Video Transcript
Calculez la limite quand 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un, le tout divisé par 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins sept.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la limite quand 𝑥 tend vers moins un d’une fonction. On peut voir que le numérateur de cette fonction est un polynôme du troisième degré et son dénominateur un polynôme du second degré. C’est un quotient de polynôme, donc notre fonction est une fonction rationnelle. Par conséquent, on peut essayer de calculer la limite de cette fonction en utilisant la substitution directe. Pour cela, on remplace 𝑥 par moins un dans notre fonction rationnelle. Cela nous donne moins un moins six multiplié par moins un au carré plus deux fois moins un plus un, le tout divisé par moins un au carré moins six fois moins un moins sept.
En faisant les calculs au numérateur et au dénominateur, on obtient zéro divisé par zéro. C’est une forme indéterminée. Ce qui signifie qu’on ne peut pas déterminer cette limite par substitution directe uniquement. On va devoir appliquer d’autres formes de manipulations. Et puisque le numérateur et le dénominateur de notre fonction sont des polynômes, on peut essayer de les factoriser. On souhaite factoriser entièrement les polynômes du second degré de notre numérateur et de notre dénominateur.
Il existe plusieurs façons de le faire. Par exemple, on pourrait utiliser la formule quadratique ou le solveur d’équations de notre calculatrice. Mais il existe une autre méthode très utile et c’est cette dernière que nous allons voir. Lorsqu’on a remplacé 𝑥 par moins un dans nos deux polynômes, on a obtenu zéro dans les deux cas. Et d’après le théorème de factorisation des polynômes, si moins un est la racine d’un polynôme, alors 𝑥 plus un est un facteur de ce polynôme. Par conséquent, 𝑥 plus un est un facteur de nos deux polynômes. Donc on peut utiliser cela pour factoriser nos deux polynômes.
On commence par le polynôme du second degré de notre dénominateur. Si 𝑥 plus un est un facteur de ce polynôme, alors le premier terme du second facteur doit être égal à 𝑥, car 𝑥 fois 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. Et si on multiplie nos deux constantes, on doit obtenir moins sept. Donc le second facteur de ce polynôme doit être égal à 𝑥 moins sept. On peut procéder de la même façon pour le polynôme du second degré de notre numérateur. Puisque le produit des deux constantes doit être égal à un, la constante du second facteur doit être égale à un. Et le produit de nos deux termes en 𝑥 doit donner 𝑥 au carré. On en déduit que notre second facteur doit être égal à 𝑥 plus un. On peut maintenant utiliser ces résultats pour réécrire notre limite.
En factorisant notre numérateur et notre dénominateur, on a pu réécrire la limite donnée dans l’énoncé en la limite quand 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 plus un, le tout divisé par 𝑥 moins sept multiplié par 𝑥 plus un. Mais on ne peut toujours pas utiliser la substitution directe pour calculer cette limite. En effet, cela nous donnerait un facteur de zéro au numérateur et au dénominateur. Donc on obtiendrait à nouveau la forme indéterminée zéro divisé par zéro.
Cependant, n’oublions pas que lorsqu’on cherche la limite quand 𝑥 tend vers moins un, on s’intéresse à ce qui se passe quand 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins un. Mais 𝑥 ne doit pas être égal à moins un. Et si 𝑥 n’est pas égal à moins un, alors 𝑥 plus un n’est pas égal à zéro. Donc, on peut simplifier par le facteur commun 𝑥 plus un au numérateur et au dénominateur. Cela n’affectera pas la valeur de notre limite. Notre limite devient alors la limite quand 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus un, le tout divisé par 𝑥 moins sept. Une fois de plus, il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle, donc on peut essayer de la calculer par substitution directe. On remplace 𝑥 par moins un dans notre fonction rationnelle.
Cela nous donne moins un moins six multiplié par moins un plus un, le tout divisé par moins un moins sept. On peut voir que l’un des facteurs du numérateur est égal à zéro, donc le numérateur est égal à zéro et le dénominateur est égal à moins huit. Donc on obtient zéro divisé par moins huit, ce qui est bien sûr égal à zéro. Par conséquent, en factorisant entièrement notre fonction rationnelle, en la simplifiant et en utilisant la substitution directe, on a montré que la limite quand 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un, le tout divisé par 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins sept est égale à zéro.
