Vidéo : Évaluation des limites à l’aide de techniques algébriques

Évaluation des limites à l’aide de techniques algébriques

17:47

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Évaluation des limites à l’aide de techniques algébriques.

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser des techniques telles que la factorisation pour déterminer la limite d’une fonction. Tout d’abord, rappelons la définition d’une limite, qui est, pour une fonction 𝑓 de 𝑥, définie au voisinage de la valeur où 𝑥 égale 𝑎, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿. Nous appelons cette valeur 𝐿 la limite. Et ici, nous avons écrit la notation standard pour la description d’une limite.

Maintenant, si 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle avec 𝑎 appartenant à son ensemble de définition, on peut simplement dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑎. Puisque nous introduisons la valeur de 𝑎 dans notre fonction, cette méthode est souvent décrite comme une substitution directe. Une chose importante à noter est que même si 𝑎 n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓, on peut toujours trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. C’est parce que la limite concerne les valeurs lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 mais n’égale pas 𝑎. Et nous verrons comment cela entre en jeu dans un instant.

Pour cette vidéo, nous allons nous concentrer sur les fonctions sous la forme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 of 𝑥, où 𝑃 et 𝑄 sont des fonctions polynômes. Dans les cas que nous allons voir, où 𝑥 égale 𝑎, 𝑃 de 𝑎 sur 𝑄 de 𝑎 sera évaluée en la forme indéterminée de zéro sur zéro. Autrement dit, si nous essayons de déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de notre fonction 𝑓 de 𝑥 par substitution directe de 𝑥 égale 𝑎 dans la fonction, nous verrons alors la substitution rater et il faudra adopter une autre approche.

En regardant notre quotient, nous pouvons voir que 𝑃 de 𝑎 et 𝑄 de 𝑎 égalent zéro. En rappelant le théorème du facteur, on peut alors en déduire que 𝑃 de 𝑥 et 𝑄 de 𝑥 auront un facteur commun de 𝑥 moins 𝑎. Avec cette information, nous pouvons réécrire la fonction 𝑃 majuscule de 𝑥 en tant qu’un produit de 𝑥 moins 𝑎 fois une autre fonction, que nous allons appeler 𝑝 minuscule de 𝑥. Et bien sûr, la même logique peut être suivie pour 𝑄 majuscule de 𝑥.

Cela nous permet de réécrire notre quotient initial comme 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑝 minuscule de 𝑥 divisé par 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑞 minuscule de 𝑥. Sous cette forme, nous voyons que le facteur commun 𝑥 moins 𝑎 peut être annulé aux moitiés supérieure et inférieure de notre quotient. Et nous nous retrouvons alors avec 𝑝 minuscule de 𝑥 sur 𝑞 minuscule de 𝑥. Définissons ce nouveau quotient comme 𝑔 de 𝑥.

Maintenant, une question raisonnable à poser est pourquoi donnons-nous cette nouvelle définition alors que 𝑓 de 𝑥 est clairement égale à 𝑔 de 𝑥. En fait, la réponse est qu’en annulant le facteur commun 𝑥 moins 𝑎, nous avons changé l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous avons donc 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥, mais pas au point où 𝑥 égale 𝑎. La subtilité ici est que 𝑔 de 𝑥 est définie lorsque 𝑥 égale 𝑎, alors que 𝑓 de 𝑥 ne l’est pas.

Parfait, cela nous permet de passer à la règle générale suivante. La limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 si 𝑓 et 𝑔 sont égales en tous les points d’un intervalle sauf au point où 𝑥 égale 𝑎. Là encore, il est bon de comprendre que cela marche car la limite concerne les valeurs de 𝑥 dans le voisinage de 𝑎 mais n’égalent pas 𝑎. Enfin, puisque 𝑔 est une fonction rationnelle avec 𝑎 appartenant à son ensemble de définition, on peut simplement trouver la limite par substitution directe, qui est 𝑔 évaluée où 𝑥 égale 𝑎. Ok, ça fait beaucoup d’informations, voyons un exemple pour illustrer cette notion.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers moins huit de 𝑥 au carré plus 13𝑥 plus 40 divisé par 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 au carré moins 12𝑥 moins 160.

