Vidéo de la leçon: Intersection de plans Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver les points et droites d’intersection entre des droites et des plans dans l’espace.

Rappelons qu’un plan dans l’espace à trois dimensions 𝑅 trois peut être décrit par l’équation générale 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont toutes des constantes. Un tel plan peut ressembler à ceci sur un graphique tridimensionnel. Le plan est constitué de tous les points possibles dont les coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧 vérifient l’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro. Comme pour des droites dans le plan, les plans dans l’espace s’étendent à l’infini dans toutes les directions. En supposant que le plan n’est parallèle à aucun des plans de coordonnées, c’est-à-dire le plan 𝑥𝑦, 𝑦𝑧 ou 𝑥𝑧, pour toute valeur d’une variable, nous pouvons toujours trouver des valeurs pour les deux autres variables qui résoudront l’équation du plan.

L’orientation d’un plan dans l’espace est définie par les coefficients des variables de son équation : 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Plus précisément, les coefficients définissent un vecteur 𝐧 normal au plan et peuvent être donnés simplement en lisant les coefficients de l’équation du plan. 𝐧 est égal à 𝑎, 𝑏, 𝑐. Tout multiple scalaire non nul de ce vecteur, 𝛼𝐧, est également normal au plan. Ainsi, par exemple, si nous avons le plan deux 𝑥 plus trois 𝑦 plus quatre 𝑧 moins cinq égale zéro, nous pouvons obtenir un vecteur normal 𝐧 en lisant simplement les coefficients des variables de l’équation. Donc 𝐧 est égal à deux, trois, quatre. Mais tout multiple scalaire de 𝐧 est également normal au plan, par exemple, deux 𝐧 égal à quatre, six, huit ou moins 𝐧 égal à moins deux, moins trois, moins quatre.

Si nous avons deux plans différents avec des vecteurs normaux respectivement 𝐧 un et 𝐧 deux, où 𝐧 deux est un multiple scalaire de 𝐧 un, alors ces deux plans sont parallèles. Deux plans quelconques qui n’ont pas de vecteurs normaux colinéaires se croisent en une droite dans l’espace. Rappelons que dans le plan, deux droites non parallèles se croisent exactement en un point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro. Ce point est la solution unique aux deux équations des deux droites. Nous avons le même nombre d’équations que d’inconnues et donc une solution unique.

Dans l’espace, les choses sont un peu différentes. Deux plans non parallèles se croisent en une droite dans l’espace. Cette droite contient le nombre infini de points 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui résolvent les deux équations des deux plans. Nous avons une inconnue de plus que nous n’avons d’équations. Par conséquent, il existe une infinité de solutions à ces deux équations qui forment la droite dans l’espace. Cette droite est unidimensionnelle et peut donc être paramétrée par un unique paramètre. Regardons un exemple sur la façon de trouver l’équation générale d’une droite entre deux plans.

Trouvez l’équation générale de la droite d’intersection entre les plans 𝑥 moins quatre 𝑦 plus trois 𝑧 moins quatre égale zéro et deux 𝑥 plus deux 𝑦 moins neuf 𝑧 plus sept égale zéro.

Procédons comme nous le ferions normalement lors de la résolution de deux équations simultanées en essayant d’éliminer une des variables. Nous pouvons éliminer 𝑧 en prenant trois fois la première équation et en l’ajoutant à la deuxième. Cela donne cinq 𝑥 moins 10𝑦 moins cinq égale zéro. Ajouter 10𝑦 plus cinq des deux côtés et diviser par cinq donne 𝑥 uniquement en fonction de 𝑦 : 𝑥 égale deux 𝑦 plus un. Gardons cette équation ici. Nous pouvons maintenant revenir aux équations des plans et éliminer l’une des autres variables. Nous pouvons éliminer 𝑦 en prenant la première équation et en ajoutant deux fois la deuxième équation. Cela donne cinq 𝑥 moins 15𝑧 plus 10 égale zéro. Ajouter 15𝑧 et soustraire 10 des deux côtés, puis diviser par cinq donne 𝑥 uniquement en fonction de 𝑧 : 𝑥 égale trois 𝑧 moins deux.

Nous avons maintenant deux expressions pour 𝑥, une en fonction de 𝑦 et une en fonction de 𝑧. Puisque ces deux expressions sont égales à 𝑥, elles sont également égales entre elles. Nous pouvons donc réécrire ces deux équations comme une équation à deux égalités : 𝑥 égale deux 𝑦 plus un égale trois 𝑧 moins deux. Cela est l’équation générale de la droite d’intersection entre les deux plans.

