droite a un champ magnétique plus fort car il a plus de boucles.
Au lieu d’utiliser un ensemble de boucles, le renforcement du champ magnétique au centre peut être réalisé en utilisant un seul fil avec plusieurs spires. Le schéma ci-dessous montre un tel fil, vu de côté et de face.
Un fil avec une série de spires comme celui-ci est appelé un solénoïde. Chaque spire d’un solénoïde contribue à la force du champ magnétique au centre comme le ferait une boucle supplémentaire.
L’intensité et la direction du champ magnétique au centre même d’un solénoïde sont uniformes. Il a une direction et une amplitude. D’autres points autour du solénoïde ont différentes directions et intensités de champ magnétique.
Avant de regarder les lignes de champ magnétique d’un solénoïde, considérons l’angle avec lequel nous le regarderons en utilisant une seule boucle. Le schéma ci-dessous montre, sous deux angles différents, une seule boucle d’un fil conducteur de courant et son champ magnétique résultant.
La vue de côté de cette boucle montre la direction dans laquelle un observateur regarde, indiquée par l’oeil, pour obtenir la vue de dessus. La vue de dessus indique toujours la direction du courant entrant et sortant de l’écran, mais elle ne montre pas la partie inférieure de la boucle.
Maintenant, regardons la vue de dessus d’une seule boucle avec ses lignes de champ magnétique, en gris, dans le schéma ci-dessous.
Quand il y a plus de lignes de champ magnétique rapprochées, cela signifie que le champ magnétique est plus fort. Nous pouvons voir qu’au centre de la boucle, les lignes de champ magnétique sont très proches les unes des autres avec la même direction, ce qui signifie qu’il y a un fort champ magnétique en ce point.
En dehors de la boucle, les lignes de champ magnétique ressemblent à celles d’un barreau aimanté, comme on peut le voir ci-dessous.
Regardons maintenant un solénoïde à sept spires depuis cet angle. Le schéma ci-dessous le montre avec le champ magnétique correspondant.
Notez que les lignes de champ magnétique sont uniformes et droites au centre même de ces spires, mais deviennent moins uniformes vers les extrémités du solénoïde. Plus on s’approche de ces extrémités, moins les lignes de champ sont uniformes.
Maintenant, considérons un solénoïde théorique très long. Il est si long que nous pouvons le traiter comme s’il était infini. Cela signifie qu’il a un champ magnétique parfaitement uniforme à l’intérieur des spires en tous points.
Si nous mesurions l’intensité du champ magnétique en différents points dans les spires de ce solénoïde, dans chaque cas, l’intensité et la direction de l’intensité du champ magnétique seraient les mêmes. Le schéma ci-dessous montre un solénoïde théorique avec trois points, indiqués par les points rouges, qui ont des intensités et des directions de champ magnétique équivalentes.
L’intensité du champ magnétique dans les spires de ce solénoïde théorique peut être déterminée à l’aide d’une équation.
Équation: Intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde
L’intensité du champ magnétique, , à l’intérieur du centre d’un solénoïde se trouve à l’aide de l’équation avec le courant du solénoïde, le nombre de spires du solénoïde, la longueur du solénoïde, et la perméabilité du vide, .
Pour un solénoïde réel avec une longueur limitée, cette équation est toujours utile pour décrire l’intensité du champ magnétique au centre exact des spires, car c’est là qu’il est uniforme. Le schéma ci-dessous montre des points avec le même champ magnétique et la même direction, à la fois sur un solénoïde théorique et un solénoïde réel.
Pour les solénoïdes réels, la direction du champ magnétique est assez constante à l’intérieur des spires, mais pas l’intensité du champ magnétique. C’est seulement au centre que l’intensité de champ magnétique est constante.
En regardant l’équation, nous voyons que la longueur d’un solénoïde est importante pour déterminer l’intensité du champ magnétique au centre. Plus précisément, l’intensité du champ magnétique est inversement proportionnelle à la longueur. Le schéma ci-dessous montre deux solénoïdes avec le même courant et le même nombre de spires mais avec des longueurs différentes.
