Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver les points et droites d’intersection entre des droites et des plans dans l’espace.
Définition: Equation cartésienne d’un plan
Un plan de l’espace peut être décrit de différentes façons. Par exemple, l’équation cartésienne d’un plan est
Ce plan a un vecteur normal , qui définit l’orientation du plan dans l’espace. Ce vecteur normal n’est pas unique. Tout autre multiple scalaire non nul de ce vecteur, , est également normal au plan.
La constante n’a aucun effet sur l’orientation du plan, mais translate le plan de unités dans la direction du vecteur normal .
Par exemple, pour le plan décrit par l’équation , un vecteur normal au plan est . Tout multiple scalaire non nul de ce vecteur est également un vecteur normal du plan, par exemple, ou .
Définition: Intersection de plans
Deux plans quelconques dans de vecteurs normaux non colinéaires ont pour intersection une droite.
Cette droite est l’ensemble des points solutions au système des équations des plans :
Ce système de deux équations a trois inconnues : , et . Par conséquent, le système aura soit une infinité de solutions, soit aucune solution. La première option décrit le cas où les deux plans sont sécants et la deuxième décrit le cas où les deux plans sont parallèles et ne se coupent jamais.
Comment déterminer l’équation cartésienne de la droite d’intersection entre deux plans
- Éliminer une des trois variables (peu importe laquelle, mais on peut choisir par exemple) des deux équations et exprimer une des deux variables restantes de manière explicite en fonction de l’autre, par exemple, .
- Éliminer la variable dépendante des deux équations d’origine et exprimer la variable indépendante en fonction de la variable restante , donc .
- L’équation cartésienne de la droite d’intersection est alors .
Essayons de déterminer l’équation de la droite d’intersection des deux plans :
Nous devons tout d’abord éliminer une des trois variables. On peut éliminer en multipliant l’équation (1) par 3 et en l’additionnant à l’équation (2), ce qui donne
On peut isoler en ajoutant aux deux membres et en divisant par 5, ce qui donne
Nous devons maintenant éliminer la variable dépendante des deux équations d’origine pour trouver une expression de en fonction de . On peut multiplier la deuxième équation par 2 et l’ajouter à la première, ce qui donne
On peut isoler en ajoutant aux deux membres et en divisant par 5, ce qui donne
Avec l’équation (3), nous avons maintenant deux expressions de , une en fonction de et une en fonction de :
Ces deux équations peuvent être réécrites comme une seule équation avec deux égalités :
Il s’agit de l’équation cartésienne d’une droite dans l’espace.
Nous ne pouvons pas davantage réduire le système d’équations ou trouver des valeurs pour , et qui résolvent de manière unique les équations car il y a une inconnue de plus que le nombre d’équations. Nous sommes cependant libres de choisir n’importe quelle valeur pour une variable et nous pouvons ainsi déterminer les valeurs correspondantes des deux autres variables qui résolvent les équations.
Par exemple, poser dans l’équation ci-dessus donne
Avec la première partie de l’équation, on peut réarranger pour obtenir et avec la deuxième partie, on peut réarranger pour obtenir
Par conséquent, en posant , nous avons et , ce qui donne un point d’intersection entre les deux plans : .
De même, on pourrait poser , à partir duquel on obtiendrait et , donnant un autre point d’intersection entre les deux plans .
Nous ne sommes bien sûr pas obligés de choisir pour la variable à définir comme paramètre. Nous pourrions tout aussi librement choisir ou . Par exemple, choisir dans l’équation cartésienne ci-dessus donneque l’on peut à nouveau réarranger pour obtenir et ; donc est un autre point sur la droite d’intersection des deux plans.
Ce ne sont que quelques solutions de l’infinité de solutions au système d’équations qui forment la droite d’intersection des deux plans.
La forme cartésienne n’est pas la seule façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans. Une autre façon est d’utiliser un ensemble d’équations paramétriques avec un paramètre externe qui définit les trois variables , et séparément.
Définition: Equations paramétriques d’une droite dans l’espace
Une droite dans l’espace peut être définie par un ensemble d’équations paramétriques où est un paramètre, , et sont les coordonnées d’un point situé sur la droite et , et sont les composantes du vecteur directeur de la droite, qui est colinéaire à la droite.
