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Vidéo de la leçon: Évaluer des limites à l’aide de techniques algébriques Mathématiques • Deuxième secondaire

Évaluer des limites à l’aide de techniques algébriques

24:58

Transcription de la vidéo

Évaluer des limites à l’aide de techniques algébriques.

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser des techniques telles que la factorisation pour calculer la limite d’une fonction. Commençons par rappeler la définition de la limite d’une fonction: pour une fonction 𝑓 définie au voisinage de 𝑥 égale 𝑎, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿. On appelle cette valeur 𝐿, la limite. Et la notation standard d’une limite ressemble à ceci.

Maintenant, si 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle et que 𝑎 appartient à son ensemble de définition, on peut simplement dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. Comme on entre la valeur 𝑎 dans la fonction, cette méthode est souvent appelée substitution directe. Un point important à noter ici est que même si 𝑎 ne fait pas partie de l’ensemble de définition de la fonction 𝑓, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 peut parfois exister. En effet, la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui tendent vers 𝑎 mais ne sont pas égales à 𝑎. Et nous verrons comment cela fonctionne dans un instant.

Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur les fonctions de la forme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥 où 𝑃 et 𝑄 sont des fonctions polynomiales. Dans les exemples que nous allons étudier, évaluer 𝑃 de 𝑎 sur 𝑄 de 𝑎 donnera une forme indéterminée de zéro sur zéro. C’est-à-dire que si nous essayons de calculer la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 en substituant directement 𝑥 égale 𝑎 dans la fonction, la substitution ne fonctionnera pas et nous devrons adopter une autre approche.

En observant le quotient, nous pouvons voir que 𝑃 de 𝑎 et 𝑄 de 𝑎 sont tous les deux égaux à zéro. D’après la propriété de factorisation des polynômes, nous pouvons alors en déduire que 𝑃 de 𝑥 et 𝑄 de 𝑥 ont un facteur commun de 𝑥 moins 𝑎. Sachant cela, nous pouvons réécrire la fonction grand 𝑃 de 𝑥 comme le produit de 𝑥 moins 𝑎 fois une autre fonction, que nous appellerons petit 𝑝 de 𝑥. Et, bien sûr, la même logique s’applique à 𝑄 de 𝑥.

Cela nous permet de réécrire le quotient initial comme 𝑥 moins 𝑎 fois petit 𝑝 de 𝑥 sur 𝑥 moins 𝑎 fois petit 𝑞 de 𝑥. Sous cette forme, nous voyons que le facteur commun 𝑥 moins 𝑎 s’annule au numérateur et au dénominateur du quotient. Et il nous reste alors petit 𝑝 de 𝑥 sur petit 𝑞 de 𝑥. Définissons ce nouveau quotient comme 𝑔 de 𝑥.

Vous vous demandez alors peut-être pourquoi cette nouvelle est nécessaire définition alors 𝑓 de est visiblement égale à 𝑔 de . En fait, la réponse est qu’en annulant le facteur commun 𝑥 moins 𝑎, nous avons modifié l’ensemble de définition de la fonction 𝑓. 𝑓 de 𝑥 est donc bien égal à 𝑔 de 𝑥, mais pas au point où 𝑥 égale 𝑎. La subtilité ici est que 𝑔 est définie lorsque 𝑥 égale 𝑎 alors que 𝑓 ne l’est pas.

C’est une bonne nouvelle car cela nous permet de passer à la propriété générale suivante. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 si 𝑓 et 𝑔 sont égales en tous points d’un intervalle sauf au point où 𝑥 égale 𝑎. Il faut de nouveau comprendre que cette propriété est vraie car la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont proches de 𝑎 mais non égales à 𝑎. Enfin, comme 𝑔 est une fonction rationnelle et que 𝑎 appartient à son ensemble de définition, nous pouvons simplement calculer sa limite par substitution directe, elle est égale à la valeur de 𝑔 en égale 𝑎. Ok, cela fait beaucoup d’informations donc étudions un exemple pour illustrer ce concept.

Calculez la limite de 𝑥 carré plus 13𝑥 plus 40 sur 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 carré moins 12𝑥 moins 160 lorsque 𝑥 tend vers moins huit.

Nous devons ici calculer la limite d’une fonction rationnelle, que nous appellerons 𝑓 de 𝑥. Pour ce type de fonction, si moins huit appartient à l’ensemble de définition de 𝑓, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers moins huit est simplement égale à 𝑓 de moins huit. La première chose que nous pouvons alors essayer est de substituer directement le nombre moins huit dans la fonction.

Nous effectuons la substitution. Et après calculs, nous obtenons une réponse de zéro sur zéro. Il s’agit d’une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas évaluer la limite en utilisant une substitution directe. Nous pouvons également en déduire que moins huit n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓. Nous allons donc devoir utiliser une approche différente. Et nous pouvons le faire en reconnaissant d’abord que la fonction 𝑓 de 𝑥 est sous la forme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, où 𝑃 et 𝑄 sont des fonctions polynomiales.