Nous voyons ici que nous essayons de déterminer la limite d’une fonction rationnelle, que nous allons appeler 𝑓 de 𝑥. Pour ce type de fonctions, si moins huit appartient à l’ensemble de définition de 𝑓, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers moins huit est simplement 𝑓 évaluée en moins huit. La première chose que nous pouvons faire est alors d’essayer de faire une substitution directe de moins huit dans notre fonction.

Ici, nous avons effectué la substitution. Et suite à notre travail, nous trouvons que notre réponse est évaluée à zéro sur zéro. Et c’est une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas évaluer la limite en utilisant une substitution directe. Nous pouvons également conclure que moins huit n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓. Ici, nous allons devoir utiliser une approche différente. Et nous pouvons le faire d’abord en reconnaissant que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est sous la forme de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, où 𝑃 et 𝑄 sont tous deux des fonctions polynômes.

En voyant la substitution directe que nous venons d’essayer rater, nous pouvons voir que 𝑃 de moins huit et 𝑄 de moins huit sont toutes les deux égales à zéro. À partir de cette information, nous pouvons utiliser le théorème des facteurs pour conclure que 𝑥 plus huit est à la fois facteur de 𝑃 of 𝑥 et de 𝑄 de 𝑥. Puisque la substitution directe a raté, essayons plutôt de factoriser les moitiés supérieure et inférieure de notre quotient, sachant que les deux ont un facteur commun, 𝑥 plus huit.

Pour le numérateur, la factorisation d’une équation du second degré devrait être une compétence bien connue pour nous. Et avec quelques inspections, nous voyons que 𝑥 au carré plus 13𝑥 plus 40 est factorisé en 𝑥 plus huit et 𝑥 plus cinq. Maintenant pour le dénominateur, en général, factoriser un cube est une tâche beaucoup plus difficile. Cependant, étant donné que nous savons déjà que l’un des facteurs est 𝑥 plus huit, nous pouvons utiliser des techniques telles que la division polynomiale ou la comparaison de coefficients pour trouver l’autre facteur.

Pour cette vidéo, nous allons comparer les coefficients. Et nous commençons par reconnaître que notre autre facteur prendra la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Pour trouver 𝑎, nous notons que nous avons 𝑥 multiplié par 𝑎𝑥 au carré. Et cela équivaut à 𝑥 au cube. Il s’ensuit que 𝑎 égale un. Et nous voyons alors que notre deuxième facteur commence par le terme 𝑥 au carré.

Ensuite, pour trouver 𝑐, nous notons que nous avons huit fois 𝑐 égale moins 160. Et nous pouvons calculer 𝑐 égale moins 20. Enfin, pour trouver 𝑏, nous allons choisir de regarder le terme neuf 𝑥 au carré. En nous basant sur les coefficients précédents, nous remarquons que nous avons d’abord huit multiplié par 𝑥 au carré. Cela nous donne huit 𝑥 au carré. Nous avons aussi 𝑥 multiplié par 𝑏𝑥 et cela nous donne 𝑏𝑥 au carré. La somme de ces deux termes égale neuf 𝑥 au carré. Et il s’ensuit que 𝑏 égale un.

Le dénominateur de notre quotient est maintenant factorisé complètement. Et notre facteur manquant était 𝑥 carré plus 𝑥 moins 20. Suite à cette factorisation, nous pouvons supprimer le facteur commun 𝑥 plus huit de la moitié supérieure et inférieure de notre quotient. Et nous nous retrouvons avec 𝑥 plus cinq sur 𝑥 au carré plus 𝑥 moins 20.

Maintenant, nous devons nous rappeler qu’en supprimant le facteur commun 𝑥 plus huit, nous avons changé l’ensemble de définition de notre fonction d’origine 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑥 égale le membre droit de notre équation, que nous appellerons 𝑔 de 𝑥, en toutes les valeurs où 𝑥 n’égale pas moins huit. Il s’ensuit maintenant que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins huit de 𝑓 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers moins 𝑥 de 𝑔 de 𝑥. De manière cruciale, cela est dû au fait que la limite concerne des valeurs où 𝑥 est dans le voisinage de moins huit mais n’égale pas moins huit.