Puisqu’il y a une infinité de points sur la droite, il y a une infinité de choix de pour les équations paramétriques de la droite.
Comment déterminer les équations paramétriques de la droite d’intersection entre deux plans
- Exprimer une des trois variables des équations des deux plans comme une fonction linéaire d’un paramètre , par exemple, .
- Substituer cette expression dans les équations d’origine des plans et résoudre le système d’équations pour exprimer les deux autres variables en fonction du paramètre .
Étudions un exemple de construction d’un ensemble d’équations paramétriques d’une droite d’intersection à partir des équations cartésiennes de deux plans.
Exemple 1: Déterminer les équations paramétriques de la droite d’intersection de deux plans
Déterminez les équations paramétriques de la droite d’intersection des deux plans et .
Réponse
Une approche pour résoudre ce problème consiste à choisir une équation paramétrique pour représenter une des variables. Nous pouvons suivre cette méthode car nous avons en fait une « variable libre ». En ce qui concerne le choix de l’équation paramétrique pour la variable, nous pouvons le faire de deux manières différentes. Nous pouvons choisir une paramétrisation générale, par exemple, , puis définir les valeurs de et à une étape des calculs qui nous arrange, ou nous pouvons définir la paramétrisation dès le début des calculs, par exemple , et ajuster notre réponse à la fin si nécessaire. Nous allons montrer les deux méthodes ici.
Méthode 1 : Définir une paramétrisation dès le départ
En analysant les options présentées dans la question, il peut sembler judicieux de définir car il semble probable cela permette d’arriver à la bonne réponse. Nous allons cependant définir puis montrer que cela nous donne, en fait, une droite d’intersection équivalente, que nous pourrons ensuite ajuster pour déterminer la bonne réponse parmi les options fournies.
Si on substitue le paramètre choisi à dans l’équation du premier plan, on obtient ce qui donne . Si on substitue maintenant et dans l’équation du deuxième plan, on obtient
Si on distribue dans les parenthèses et que l’on simplifie, on obtient ce qui se simplifie par . Par conséquent, les équations paramétriques de , et sont
Comme nous pouvons le voir, cela ne correspond à aucune des options proposées, mais cela doit être équivalent à l’une d’entre elles. Nous avons décrit une droite qui passe par le point et de vecteur directeur et nous devons maintenant identifier quelle option est équivalente à cette droite. Pour cela, nous pouvons d’abord comparer les vecteurs directeurs de chacune des droites, puis identifier lequel des points décrits se situe également sur la droite.
Dans ce cas particulier, ce n’est pas une opération trop difficile. Nous pouvons rapidement écarter les options B et E en raison des signes incohérents de et par rapport au vecteur directeur de notre droite. Les options restantes ont un vecteur directeur qui est un multiple de de celui de notre droite et qui est, par conséquent, équivalent à celui de notre droite d’intersection.
Nous pouvons alors écarter l’option A parce qu’elle passe par un point de même coordonnée mais de coordonnée différente, ce qui laisse les options C et D. L’option C passe par le même point , donc ce doit être une solution.
Enfin, nous devons vérifier si l’option D est également une solution. Nous pouvons le faire en vérifiant si est un point sur cette droite : substituer la valeur dans chacune des équations paramétriques de cette droite donne le point . Cette équation n’est donc pas valide pour la droite d’intersection.
Par conséquent, la réponse est l’option C.
Méthode 2 : Utiliser une paramétrisation générale
Rappelons que les équations paramétriques d’une droite dans l’espace sont de la forme où est un paramètre, , et sont les coordonnées d’un point situé sur la droite et , et sont les composantes du vecteur directeur de la droite, qui est colinéaire à la droite.
Pour déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection, nous devons définir une variable en fonction du paramètre, substituer cette expression dans les équations des plans, puis réarranger les équations résultantes pour trouver les expressions des deux autres variables en fonction du paramètre.
Soit
Substituer cette expression dans les équations des plans donne
Nous avons maintenant un système à deux équations en et , qui peut être « résolu » pour donner des expressions de et en fonction de .
Dans l’équation (4), on peut réarranger pour obtenir une expression de en fonction de :
Et substituer cette expression de dans l’équation (5) donne
Distribuer dans les parenthèses et isoler donne une expression de en fonction de :
Nous pouvons maintenant choisir des valeurs pour et , selon notre convenance, qui rendent les équations aussi simples que possible.