Nous ne pouvons pas réduire le système d’équations plus que cela ou trouver des valeurs pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui résolvent les équations de façon unique parce que nous avons une inconnue de plus que le nombre d’équations et donc un nombre infini de solutions. Cependant, nous sommes libres de poser la valeur d’une variable, ce qui nous donnera les valeurs correspondantes des deux autres variables. Cela nous donnera l’une des solutions infiniment nombreuses aux deux équations, qui est un point sur la droite d’intersection.

Par exemple, nous pouvons poser 𝑧 égal à un. À partir de cette deuxième partie de l’équation, nous avons donc deux 𝑦 plus un égale à un. Réarranger pour 𝑦 donne 𝑦 égale zéro. Avec l’autre partie de l’équation, 𝑥 égale deux 𝑦 plus un. Et puisque 𝑦 est égal à zéro, 𝑥 est égal à un. Par conséquent, 𝑥 égale un, 𝑦 égale zéro et 𝑧 égale un est l’une des solutions infiniment nombreuses des deux équations des deux plans. Et le point un, zéro, un se situe sur la droite d’intersection.

L’équation générale n’est pas la seule façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans. Une autre façon consiste à définir un système d’équations paramétriques, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont chacune définies séparément par un paramètre externe. Voyons un exemple de la façon de le faire.

Trouvez les équations paramétriques de la droite d’intersection entre les deux plans 𝑥 plus 𝑧 égale trois et deux 𝑥 moins 𝑦 moins 𝑧 égale moins deux.

Rappelons qu’une droite dans l’espace peut être décrite par ses équations paramétriques 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡 et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑐𝑡. 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro peut être n’importe quel point 𝑝 zéro de la droite, et 𝑎, 𝑏, 𝑐 est un vecteur directeur colinéaire à la droite. Ces équations paramétriques sont arbitraires car 𝑝 zéro peut être n’importe quel point choisi sur la droite, et 𝐝 n’est qu’un vecteur directeur de la droite. Tout multiple scalaire non nul de 𝐝, 𝛼𝐝, est également de même direction que la droite.

Pour trouver les équations paramétriques de la droite d’intersection, nous définissons une de ces paramétrisations arbitraires pour l’une des variables, puis la substituons dans les deux équations des plans, puis réarrangeons les équations résultantes pour trouver des expressions pour les deux autres variables, également en fonction du paramètre. Pour nos deux plans, nous avons les équations 𝑥 plus 𝑧 égale trois et deux 𝑥 moins 𝑦 moins 𝑧 égale moins deux. Si nous substituons une paramétrisation arbitraire pour 𝑥, nous obtenons 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 plus 𝑧 égale trois et deux fois 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 moins 𝑦 moins 𝑧 égale moins deux. Nous pouvons réarranger la première équation pour donner 𝑧 uniquement en fonction du paramètre : 𝑧 égale trois moins 𝑥 zéro moins 𝑎𝑡.

Rappelez-vous que 𝑥 zéro et 𝑎 sont toutes les deux des constantes, donc 𝑧 est uniquement fonction du paramètre 𝑡. Nous pouvons maintenant substituer cette expression à 𝑧 dans la deuxième équation, ce qui donne deux fois 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 moins 𝑦 moins trois moins 𝑥 zéro moins 𝑎𝑡 égale moins deux. Réarranger pour 𝑦 donne 𝑦 uniquement en fonction du paramètre : 𝑦 égale trois fois 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 moins un. Nous avons maintenant 𝑥, 𝑦 et 𝑧 exprimés uniquement comme des fonctions du paramètre 𝑡. Nous avons le système des équations paramétriques. Nous sommes libres de choisir n’importe quelles valeurs que nous voulons pour 𝑥 zéro et 𝑎, excepté que 𝑎 ne peut pas être égal à zéro car le fait de changer la valeur de 𝑡 ne changerait pas la position sur la droite.