Un point important est que 𝑔 de 𝑥 est définie lorsque 𝑥 égale moins huit. Nous pouvons donc trouver la limite par substitution directe. Ici, nous avons effectué la substitution de 𝑔 de moins huit. Et si nous poursuivons avec nos calculs, nous voyons que cela équivaut à moins trois sur 36. Cette fraction peut être simplifiée en moins un sur 12. Nous avons maintenant répondu à la question. Et nous avons déterminé notre limite.

Cet exemple montre que lorsque nos fonctions 𝑃 de 𝑥 et 𝑄 de 𝑥 sont nulles, nous pouvons utiliser le théorème des facteurs pour nous aider avec des factorisations particulièrement délicates telles que les cubiques. Voyons maintenant une autre technique qui pourrait nous aider à éviter des factorisations délicates en nous concentrant d’abord sur les expressions de la forme 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑎 à la puissance 𝑛, ou la différence de deux puissances 𝑛.

Puisque l’introduction de 𝑥 égale 𝑎 dans cette équation donnera toujours zéro, notre ami le théorème du facteur nous dit à nouveau que toutes les expressions de cette forme seront évaluées à zéro. Et par conséquent, elles auront toutes un facteur 𝑥 moins 𝑎. En utilisant cette règle générale, nous voyons que notre deuxième facteur prendra la forme d’un polynôme de 𝑛 termes qui ont des puissances décroissantes de 𝑥 et des puissances croissantes de 𝑎 jusqu’aux puissances 𝑛 moins un. Quelques exemples sont montrés ci-dessous.

Cette règle générale peut être utilisée pour dériver une formule très utile de la manière suivante. Considérons le cas d’une différence de deux puissances 𝑛, 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑎 à la puissance 𝑛, divisée par la différence de deux puissances 𝑚, 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑎 à la puissance 𝑚. Nous pouvons utiliser notre règle générale pour exprimer les parties supérieure et inférieure de notre quotient sous la forme d’un produit de deux facteurs. Dans les deux cas, l’un de ces facteurs est 𝑥 moins 𝑎.

Nous pouvons supprimer ce facteur commun 𝑥 moins 𝑎 dans les moitiés supérieure et inférieure du quotient. En supprimant notre facteur commun, nous devons nous rappeler que les membres gauche et droit de nos équations sont égaux tant que la valeur de 𝑥 n’égale pas 𝑎. Comme la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 concerne les valeurs de 𝑥 dans le voisinage de 𝑎 mais n’égalent pas 𝑎, nous pouvons dire que la limite du membre gauche est égale à la limite du membre droit.

Étant donné le numérateur de notre quotient, nous utilisons maintenant l’astuce suivante de la substitution directe, où 𝑥 prend la valeur de 𝑎. Avec cette substitution, nous nous retrouvons avec la suite de 𝑛 termes dont tous les termes égalent 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un. Et ceci égale simplement 𝑛 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un. Bien que nous utilisions le numérateur comme exemple, nous suivons la même logique pour le dénominateur de notre quotient et on obtient 𝑚 fois 𝑎 à la puissance 𝑚 moins un.

Nous procédons ensuite avec quelques simplifications des puissances de 𝑎. Nous trouvons ensuite que notre limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 à la puissance de 𝑛 moins 𝑚. Ceci est un résultat vraiment utile pour les équations de cette forme car même quand les puissances 𝑛 ou 𝑚 sont grandes, nous pouvons éviter de longues factorisations en déterminant la limite. Voyons maintenant comment cette technique peut être utilisée dans un exemple.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de huit 𝑥 au cube moins 64 divisé par 𝑥 au carré moins quatre.

Nous avons ici une fonction que nous allons appeler 𝑓 de 𝑥. Sachant qu’il s’agit d’une fonction rationnelle, la première chose que nous pouvons essayer est une substitution directe de 𝑥 égale deux dans notre fonction. Ici, nous avons effectué la substitution. Et lorsque nous évaluons notre réponse, nous nous retrouvons avec zéro sur zéro qui est une forme indéterminée. Au lieu de cela, il faudra passer à une méthode différente basée sur la factorisation.