Nous ne pouvons pas choisir , car le paramètre serait alors constant et ne définirait pas de manière unique chaque point de la droite, mais nous pouvons choisir n’importe quelle valeur de que nous souhaitons.
Parmi la liste des options proposées, quatre d’entre elles ont pour l’équation paramétrique , donc essayons cette expression. Cela signifie que
Substituer ces valeurs de et dans les expressions de et donne
Et
Nous avons alors un ensemble possible d’équations paramétriques pour , et : qui correspond à la réponse C.
Cela confirme la réponse que nous avons trouvée avec la première méthode, l’option C.
Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.
Définition: Equation vectorielle d’une droite dans l’espace
Une droite dans l’espace peut être définie sous forme vectorielle par l’équation où est le vecteur position d’un point connu sur la droite, est un vecteur non nul colinéaire à la droite et est un scalaire.
Comment déterminer l’équation vectorielle d’une droite d’intersection entre deux plans
- Trouver un point de vecteur position qui se situe sur les deux plans. On peut pour cela définir la valeur d’une variable, par exemple , et résoudre les équations des deux plans pour déterminer les valeurs correspondantes des deux autres variables, et .
- Déterminer les vecteurs normaux à chaque plan, et , en extrayant les coefficients de leurs équations.
- Calculer le produit vectoriel des vecteurs normaux pour obtenir un vecteur colinéaire à la droite d’intersection entre les plans.
- L’équation vectorielle de la droite d’intersection est alors , où est un scalaire.
Étudions un exemple d’utilisation du produit vectoriel pour déterminer le vecteur directeur de la droite d’intersection entre deux plans, puis l’équation vectorielle de cette droite.
Exemple 2: Déterminer l’équation vectorielle de la droite d’intersection de deux plans
Déterminez l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans et .
Réponse
Pour trouver l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans, nous devons trouver le vecteur position d’un point situé sur les deux plans, puis déterminer un vecteur directeur non nul colinéaire à la droite d’intersection. L’équation vectorielle de la droite est alors où est un scalaire.
Commençons par trouver le vecteur position d’un point situé sur les deux plans. Nous commençons par choisir une variable comme paramètre et lui donnons une valeur de notre choix.
Comme toutes les réponses proposées ont un vecteur constant avec une composante égale à zéro, il est logique de définir .
Soit .
Dans les équations des deux plans, on obtient
Si nous ne disposions pas d’options de réponses possibles, notre choix de valeur pour une variable aurait pu être invalide. Par exemple, si la droite d’intersection est parallèle au plan , la valeur de sera constante tout au long de la droite et probablement différente de la valeur choisie. Cependant, si tel est le cas, il sera évident qu’il faut remplacer la valeur choisie dans les équations des deux plans, car il n’y aura pas de solutions de points appartenant aux deux plans avec cette valeur, qui se trouve sur la droite d'intersection.
Ce n’est pas le cas ici, donc nous avons maintenant deux équations pour et qui peuvent être résolues comme un système. D’après l’équation du deuxième plan,
Substituer cette expression à dans l’équation du premier plan donne
Distribuer dans les parenthèses et isoler donne
D’après l’équation ci-dessus, , donc
Le vecteur position d’un point sur la droite d’intersection entre les plans est donc .
Nous devons maintenant trouver un vecteur directeur colinéaire à la droite d’intersection des deux plans. Nous pouvons le faire en calculant le produit vectoriel des vecteurs normaux de chaque plan.
On peut trouver des vecteurs normaux aux deux plans en lisant simplement les coefficients des variables dans leurs équations
Par conséquent, deux vecteurs normaux aux plans sont respectivement et .
Nous pouvons maintenant évaluer le produit vectoriel en calculant le déterminant de la matrice :
Le déterminant est
Nous avons ainsi un vecteur directeur de la droite d’intersection des deux plans :
Par conséquent, l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans est
Il s’agit de la réponse D.
Définition: Point d’intersection entre une droite et un plan
Une droite et un plan non parallèles se coupent en un seul point.
Ce point est la solution unique au système des équations de la droite et du plan.
