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Vidéo de question : Déterminer les équations de deux droites bidimensionnelles en utilisant la tangente de l’angle entre elles Mathématiques

Soit 𝜃 l’angle entre deux droites passant par le point de coordonnées (4 ; -2). Si tan 𝜃 = 1/21 et que les coefficients directeurs des droites sont 𝑚 et 4/5𝑚, avec 𝑚 > 0, alors déterminez les équations de ces droites.

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Transcription de vidéo

Soit 𝜃 l’angle entre deux droites passant par le point de coordonnées quatre, moins deux. Si tangente 𝜃 est égal à un sur 21 et que les coefficients directeurs des droites sont 𝑚 et quatre cinquièmes 𝑚, avec 𝑚 supérieur strictement à zéro, alors déterminez les équations de ces droites.

Rappelons que par l’angle entre deux droites, nous entendons le plus petit des deux angles. Nous pouvons désigner les deux droites par 𝐿 indice un et 𝐿 indice deux. On nous donne des informations sur ces deux droites, d’abord qu’elles passent par ce point quatre, moins deux. Et on nous dit aussi que la tangente de l’angle entre eux est égale à un sur 21. On nous donne en outre que les pentes, ou les gradients, de ces deux droites sont 𝑚 et quatre cinquièmes de 𝑚, où 𝑚 est supérieur à zéro.

Avant de pouvoir trouver les équations de 𝐿 un et 𝐿 deux, la première chose à faire est de déterminer la valeur de 𝑚. Pour ce faire, nous pouvons rappeler que la formule de la tangente de l’angle aigu 𝜃 entre deux droites est donnée comme tangente 𝜃 égale à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un 𝑚 deux, où 𝑚 un et 𝑚 deux sont les pentes des deux droites. Nous pouvons remplacer 𝑚 un et 𝑚 deux par leurs expressions dans tangente 𝜃. Cela nous donne un sur 21 égal à la valeur absolue de 𝑚 moins quatre cinquièmes 𝑚 sur un plus 𝑚 fois quatre cinquièmes 𝑚.

Nous pouvons alors simplifier le membre de droite et multiplier le numérateur et le dénominateur par cinq pour nous donner que un sur 21 est égal à 𝑚 sur cinq plus quatre 𝑚 au carré. Et nous pouvons noter que puisque 𝑚 est positif, alors le membre de droite de cette équation est également positif. En prenant le produit en croix, nous avons cinq plus quatre 𝑚 au carré est égal à 21𝑚. Ensuite, en réarrangeant davantage, nous pouvons voir que nous avons une équation du second degré en 𝑚 que nous pouvons résoudre pour déterminer 𝑚. À ce stade, nous pourrions ne pas être en mesure de factoriser cette équation, nous pouvons donc utiliser une autre méthode, par exemple, la formule du second degré, pour nous aider.

La formule du second degré stipule que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎 pour les équations de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Dans notre équation, nous avons la variable 𝑚 au lieu de 𝑥. Mais nous pouvons voir à partir de l’équation que 𝑎 est égal à quatre, 𝑏 est égal à moins 21 et 𝑐 est égal à cinq. Nous pouvons donc remplacer par ces valeurs dans la formule du second degré et les simplifier. Lorsque nous faisons cela, nous avons deux valeurs différentes de 𝑚. Et lorsque nous résolvons ceci, il est utile de se rappeler que la racine carrée de 361 vaut 19. Par conséquent, les deux valeurs de 𝑚 sont cinq et un quart.

Il est important de réaliser qu’à ce stade, même si nous avons trouvé deux valeurs différentes de la pente 𝑚, ce n’est pas la même chose que les pentes des droites d’origine, qui sont 𝑚 et quatre cinquièmes de 𝑚. En fait, nous nous retrouverons avec deux paires de droites différentes qui répondent à tous les critères de la question. Nous pouvons maintenant faire de la place pour trouver les deux paires d’équations différentes pour 𝐿 un et 𝐿 deux.

