Video Transcript
Parmi les expressions suivantes, laquelle est égale à sinus de 23 degrés ? Est-ce (A) cosinus de 67 degrés, (B) cosinus de 23 degrés, option (C) moins cosinus de 23 degrés, (D) un sur cosinus de 23 degrés, ou (E) cosinus de 157 degrés ?
Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les identités trigonométriques des angles complémentaires. Celles-ci sont vraiment utiles car nous savons que les fonctions trigonométriques, sinus, cosinus et tangente, apparaissent souvent dans le contexte des triangles rectangles. En particulier, nous pouvons tracer le triangle suivant dans lequel sinus de l’angle alpha est égal au rapport du côté opposé, appelons cela 𝑥, et de l’hypoténuse. Nous appellerons cela 𝑦. Ensuite, nous savons qu’on calcule l’angle sans étiquette en soustrayant 90 degrés et alpha degrés de 180. Donc, on a 90 moins alpha degrés.
Si nous voulons trouver une identité trigonométrique qui relie maintenant 𝑥, 𝑦 et l’angle que nous venons d’étiqueter, nous devons utiliser la fonction cosinus. C’est cosinus de thêta égale l’adjacent sur l’hypoténuse. Et nous utilisons thêta pour exprimer le cas le plus général. Dans ce cas, c’est cosinus de 90 moins alpha égale 𝑥 sur 𝑦.
Nous voyons maintenant que sinus alpha et cosinus de 90 moins alpha sont l’un et l’autre égaux à 𝑥 sur 𝑦. Donc, ils doivent également être de même mesure. Notez à ce stade que nous pourrions le faire beaucoup plus directement en utilisant le cercle trigonométrique. Mais pour cet exercice, nous avons besoin d’une belle démonstration de l’identité des angles complémentaires. Donc, sinus de alpha est égal à cosinus de 90 moins alpha. Lorsqu’on examine l’expression dans la question, on doit définir alpha comme égal à 23. Ensuite, nous pouvons dire que sinus de 23 degrés doit être égal à cosinus de 90 moins 23 ou cosinus de 67 degrés.
Nous avons donc notre réponse. La bonne réponse est l’option (A). Sinus de 23 degrés est égal à cosinus de 67 degrés.