L’équation du plan, est une équation unique et l’équation de la droite, peut être reformulée comme deux équations distinctes :
Il s’agit d’un système de trois équations distinctes à trois inconnues qui n’a donc aucune solution (si la droite et le plan sont parallèles et ne se coupent pas), une solution unique (si la droite n’est pas contenue dans le plan et le coupe) ou une infinité de solutions (si la droite est contenue dans le plan).
Comme pour tout système de équations à inconnues, il existe plusieurs méthodes de résolution.
Exemple 3: Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan à partir de leurs équations cartésiennes
Déterminez le point d’intersection de la droite et du plan .
Réponse
Le point d’intersection entre une droite et un plan est la solution unique au système des équations de la droite et du plan. Il existe plusieurs méthodes de résolution. Pour cet exemple, nous allons résoudre les équations algébriquement.
On commence par réécrire l’équation de la droite comme deux équations distinctes, toutes les deux en fonction de :
Réarranger ces deux équations donne des expressions explicites de et en fonction de :
Substituer ces expressions à et dans l’équation du plan donne une équation uniquement en fonction de , que nous pouvons résoudre pour :
Distribuer dans les parenthèses et simplifier donne
On substitue cette valeur de dans les équations de et ,
Par conséquent, le point d’intersection entre la droite et le plan est .
Le point d’intersection entre une droite et un plan peut aussi être déterminé à partir de leurs équations vectorielles.
Définition: Equation vectorielle d’un plan
Un plan peut être défini par une équation vectorielle de la forme où est le vecteur position d’un point du plan, est un vecteur constant qui est normal au plan et est un scalaire constant.
On rappelle également que l’équation vectorielle d’une droite dans est où est le vecteur position d’un point sur la droite, est un vecteur non nul colinéaire à la droite et est un scalaire.
La valeur du paramètre scalaire définit de manière unique chaque point de la droite, de sorte que le point d’intersection entre la droite et le plan correspondra à une valeur unique de . On peut trouver cette valeur de en posant le vecteur position dans l’équation du plan égal au vecteur position dans l’équation de la droite, car au point d’intersection (s’il existe), les vecteurs positions seront égaux.
Par conséquent, nous devons déterminer la valeur de qui résout l’équation :
Étudions un exemple d’utilisation de cette méthode pour déterminer le point d’intersection entre une droite et un plan dans l’espace à partir de leurs équations vectorielles.
Exemple 4: Déterminer les coordonnées du point d’intersection d’une droite et d’un plan
Déterminez les coordonnées du point d’intersection de la droite avec le plan .
Réponse
Si la droite est sécante au plan, il existe une valeur unique de pour laquelle le vecteur est le même dans l’équation de la droite et dans celle du plan.
Nous commençons par réécrire l’équation vectorielle de la droite comme un seul vecteur :
Au point d’intersection, le vecteur position sera le même dans les deux équations, on peut donc substituer le vecteur de l’équation de la droite dans l’équation du plan. Cela donne
On développe le produit scalaire,
On simplifie et on détermine ,
Il s’agit de la valeur de au point d’intersection entre la droite et le plan. En la substituant dans l’équation de la droite,
Par conséquent, le point d’intersection entre la droite et le plan est .
Pour trois plans distincts dans l’espace, le nombre de scénarios possibles est plus élevé.
- Si les trois plans sont parallèles, il n’y a pas d’intersection entre eux.
- Si deux plans sont parallèles entre eux et qu’un troisième ne l’est pas, alors ce troisième plan coupe les deux autres plans en deux droites d’intersection distinctes.
- Si les trois plans sont non parallèles entre eux, ils peuvent se couper en un seul point.
- En outre, si tous les plans sont non parallèles, ils peuvent se couper le long d’une droite.
- Si les trois plans sont non parallèles, le troisième plan peut aussi couper les deux autres plans séparément, formant trois droites d’intersection qui sont parallèles entre elles.
Étudions un exemple de recherche du seul point d’intersection entre trois plans dans le scénario ci-dessus.
Exemple 5: Déterminer le point d’intersection de trois plans
Déterminez le point d’intersection des plans , et .
Réponse
Dans cet exemple, il est indiqué qu’il y a un seul point d’intersection entre les trois plans. Puisqu’un point d’intersection vérifie les équations des trois plans, il existe une solution unique au système des trois équations.
