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Trouvez le point d’intersection de la droite d’équations 𝑥 moins six sur quatre égale 𝑦 plus trois égale 𝑧 avec le plan d’équation 𝑥 plus trois 𝑦 plus deux 𝑧 moins six égale zéro.
Le point d’intersection 𝑥, 𝑦, 𝑧 d’une droite et d’un plan est donné par la solution unique du système d’équations composé des équations de la droite et du plan. Il existe différentes méthodes pour résoudre de tels systèmes d’équations. Pour cet exemple, la résolution se fera algébriquement.
L’équation de la droite se compose en fait de deux équations puisqu’il y a deux égalités. Commençons par écrire l’équation de la droite sous forme de deux équations distinctes en 𝑧. La première est 𝑧 égale 𝑥 moins six sur quatre, et la seconde est 𝑧 égale 𝑦 plus trois. En multipliant par quatre chaque côté de la première équation, on trouve quatre 𝑧 égale 𝑥 moins six. En ajoutant six de chaque côté, on obtient 𝑥 en fonction de 𝑧, c’est 𝑥 égale quatre 𝑧 plus six. Et dans la deuxième équation, on retranche simplement trois de chaque côté, ce qui donne 𝑦 égale 𝑧 moins trois.
Alors en comptant l’équation du plan, on a trois équations à trois inconnues. Si la droite et le plan ne sont ni parallèles ni coplanaires, il existe une solution unique à ces équations, qui est le point d’intersection. L’équation du plan est 𝑥 plus trois 𝑦 plus deux 𝑧 moins six égale zéro. Pour trouver le point d’intersection, utilisons dans l’équation du plan les expressions de 𝑥 et de 𝑦 que nous venons d’obtenir. Cela donne quatre 𝑧 plus six, c’est 𝑥, plus trois multiplié par 𝑧 moins trois, c’est trois fois 𝑦, plus deux 𝑧 moins six égale zéro. Donc quatre 𝑧 plus six plus trois 𝑧 moins neuf plus deux 𝑧 moins six égale zéro. En regroupant les termes similaires, on trouve neuf 𝑧 moins neuf égale zéro. Ensuite, trouvons 𝑧 ; on a neuf 𝑧 égale neuf, donc 𝑧 égale un.
Alors notons cela et faisons de la place, retenons que l’équation de la droite est 𝑥 égale quatre 𝑧 plus six et 𝑦 égale 𝑧 moins trois. En remplaçant 𝑧 par un, on obtient que 𝑥 égale quatre multiplié par un plus six. C’est-à-dire 𝑥 égale 10. Et en remplaçant 𝑧 par un dans 𝑦, on obtient 𝑦 égale un moins trois. C’est-à-dire 𝑦 égale moins deux. Le point d’intersection de la droite et du plan est donc 10, moins deux, un.
Vérifions que toutes ces valeurs sont correctes en les replaçant dans les équations. Dans l’équation du plan, nous avons 10 plus trois fois moins deux plus deux fois un moins six. C’est 10 moins six plus deux moins six, et ça fait bien zéro. Ensuite dans l’équation de la droite, nous avons 10 moins six sur quatre égale moins deux plus trois égale un, ce qui vaut un en effet. Le point d’intersection est donc 10, moins deux, un.