Si nous regardons la liste des réponses possibles, nous pouvons voir que quatre d’entre elles ont 𝑧 égale moins 𝑡. Si nous choisissons cela comme notre équation paramétrique pour 𝑧, cela implique que trois moins 𝑥 zéro moins 𝑎𝑡 est égal à moins 𝑡. Cela signifie donc que 𝑥 zéro est égal à trois et 𝑎 est égal à un. Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs pour 𝑥 zéro et 𝑎 dans les équations de 𝑥 et 𝑦. Pour 𝑥, nous avons 𝑥 égale trois plus 𝑡, et pour 𝑦 nous avons 𝑦 égale trois fois trois plus 𝑡 moins un, ce qui se simplifie en huit plus trois 𝑡. Notre système d’équations paramétriques correspond donc à la réponse (c) 𝑥 égale trois plus 𝑡, 𝑦 égale huit plus trois 𝑡 et 𝑧 égale moins 𝑡.

Comme nous l’avons vu dans la question précédente, une droite dans l’espace peut être définie par un point sur la droite et son vecteur directeur. Cela suggère une autre façon de décrire une droite dans l’espace avec une équation vectorielle. Voyons un exemple de cela.

Trouvez l’équation vectorielle de la droite d’intersection entre les plans 𝑥 plus trois 𝑦 plus deux 𝑧 moins six égale zéro et deux 𝑥 moins 𝑦 plus 𝑧 plus deux égale zéro.

Rappelons que l’équation vectorielle d’une droite dans l’espace est donnée par 𝐫 égale 𝐫 zéro plus 𝑡𝐝. 𝐫 zéro est le vecteur position d’un point sur la droite 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro. 𝑡 est un scalaire. Et 𝐝 est un vecteur directeur de la droite. Cette équation n’est pas unique puisque nous sommes libres de choisir n’importe quel point que nous voulons sur la droite pour 𝐫 zéro, et tout vecteur qui est un multiple scalaire non nul de 𝐝 sera également de même direction que la droite. Donc pour trouver l’équation vectorielle de la droite d’intersection entre les deux plans, il suffit de trouver un point dans les deux plans avec le vecteur de position 𝐫 zéro et un vecteur directeur 𝐝 colinéaire à la droite d’intersection.

Commençons par trouver un point qui se situe dans les deux plans pour 𝐫 zéro. En supposant que la droite d’intersection n’est parallèle à aucun des plans de coordonnées, nous pouvons choisir n’importe quelle valeur pour n’importe laquelle des variables et trouver des valeurs correspondantes pour les deux autres variables. Cela nous donnera un point qui se situe sur les deux plans. Puisque chacune des réponses possibles a 𝑥 égal à zéro dans le vecteur constant, essayons 𝑥 égale zéro. Si la droite d’intersection est parallèle au plan 𝑦𝑧, la valeur de 𝑥 sera constante et probablement non nulle. Dans ce cas, poser 𝑥 égal à zéro signifiera que nous ne pourrons pas trouver de solution aux deux équations. Si tel était le cas, nous aurions besoin de poser une autre variable comme étant égale à une autre valeur.

Heureusement, ce n’est pas le cas ici. Poser 𝑥 égal à zéro nous donne trois 𝑦 plus deux 𝑧 moins six égale zéro et moins 𝑦 plus 𝑧 plus deux égale zéro. Nous pouvons simplement réarranger la seconde équation pour donner 𝑦 égale 𝑧 plus deux. Et substituer cette expression à 𝑦 dans la première équation nous donne trois fois 𝑧 plus deux plus deux 𝑧 moins six égale zéro. Et réarranger pour 𝑧 nous donne 𝑧 égale zéro. Et puisque 𝑦 est égal à 𝑧 plus deux, 𝑦 est égal à deux. Donc en posant 𝑥 égale zéro dans les deux équations des plans, nous avons obtenu 𝑦 égale deux et 𝑧 égale zéro. Donc le point zéro, deux, zéro se situe sur les deux plans. Nous avons donc le vecteur position 𝐫 zéro d’un point zéro, deux, zéro situé sur la droite d’intersection.

Nous devons maintenant trouver un vecteur directeur 𝐝 colinéaire à la droite d’intersection. Puisque la droite d’intersection se situe sur les deux plans, son vecteur directeur est parallèle aux deux plans. Si nous regardons vers le bas selon l’axe des deux plans qui se croisent, leur droite d’intersection sort de l’écran. Leurs vecteurs normaux, cependant, 𝐧 un et 𝐧 deux, se situent tous deux dans le plan de l’écran. Le produit vectoriel des deux vecteurs normaux, 𝐧 un vectoriel 𝐧 deux, est orthogonal à la fois à 𝐧 un et à 𝐧 deux et, par conséquent, soit il sort de l’écran vers nous, soit il va de nous vers l’écran. Nous pouvons donc l’utiliser comme vecteur directeur de la droite d’intersection.