Comme tout système d’équations linéaires, il existe plusieurs méthodes de solution.
Méthode 1 : Approche géométrique
Une méthode pour déterminer le point d’intersection entre les trois plans consiste à déterminer d’abord la droite d’intersection entre les deux premiers plans, puis à trouver le point d’intersection entre cette droite et le troisième plan.
Nous pouvons le faire en déterminant les équations paramétriques de la droite d’intersection entre les deux premiers plans, en exprimant , et en fonction d’un paramètre . Nous pourrons alors substituer ces expressions de , et dans l’équation du troisième plan et résoudre l’équation résultante pour obtenir la valeur de . Substituer cette valeur de dans les équations paramétriques de la droite donnera les coordonnées , et du point d’intersection entre les trois plans.
Considérons les équations cartésiennes des deux premiers plans :
Nous pouvons trouver les équations paramétriques de la droite d’intersection entre ces deux plans en définissant une variable égale au paramètre puis en résolvant les équations résultantes pour obtenir des expressions des deux autres variables en fonction de .
Soit .
Substituer cette expression à dans les équations des deux plans donne
On doit maintenant éliminer une variable des équations. Multiplier l’équation (6) par 4 et l’ajouter à l’équation (7) donne
On détermine alors ,
On peut maintenant substituer cette expression de dans l’équation (6) et déterminer :
Nous avons donc maintenant l’ensemble des valeurs de , et des points qui se situent sur la droite d’intersection des deux premiers plans, exprimées en fonction du paramètre . Si on substitue maintenant ces expressions à , et dans l’équation du troisième plan, on peut déterminer , ce qui donnera la valeur de au point d’intersection entre les trois plans.
L’équation du troisième plan est
On substitue les expressions paramétriques de , et ,
On détermine maintenant ,
Substituer cette valeur de dans les équations paramétriques de , et donne
Par conséquent, le point d’intersection entre les trois plans est .
Méthode 2 : Règle de Cramer
Nous commençons par réécrire le système d’équations comme une équation matricielle de la forme :
En déplaçant les constantes , et 11 sur le membre droit et en réécrivant le membre gauche comme le produit d’une matrice et de la matrice solution on a
La règle de Cramer stipule que est la solution unique à ce système d’équations, où est le déterminant de la matrice de transformation et est le déterminant de la matrice formée en remplaçant la colonne de associée à (la première colonne) par la matrice .
Il convient de noter ici que les trois plans se coupent en un seul point si, et seulement si, le déterminant de la matrice est non nul. Cela équivaut à l’existence d’une solution unique au système d’équations.
Comme , le déterminant de la matrice , est commun aux trois équations, calculons-le en premier :
Bien que cela était indiqué dans l’énoncé, nous avons maintenant confirmé que les trois plans doivent se couper en un seul point car le déterminant est non nul.
Maintenant, pour trouver , on calcule le déterminant de la matrice formée en remplaçant la colonne de associée à par la matrice à droite de l’équation :
En substituant cette valeur de dans la règle de Cramer,
On peut suivre le même raisonnement pour et :
En substituant cette valeur de dans la règle de Cramer,
Et enfin, pour ,
En substituant cette valeur de dans la règle de Cramer,
Donc, nous avons , et . C’est la solution unique au système des équations des trois plans. Par conséquent, le point d’intersection entre les trois plans est .
Nous allons maintenant conclure notre présentation sur les points et les droites d’intersection entre des droites et des plans dans en rappelant quelques points clés.
Points clés
- Deux plans non parallèles dans se coupent selon une droite, qui est l’ensemble des solutions à un paramètre au système des équations des deux plans.
- Le vecteur directeur de la droite d’intersection de deux plans peut être calculé par le produit vectoriel des vecteurs normaux aux plans, .
- Une droite et un plan non parallèles dans se coupent en un seul point, qui est la solution unique au système des équations de la droite et du plan.
- Trois plans non parallèles se coupent en un seul point si et seulement s’il existe une solution unique au système des équations des trois plans. Lorsqu’il est écrit sous forme d’équation matricielle, cela est équivalent au fait que la matrice de transformation est inversible, c’est-à-dire que son déterminant . Si le déterminant de la matrice de transformation est égal à zéro, alors les plans ne se coupent pas en un point unique ou ne se coupent pas du tout.