En observant les calculs de la substitution directe qui n’a pas fonctionné, nous pouvons voir que 𝑃 de moins huit et 𝑄 de moins huit sont tous les deux égaux à zéro. Nous pouvons donc utiliser la propriété de factorisation des polynômes pour en déduire que 𝑥 plus huit est un facteur de 𝑃 de 𝑥 et de 𝑄 de 𝑥. Comme la substitution directe a échoué, essayons plutôt de factoriser le numérateur et le dénominateur du quotient, sachant qu’ils ont tous les deux un facteur commun de 𝑥 plus huit.

Pour le numérateur, factoriser une équation du second degré devrait vous être familier. Et avec un peu d’observation, on trouve que 𝑥 carré plus 13𝑥 plus 40 se factorise par 𝑥 plus huit fois 𝑥 plus cinq. Concernant le dénominateur, factoriser une équation cubique est normalement une tâche beaucoup plus complexe. Cependant, comme nous savons déjà qu’un des facteurs est 𝑥 plus huit, nous pouvons utiliser des techniques telles que la division euclidienne de polynômes ou la comparaison des coefficients pour trouver l’autre facteur.

Nous choisissons ici de comparer les coefficients. On commence par reconnaître que le second facteur aura la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Pour trouver 𝑎, on remarque que l’on a un 𝑥 multiplié par 𝑎𝑥 carré. Et cela est égal à 𝑥 au cube. On en déduit donc que 𝑎 est égal à un. Et on voit alors que le deuxième facteur commence par le terme 𝑥 carré.

Ensuite, pour trouver 𝑐, on remarque que l’on a huit fois 𝑐 égale moins 160. Et on peut calculer que 𝑐 est égal à moins 20. Enfin, pour trouver 𝑏, on choisit d’étudier le terme neuf 𝑥 carré. D’après les coefficients que l’on vient de calculer, on remarque que l’on a d’abord un huit multiplié par 𝑥 au carré. Cela fait huit 𝑥 carré. On a également un 𝑥 multiplié par 𝑏𝑥 et cela donne 𝑏𝑥 carré. La somme de ces deux termes est égale à neuf 𝑥 carré. On en déduit que 𝑏 est égal à un.

Le dénominateur de notre quotient est donc maintenant entièrement factorisé. Et le facteur manquant est 𝑥 carré plus 𝑥 moins 20. Suite à cette factorisation, nous pouvons annuler le facteur commun 𝑥 plus huit au numérateur et au dénominateur du quotient. Et il nous reste alors 𝑥 plus cinq sur 𝑥 carré plus 𝑥 moins 20.

Nous rappelons qu’en annulant le facteur commun de 𝑥 plus huit, nous avons modifié l’ensemble de définition de la fonction d’origine 𝑓. On peut dire que 𝑓 de 𝑥 est égal au membre droit de l’équation, que l’on appelle 𝑔 de 𝑥, pour toutes les valeurs de 𝑥 différentes de moins huit. On en déduit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins huit est égale à la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins 8. La limite concerne en effet les valeurs où 𝑥 est proche de moins huit mais n’est pas égal à moins huit.

Un point important à noter est que 𝑔 est définie lorsque 𝑥 est égal à moins huit. Et nous pouvons alors calculer la limite par substitution directe. On effectue donc la substitution 𝑔 de moins huit. Et en poursuivant les calculs, on trouve moins trois sur 36. Cette fraction se simplifie par moins un sur 12. Nous avons maintenant répondu à la question. Et avons trouvé notre limite.

Cet exemple illustre que lorsque les valeurs des fonctions 𝑃 de 𝑥 et 𝑄 de 𝑥 sont égales à zéro, nous pouvons utiliser la propriété de factorisation des polynômes pour nous aider à effectuer des factorisations potentiellement délicates comme celles d’équations cubiques. Présentons maintenant une autre technique qui peut nous aider à éviter des factorisations complexes pour les expressions de la forme 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛, c’est-à-dire des différences de deux puissances 𝑛.

Comme substituer 𝑥 égal dans cette équation donne toujours zéro, la propriété de factorisation de polynômes nous dit encore une fois que toutes les expressions de cette forme peuvent être factorisées. Et qu’elles ont toutes un facteur de 𝑥 moins 𝑎. En utilisant cette formule générale, on voit que le deuxième facteur est un polynôme de 𝑛 termes avec des puissances décroissantes de 𝑥 et des puissances croissantes de 𝑎 jusqu’à 𝑛 moins un. En voici quelques exemples pour différentes valeurs de .