Nous pouvons obtenir les vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux en lisant simplement les coefficients des variables dans chacune des équations des plans. 𝐧 un est donc égal à un, trois, deux et 𝐧 deux est égal à deux, moins un, un. Leur produit vectoriel de 𝐧 un et 𝐧 deux est donné par le déterminant de la matrice trois par trois 𝐢, 𝐣, 𝐤 suivi des composantes de 𝐧 un, un, trois, deux puis des composantes de 𝐧 deux, deux, moins un, un, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires respectivement dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Développer le déterminant le long de la première ligne nous donne 𝐢 fois trois moins moins deux moins 𝐣 fois un moins quatre plus 𝐤 fois moins un moins six. La simplification nous donne cinq 𝐢 plus trois 𝐣 moins sept 𝐤, ce qui en tant que triplet s’écrit cinq, trois, moins sept.

Nous avons donc notre vecteur directeur pour l’équation vectorielle de la droite d’intersection : cinq, trois, moins sept. Notre équation vectorielle complète pour la droite d’intersection entre les deux plans est donc 𝐫 égale zéro, deux, zéro plus 𝑡 fois cinq, trois, moins sept, ce qui correspond à la réponse (d).

Parfois, au lieu de la droite d’intersection entre deux plans, nous pouvons souhaiter trouver le point d’intersection entre une droite et un plan dans l’espace. Voyons un exemple de cela.

Trouvez le point d’intersection de la droite moins trois 𝑥 égale quatre 𝑦 moins deux égale 𝑧 plus un et le plan moins trois 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale 13.

S’ils ne sont pas parallèles ou coplanaires, une droite et un plan dans l’espace se croisent en un seul point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro. Ce point est la solution unique à l’équation de la droite et à l’équation du plan. Nous avons trois inconnues 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous avons une équation, l’équation du plan. Et l’équation de la droite est en fait deux équations puisqu’il y a deux égalités. Nous pouvons réécrire l’équation de la droite en deux équations distinctes : moins trois 𝑥 égale 𝑧 plus un et quatre 𝑦 moins deux égale 𝑧 plus un. Nous avons donc effectivement trois équations distinctes pour trois inconnues. Donc tant que la droite et le plan ne sont pas parallèles ou coplanaires, il devrait y avoir une solution unique à ces trois équations, qui est le point où elles se croisent.

Nous pouvons réécrire ces deux équations pour donner 𝑥 et 𝑦 uniquement en fonction de 𝑧. 𝑥 égale moins un tiers fois 𝑧 plus un, et 𝑦 égale un quart fois 𝑧 plus trois. Nous pouvons alors substituer ces expressions pour 𝑥 et 𝑦 dans l’équation du plan, ce qui nous donnera une équation pour une variable, 𝑧, que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur de 𝑧 et par conséquent les valeurs correspondantes de 𝑥 et 𝑦. Donc substituer ces expressions dans l’équation du plan nous donne moins trois fois moins un tiers fois 𝑧 plus un plus un quart fois 𝑧 plus trois plus 𝑧 égale 13.

Développer les parenthèses nous donne 𝑧 plus un plus 𝑧 sur quatre plus trois quarts plus 𝑧 égale 13. Réarranger en rassemblant les termes en 𝑧 sur le côté gauche nous donne neuf 𝑧 sur quatre égale 45 sur quatre. Multiplier par quatre et diviser par neuf, nous donne 𝑧 égale cinq. Nous avons déjà des expressions pour 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝑧, nous pouvons donc substituer cette valeur de 𝑧 pour obtenir les valeurs de 𝑥 et 𝑦. 𝑥 est égal à moins un tiers fois cinq plus un, ce qui est égal à moins deux, et 𝑦 est égal à un quart fois cinq plus trois, ce qui est égal à deux. Le point d’intersection entre la droite et le plan est donc moins deux, deux, cinq.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Deux plans non parallèles dans l’espace se croisent en une droite. Cette droite contient une infinité de points 𝑥, 𝑦, 𝑧 qui vérifient les équations des deux plans. La droite d’intersection est unidimensionnelle. Si elle n’est parallèle à aucun des plans de coordonnées, poser la valeur d’une variable donnera les valeurs correspondantes pour les deux autres. Et enfin, une droite et un plan non parallèles dans l’espace vont se croiser en un unique point, qui est la solution unique à l’équation de la droite et de l’équation du plan.