Étant donné que nous avons un point par lequel ces droites passent et la pente de la droite, nous pouvons utiliser la forme affine de l’équation. 𝑦 moins 𝑦 indice zéro est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 indice zéro, où 𝑚 est la pente et la droite passe par 𝑥 zéro, 𝑦 zéro. Notez que nous devons faire attention, lorsque nous utilisons cette forme affine, à ne pas confondre cette lettre générale 𝑚 dans la formule et la variable 𝑚 et quatre cinquièmes de 𝑚 de la question. Prenons l’exemple 𝑚 égal à cinq. Nous savons donc que l’une de nos droites a une pente qui est égale à 𝑚, c’est-à-dire cinq.

Étant donné que cette droite passe par le point quatre, moins deux, lorsque nous utilisons la forme affine, nous aurons 𝑦 moins moins deux égale cinq fois 𝑥 moins quatre. En simplifiant cela et en rassemblant ensuite les termes similaires, nous avons que la première ligne est moins cinq 𝑥 plus 𝑦 plus 22 est égal à zéro. Nous devons encore trouver la deuxième ligne lorsque 𝑚 est égal à cinq. Mais cette fois, nous savons que la pente est en fait égale à quatre cinquièmes de 𝑚. Puisque 𝑚 est égal à cinq, alors la pente de la deuxième droite sera égale à quatre. Elle passe toujours par le point quatre, moins deux. Donc, cette fois, à droite, nous allons multiplier par quatre en dehors de ces parenthèses. En simplifiant, nous avons l’équation de la droite quatre 𝑥 moins 𝑦 moins 18 est égal à zéro.

Ces deux droites forment une paire de droites possibles, qui répondent à tous les critères donnés dans la question. Cependant, nous savons également que ces critères seront toujours remplis lorsque la valeur de 𝑚 est égale à un quart. Utilisons donc à nouveau la forme affine de la droite pour calculer l’autre paire d’équations. Pour l’équation de la première droite, nous savons que la pente est simplement égale à 𝑚, c’est-à-dire un quart. Nous pouvons alors réorganiser cela pour avoir la première équation de la droite, en remarquant que si nous voulons la laisser sous la forme standard lorsque nous réorganisons, nous devrons multiplier toute l’équation par quatre. Nous pouvons alors faire la même chose pour trouver la deuxième équation.

Rappelez-vous que, comme nous l’avons vu précédemment, dans cette droite, la valeur de 𝑚 que nous considérons dans la forme affine n’est pas un quart parce que nous savons que la pente de la deuxième droite vaut quatre cinquièmes de 𝑚. Quatre cinquièmes d’un quart équivaut à un cinquième. Lorsque nous remplaçons par cette valeur avec les coordonnées quatre, moins deux, nous obtenons l’équation de la deuxième droite. Par conséquent, nous pouvons donner la réponse, les deux paires d’équations possibles. 𝑥 moins quatre 𝑦 moins 12 est égal à zéro et 𝑥 moins cinq 𝑦 moins 14 est égal à zéro ou moins cinq 𝑥 plus 𝑦 plus 22 est égal à zéro et quatre 𝑥 moins 𝑦 moins 18 est égal à zéro.

Afin de démontrer la différence entre ces deux paires d’équations, nous pourrions faire un rapide croquis de chaque situation. Tracer la première paire de lignes aboutirait à cette figure, et la deuxième paire de lignes donnerait cette figure. Dans les deux graphes, le gradient, ou la pente, est supérieure à zéro comme prévu. Et il convient également de noter que la fonction réciproque de tangente de un sur 21 donne en fait un angle très petit en degrés. Il fait environ 2,7 degrés.

Ainsi, en appliquant la formule pour trouver l’angle aigu entre deux droites et étant donné la relation entre leurs pentes, nous avons trouvé deux paires différentes de droites passant par le point de coordonnées quatre, moins deux.

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