Étant donné que le solénoïde en bas est deux fois plus grand, l’intensité du champ magnétique sera deux fois moins importante en son centre.
Regardons un exemple utilisant cette équation.
Exemple 1: Intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde avec des spires et une longueur
Un solénoïde a une longueur de 3,2 cm et se compose de 90 spires de fil. Le fil transporte un courant constant de 1,2 A. Calculez la force du champ magnétique au centre du solénoïde. Donnez votre réponse en teslas exprimée en notation scientifique arrondie à une décimale près. Utilisez une valeur de pour .
Réponse
Nous utiliserons l’équation pour déterminer l’intensité du champ magnétique au centre de ce solénoïde.
Avant de pouvoir remplacer les valeurs qui nous sont données, nous devons nous assurer que toutes les unités utilisées soient cohérentes entre elles. La perméabilité du vide utilise les mètres, nous avons donc besoin de la longueur, 3,2 cm, en mètres.
Il y a 100 centimètres dans 1 mètre :
Ainsi, pour convertir 3,2 cm en mètres, nous pouvons le multiplier par
Donc, 3,2 cm vaut 0,032 m.
Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs dans l’équation. La longueur est de 0,032 m, le courant est de 1,2 A, il y a 90 spires, et la perméabilité du vide est de . Cela nous donne
Calculons le numérateur. Ceci annule les ampères, ce qui nous donne
Donc, maintenant, en divisant ces deux nombres, les mètres s’annulent, laissant seulement les teslas :
Arrondie à une décimale près, l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde est de .
L’équation de l’intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde peut être utilisée pour trouver d’autres variables dans l’équation si l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde est connue. Pour montrer cela, regardons l’équation de base et regardons l’équation en fonction de . En commençant par l’équation nous pouvons multiplier les deux côtés par :
Cela annule le sur le côté droit, laissant
Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés par et :
Cela annule et sur le côté droit, laissant :
Regardons un exemple en utilisant cette forme de l’équation.
Exemple 2: Détermination du courant dans un solénoïde avec spires et longueur
Un solénoïde est formé de 35 spires de fil sur une longueur de 42 mm. Le champ magnétique au centre du solénoïde est de . Calculez le courant dans le fil. Donnez votre réponse en ampères, arrondie à deux décimales près. Utilisez une valeur de pour .
Réponse
Rappelons que l’équation peut être mise sous une forme qui relie les variables au courant :
Avant de remplacer directement les valeurs données sous cette forme d’équation, nous devons nous assurer que les unités utilisées soient cohérentes entre elles. La perméabilité du vide utilise les mètres, nous avons donc besoin que la longueur du solénoïde, 42 mm, soit aussi en mètres.
Il y a 1 000 millimètres dans 1 mètre :
Ainsi, en multipliant cette relation par 42 mm cela nous donnera la valeur en mètres :
La longueur du solénoïde en mètres est de 0,042 m.
Maintenant, nous pouvons remplacer les valeurs dans l’équation. La longueur est de 0,042 m, l’intensité du champ magnétique est de , il y a 35 spires, et la perméabilité du vide est de . Cela nous donne
En multipliant le numérateur, nous obtenons des T⋅m :
Le nombre de spires dans le solénoïde est sans unité, donc calculer le dénominateur ne change pas les unités :
En divisant cela annule complètement les unités de T⋅m laissant les ampères en haut. En ne considérant que les unités, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
Ainsi, en divisant les nombres, cela donne
Arrondie à deux décimales près, la réponse est donc 0,47 A.
L’équation peut également être exprimée en fonction d’autres variables. Disons que nous avons un solénoïde de longueur inconnue mais avec d’autres variables connues. En commençant par l’équation de base nous pouvons obtenir la longueur d’un côté de l’équation en multipliant les deux côtés par :
Cela annule le sur le côté droit, donnant
Nous pouvons diviser ensuite les deux côtés par et nous obtenons qui annule le sur le côté gauche, laissant juste :
Regardons un exemple qui utilise cette forme de l’équation.
Exemple 3: Longueur d’un solénoïde
Un solénoïde formé à partir d’un fil a 80 spires. Le solénoïde transporte un courant constant de 13 A et l’intensité du champ magnétique produit est de en son centre. Calculez la longueur du solénoïde en donnant la réponse arrondie au centimètre près. Utilisez une valeur de pour .
