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Calculez l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est donnée.
Commençons par présenter ces informations dans un tableau. Une bonne méthode pour calculer l’espérance à partir d’un graphique est en fait de construire un tableau. La variable aléatoire 𝑥 peut prendre les valeurs un, deux, trois et quatre. La probabilité de 𝑋 égal un est donnée par la hauteur de la première barre ; elle est de 0.2. La deuxième barre a une hauteur de 0.3, la probabilité de 𝑋 est donc égale deux est 0.3. La probabilité de 𝑋 égale trois est 0.3. Enfin, la probabilité de 𝑋 égale quatre est 0.2.
Pour vérifier rapidement si notre méthode est correcte, nous pouvons vérifier que la somme des probabilités est bien égale à un : ici, 0.2 plus 0.3 plus 0.3 plus 0.2 égale un.
Maintenant, rappelons la formule de l’espérance de 𝑋. Il s’agit de la somme des produits des valeurs de la variable 𝑋 et de la probabilité que ces valeurs se produisent. Substituons alors ce que nous avons dans cette formule.
Pour la première colonne, 𝑥 multiplié par la probabilité de 𝑋 est un fois 0.2. Pour la deuxième colonne, cela donne deux fois 0.3. La probabilité de 𝑋 égal trois est 0.3. Ainsi, 𝑥 multiplié par la probabilité de 𝑋 ici donne trois fois 0.3. Pour la dernière colonne, nous calculons quatre fois 0.2. En évaluant chacun des produits, on obtient 0.2 plus 0.6 plus 0.9 plus 0.8, ce qui est égal 2.5.
Par conséquent, l’espérance de 𝑋 est égale à 2.5. Nous pouvons consulter notre tableau pour vérifier cette réponse. Puisque les valeurs possibles de 𝑥 sont un, deux, trois et quatre et que 2.5 est à mi-chemin entre un et quatre, notre réponse semble correcte.