Pour cette méthode, notons d’abord que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est sous la forme de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, où 𝑃 et 𝑄 sont des fonctions polynômes. En inspectant le numérateur de notre quotient, nous remarquons que les deux termes ont un facteur, huit. Nous pouvons donc factoriser notre numérateur comme huit fois 𝑥 au cube moins huit. Et étant donné que ce huit est une constante, nous pouvons le prendre en dehors de notre limite comme suit. Si au lieu de cela nous trouvons la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 au cube moins huit divisé par 𝑥 au carré moins quatre, et multiplions ce facteur par notre constante huit, alors cela nous donnera la même réponse.

Pour continuer, nous pouvons alors remarquer que le huit de notre numérateur et le quatre de notre dénominateur peuvent tous deux être exprimés sous la forme de puissances de deux, respectivement deux au cube et deux au carré. Ensuite, nous voyons que notre limite prend la forme suivante. Ici, nous dirons que la moitié supérieure de notre quotient est égale à la différence de deux puissances 𝑛, avec 𝑛 étant trois, et la moitié inférieure de notre quotient est égale à la différence de deux puissances 𝑚, avec 𝑚 étant deux.

Étant donné cette forme, nous pouvons utiliser la règle générale suivante, qui nous dit que la limite sera égale à 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚. Ici, vous remarquerez que la moitié supérieure et inférieure de notre quotient auront toutes deux un facteur commun 𝑥 moins deux. Au lieu de cela, nous pourrions supprimer ce facteur commun et procéder à une ré-factorisation. Cependant, cette règle générale nous permet de passer directement à la limite.

Dans les cas où 𝑛 ou 𝑚 sont de grandes valeurs, cela nous aide à éviter une ré-factorisation longue et prenante en temps. En introduisant nos valeurs dans notre règle générale, où est 𝑎 deux, 𝑛 est trois et 𝑚 est aussi deux, nous trouvons que notre limite est trois sur deux fois deux à la puissance trois moins deux. Nous ne devons pas non plus oublier de multiplier cet ensemble par le huit que nous avons retiré hors de notre limite.

Trois moins deux est bien sûr un. Et ainsi, nous pouvons simplifier ceci en supprimant le deux et le un sur deux. Nous trouvons alors que notre réponse est égale à huit fois trois, soit 24. Nous avons maintenant trouvé que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 24. Et nous avons répondu à notre question.

La règle générale que nous avons utilisée dans cette vidéo nous fournit un raccourci utile qui peut être utilisé lorsque notre fonction 𝑓 de 𝑥 peut être exprimée sous cette forme. Encore une fois, bien que pour notre question les valeurs des puissances impliqués soient relativement petites, lorsque les valeurs de 𝑛 et 𝑚 sont suffisamment grandes, vous pourrez gagner beaucoup plus de temps. Une chose intéressante à noter est que certaines des techniques que nous avons montrées dans cette vidéo peuvent également être utilisées pour déterminer les limites des fonctions comportant un radical. Plus précisément, où 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, où 𝑃 ou 𝑄 comportent un terme radical, tel que la racine carrée de 𝑥.

Bien que celles-ci ne soient pas classées comme des fonctions rationnelles, certains de nos outils marcheront quand même. Un exemple serait si nous prenions la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de la racine cubique de 𝑥 moins deux divisé par 𝑥 moins huit. Si nous essayions une approche de substitution directe, nous aurions encore une fois la forme indéterminée de zéro sur zéro.

Cependant, si au lieu de cela nous devions factoriser, en retirant spécifiquement un facteur de la racine cubique de 𝑥 moins deux de notre dénominateur, nous pourrions alors procéder d’une manière familière. En supprimant le facteur commun dans les moitiés supérieure et inférieure du quotient, puis en substituant directement 𝑥 égale huit dans l’expression restante, pour finalement trouver la réponse un sur 12. Bien qu’ici nous avons montré un exemple où nos techniques actuelles marchent, dans certains cas, nous aurons besoin d’une méthode différente basée sur la multiplication par un conjugué. Cette technique peut être illustrée à l’aide d’un exemple.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑥 au carré moins huit 𝑥 divisé par la racine carrée de 𝑥 plus un moins trois.