Réponse
Rappelons que l’équation peut être mis sous une forme qui relie les variables à la longueur d’un solénoïde :
Remplaçons les valeurs qui nous sont données sous cette forme d’équation. Le courant est de 13 A, le nombre de spires est de 80, l’intensité du champ magnétique au centre est de , et la perméabilité du vide est de . Cela nous donne
En multipliant le numérateur, les ampères s’annulent, laissant seulement T⋅m :
Diviser ces nombres annule les teslas, en laissant seulement les mètres :
Ainsi, la longueur de ce solénoïde est de 0,179 mètre. Nous n’avons pas encore terminé, car nous voulons la réponse finale du problème en centimètres.
Pour obtenir la réponse en centimètres, rappelons qu’il y a 100 centimètres dans 1 mètre :
En multipliant par notre réponse en mètres, cela nous donnera la réponse en centimètres :
Ainsi, en arrondissant au centimètre près, ce solénoïde a une longueur de 18 centimètres. La réponse est donc 18 cm.
Rappelons que la longueur d’un solénoïde est inversement proportionnelle à la force du champ magnétique en son centre. Une plus grande longueur peut être contrebalancée en ajoutant plus de spires dans le fil, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Les deux solénoïdes ont la même intensité de champ magnétique car le solénoïde plus long a un nombre de spires proportionnellement plus grand. Nous pouvons également voir que le solénoïde plus long est essentiellement le même que le premier, mais il est juste plus grand.
Cela signifie que l’ajout de spires de fil, qui rend un solénoïde plus long, n’augmente pas du tout l’intensité du champ magnétique au centre. Ce qui augmente l’intensité du champ magnétique, c’est le nombre de spires sur une longueur donnée. On peut le prouver en regardant l’équation
Si l’on suppose que le courant est le même pour deux solénoïdes, alors les seules variables non constantes qui affectent l’intensité du champ magnétique sont le nombre de spires et la longueur :
Nous pouvons voir que doubler le nombre de spires pour obtenir et la longueur pour avoir ne change pas du tout cette proportion. Les valeurs doublées s’annulent :
Pour simplifier l’équation, ce rapport est souvent simplifié en minuscule, avec des unités de spires par unité de longueur. Dans l’équation complète, cela se présente comme suit.
Équation: champ magnétique au centre d’un solénoïde avec des spires par unité de longueur
L’intensité du champ magnétique, , à l’intérieur du centre d’un solénoïde se trouve en utilisant l’équation avec le courant du solénoïde, le nombre de spires par unité de longueur et la perméabilité du vide, .
Les unités de sont exprimées par unité de longueur. Par exemple, considérons le solénoïde dans le schéma ci-dessous.
La valeur de est le nombre total de spires sur la longueur totale :
Donc, 6 spires et 3 cm de longueur donnent
Si nous devions doubler le nombre de spires à 12 et doubler la longueur pour qu’elle soit de 6 cm, on verrait que la valeur de est toujours la même
Ce n’est qu’en changeant le nombre de spires par rapport à la longueur du solénoïde que l’intensité du champ magnétique changera.
Regardons un exemple.
Exemple 4: Changements du champ magnétique dans un solénoïde
Une longueur de fil est transformée en un solénoïde avec spires de fil par millimètre. Le fil transporte un courant constant . Un champ magnétique de force peut donc être mesuré au centre du solénoïde. Laquelle des modifications suivantes du système augmente l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde, en supposant que tout le reste soit inchangé ?
- Diminuer la longueur du solénoïde en retirant les spires du fil tout en maintenant constant
- Diminuer , le courant dans le fil
- Diminuer , le nombre de spires de fil par millimètre
- Augmenter , le courant dans le fil
- Augmenter la longueur du solénoïde en ajoutant des spires de fil tout en maintenant constant
Réponse
Rappelons la forme de l’équation avec spires par unité de longueur :
Si ne change pas dans cette équation, l’intensité du champ magnétique ne change pas. Ajouter ou retirer des parties du solénoïde, tout en conservant constant, signifie que l’intensité du champ magnétique reste la même.
Diminuer , cependant, diminuera l’intensité du champ magnétique. De même, diminuer le courant fera également décroitre l’intensité du champ magnétique. En effet, l’intensité du champ magnétique est directement proportionnelle à et à .
Le seul moyen d’augmenter l’intensité du champ magnétique est d’augmenter ou . La seule réponse à cette augmentation est D, augmenter .
La réponse correcte est D, l’augmentation du courant dans le fil augmentera l’intensité du champ magnétique.
Lors de l’utilisation de pour effectuer des calculs, les spires sont sans unité, les unités de s’exprime donc juste par unité de longueur. Cela signifie que bien que l’on pourrait dire 5 spires par mètre dans une équation, nous pouvons juste écrire
Regardons un exemple.
Exemple 5: L’intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde
Un fil qui transporte un courant constant de 0,15 A est transformé en un solénoïde avec 11 spires par centimètre. Calculez la force du champ magnétique au centre du solénoïde. Donnez la réponse en teslas exprimée en notation scientifique et arrondie à une décimale près. Utilisez une valeur de pour .
Réponse
Le solénoïde ressemble au schéma ci-dessous.
Rappelons l’équation pour l’intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde en utilisant des spires par unité de longueur :
Avant de remplacer les valeurs dans cette équation, nous devons nous assurer que les unités utilisées soient cohérentes entre elles. La perméabilité du vide s’exprime en mètres, nous devons donc aussi exprimer en mètres.
La valeur de est de 11 spires par centimètre, et il y a 100 centimètres dans 1 mètre :
En multipliant cette relation par 11 spires par centimètre, nous avons des spires par mètre :
Maintenant, nous pouvons remplacer les valeurs dans l’équation. Le courant est de 0,15 A, est de 1 100 spires par mètre, et est de . Cela nous donne
Multiplier la perméabilité du vide avec les spires par mètre annule les mètres , laissant
La multiplication des deux derniers nombres annule les ampères en laissant teslas, cela nous donne
Arrondie à une décimale près, l’intensité du champ magnétique au centre de ce solénoïde est donc de .
Tout comme avec l’autre version de l’équation de l’intensité du champ magnétique, nous pouvons isoler des variables spécifiques inconnues. Par exemple, si on nous donne un solénoïde avec un courant inconnu, nous pouvons le déterminer en exprimant l’équation en fonction de .
Pour ce faire, divisons les deux côtés par :
Cela annule le sur le côté droit, laissant seulement :
Regardons un exemple qui utilise cette forme de l’équation.
Exemple 6: Détermination du courant dans un solénoïde avec les spires par longueur
Un solénoïde est formé d’une longueur de fil qui transporte un courant constant . Le solénoïde a 430 spires de fil par mètre. Le champ magnétique au centre du solénoïde est de . Calculez le courant, , en ampères. Donnez la réponse arrondie à une décimale près. Utilisez .
Réponse
Rappelons que l’équation peut être exprimée en fonction de comme suit :
En utilisant cette formule, remplaçons les valeurs connues. L’intensité du champ magnétique est de , est de 430 spires par mètre, et est de . Cela nous donne
La multiplication au dénominateur élimine les mètres, ce qui donne
Diviser par une fraction est la même chose que multiplier par son inverse. Cela signifie que la seule unité après la division sera ampères :
Ainsi, après la division, la réponse devient
Arrondie à une décimale près, la réponse est 5,9 A.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Un solénoïde est un fil agencé en une série de spires ou de boucles.
- Lorsqu’un solénoïde transporte un courant, il produit un champ magnétique qui a son intensité la plus élevée au centre de ses boucles.
- Dans les boucles du solénoïde, l’intensité du champ magnétique est donnée par l’équation avec le nombre de spires dans le solénoïde, le courant dans le solénoïde, la longueur du solénoïde, et la perméabilité du vide, .
- L’équation de l’intensité du champ magnétique au centre d’un solénoïde en utilisant des spires par unité de longueur est avec le nombre de spires par unité de longueur, le courant du solénoïde, et la perméabilité du vide, .