Nous voyons ici que nous prenons la limite d’une fonction 𝑓 de 𝑥, qui prend la forme de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. Lorsque nous essayons une approche de substitution directe pour résoudre ce problème, notre expression passe à la forme indéterminée de zéro sur zéro. Et au lieu de cela, nous devrons utiliser une approche différente. La première chose que nous pouvons remarquer est que notre numérateur peut être factorisé comme 𝑥 fois 𝑥 moins huit. D’après notre connaissance du théorème des facteurs, nous pourrions nous attendre à ce facteur 𝑥 moins huit étant donné que la fonction 𝑃 évaluée où 𝑥 égale huit nous a donné zéro.

Malheureusement, le dénominateur de notre quotient est moins simple à évaluer. Mais nous pouvons comprendre comment avancer en le considérant comme un binôme sous la forme 𝑎 moins 𝑏, où 𝑎 égale la racine carrée de 𝑥 moins un et 𝑏 égale trois. Le conjugué de tout binôme est déterminé en inversant le symbole entre les deux termes. Le conjugué de notre binôme serait alors 𝑎 plus 𝑏. Et dans ce cas, c’est la racine carrée de 𝑥 plus un plus trois.

Maintenant, multiplier un binôme par son conjugué est un bon outil car ça nous donne la différence de deux carrés. Étant donné que notre dénominateur contient une racine carrée, nous pouvons utiliser cette relation pour évaluer notre fonction. Or, multiplier par le conjugué sur lui-même revient à multiplier par un. Néanmoins, la moitié inférieure de notre quotient se simplifie alors en une différence de deux carrés.

Et avec un peu de travail, nous voyons que notre dénominateur devient alors 𝑥 moins huit. Ensuite, nous pouvons supprimer le facteur commun 𝑥 moins huit aux moitiés supérieure et inférieure du quotient. Et à la droite de notre équation, il nous reste 𝑥 multiplié par la racine carrée de 𝑥 plus un plus trois.

Maintenant, puisque notre fonction initiale 𝑓 de 𝑥 est égale au membre droit de notre équation en tout point où 𝑥 n’égale pas huit, nous pouvons dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de notre fonction initiale 𝑓 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de notre nouvelle fonction, que nous appellerons 𝑔 de 𝑥. En effet, la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de huit mais n’égalent pas huit.

Sous cette forme, nous pouvons effectuer une substitution directe de 𝑥 égale huit dans notre fonction 𝑔 pour déterminer la limite. En effectuant la substitution puis en évaluant notre réponse, nous obtenons une valeur de 48. Et c’est en fait la limite que nous cherchions à déterminer.

Maintenant, il convient de rappeler ici qu’au début nous n’avions pas pu déterminer notre limite en utilisant la substitution directe, puisque nous avions obtenu la forme indéterminée zéro sur zéro. Au lieu de cela, après avoir factorisé et utilisé notre méthode du conjugué pour supprimer un facteur commun, une substitution directe a été possible. Il faut donc être vigilant pour utiliser cette méthode dans des questions de cette forme lorsque nous observons un radical dans notre quotient.

Récapitulons maintenant quelques points clés. En déterminant la limite d’une fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥, exprimée par 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, et en évaluant par substitution directe, on peut se retrouver avec la forme indéterminée zéro sur zéro. Dans ces cas, si la fonction 𝑓 de 𝑥 est presque égale à 𝑔 de 𝑥. C’est-à-dire que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 sauf où 𝑥 égale 𝑎. Il s’ensuit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥.

En supposant que 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de notre nouvelle fonction 𝑔, c’est-à-dire que 𝑔 de 𝑥 soit définie où 𝑥 égale 𝑎, nous pouvons alors déterminer notre limite par substitution directe, c’est-à-dire en prenant la valeur de 𝑔 de 𝑎. Nous pouvons trouver une telle fonction 𝑔 de 𝑥 via plusieurs méthodes telles que la factorisation ou la multiplication par un conjugué du numérateur ou du dénominateur.

Les méthodes que nous avons montrées dans cette vidéo impliquent l’annulation d’un facteur commun 𝑥 moins 𝑎 aux moitiés supérieure et inférieure de notre quotient. Étant donné que prendre la limite implique des valeurs de 𝑥 qui sont proches mais non égales à 𝑎, peu importe si en supprimant le facteur commun, on change l’ensemble de définition de la fonction d’origine 𝑓 de 𝑥. Enfin, lorsque notre fonction prend certaines formes, il existe des raccourcis utiles pour rechercher directement la limite, évitant potentiellement de longues factorisations.

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