Cette formule générale peut être utilisée pour obtenir une autre formule très utile comme nous allons le voir. Considérons le cas d’une différence de deux puissances 𝑛, 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance sur une différence de deux puissances , 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚. Nous pouvons utiliser notre formule générale pour exprimer le numérateur et le dénominateur comme des produits de deux facteurs. Dans les deux cas, un de ces facteurs est 𝑥 moins 𝑎.

On peut annuler ce facteur commun 𝑥 moins 𝑎 au numérateur et au dénominateur du quotient. En l’annulant, on doit se rappeler que les membres gauche et droit de l’équation sont égaux à condition que 𝑥 soit différent de 𝑎. Puisque la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 concerne des valeurs de 𝑥 proches de 𝑎 mais non égales à 𝑎, on peut dire que la limite du membre gauche est égale à la limite du membre droit.

En se concentrant sur le numérateur du quotient, on utilise maintenant l’astuce suivante de substitution directe, où 𝑥 prend la valeur 𝑎. Avec cette substitution, on obtient une suite de 𝑛 termes dont tous les termes sont égaux à 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela est simplement égal à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Bien que nous ayons utilisé le numérateur comme exemple, le même raisonnement s’applique pour le dénominateur du quotient et on obtient 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑚 moins un.

On effectue ensuite quelques simplifications des puissances de 𝑎. Nous trouvons alors que notre limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. C’est un résultat vraiment utile pour les équations de cette forme car même lorsque les puissances 𝑛 ou 𝑚 sont élevées, il nous permet d’éviter de longues factorisations pour le calcul de limites. Voyons maintenant une application de cette technique dans un exemple.

Calculez la limite de huit 𝑥 au cube moins 64 sur 𝑥 carré moins quatre lorsque 𝑥 tend vers deux.

Nous avons ici une fonction, que nous appellerons 𝑓 de 𝑥. Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, la première chose que nous pouvons essayer est une substitution directe de 𝑥 égale deux dans la fonction. On effectue donc la substitution. Et lorsque l’on évalue ce quotient, on constate que l’on obtient une forme indéterminée de zéro sur zéro. Nous allons donc devoir essayer une méthode différente basée sur la factorisation.

Pour cette méthode, on remarque d’abord que la fonction 𝑓 de 𝑥 est sous la forme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, où 𝑃 et 𝑄 sont des fonctions polynomiales. En observant le numérateur, on constate que les deux termes ont un facteur commun de huit. On peut donc factoriser le numérateur pour obtenir huit fois 𝑥 au cube moins huit. Et comme ce huit est une constante, on peut le sortir de la limite comme ceci. En calculant la limite de 𝑥 au cube moins huit sur 𝑥 carré moins quatre lorsque 𝑥 tend vers deux et en la multipliant par la constante huit, on obtiendra la même réponse.

En continuant, on remarque que le huit au numérateur et le quatre au dénominateur peuvent tous les deux être exprimés comme des puissances de deux, qui sont respectivement deux au cube et deux au carré. On voit maintenant que la limite prend la forme suivante. Le numérateur du quotient est une différence de deux puissances 𝑛, avec 𝑛 égal à trois, et le dénominateur est une différence de deux puissances , avec 𝑚 égal à deux.

Nous pouvons donc utiliser la formule générale suivante qui indique que sa limite est égale à 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Vous avez peut-être remarqué que le numérateur et le numérateur du quotient ont un facteur commun de 𝑥 moins deux. Nous pourrions donc annuler ce facteur commun et factoriser. La formule générale nous permet cependant de calculer directement la limite.

Dans les cas où les valeurs de 𝑛 ou 𝑚 sont élevées, elle nous évite une factorisation potentiellement fastidieuse. En substituant les valeurs dans la formule générale : 𝑎 égale deux, 𝑛 égale trois et 𝑚 égale deux, on trouve que la limite est égale à trois sur deux fois deux puissance trois moins deux. On ne doit pas non plus oublier de multiplier tout cela par le huit que l’on a sorti de la limite.

Trois moins deux est bien sûr égal à un. Et on peut donc simplifier en annulant le deux et le un sur deux. On trouve alors que la limite est égale à huit fois trois, soit 24. Nous avons maintenant calculé que la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux est égale à 24. Et nous avons ainsi répondu à la question.

La formule générale que nous avons utilisée dans cet exemple nous fournit un raccourci utile qui peut être utilisé lorsque la fonction 𝑓 de 𝑥 peut être exprimée sous cette forme. Encore une fois, bien que les puissances impliquées dans ce cas étaient relativement faibles, vous pourrez peut-être gagner beaucoup plus de temps si 𝑛 et 𝑚 sont suffisamment élevés. Un point intéressant à noter est que certaines des techniques que nous avons montrées dans cette vidéo peuvent également être utilisées pour déterminer les limites de fonctions impliquant des racines. Par exemple, quand 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥 et 𝑃 ou 𝑄 comportent un terme racine, tel que racine carrée de 𝑥.

Bien que ces fonctions ne soient pas classées comme rationnelles, certains de nos outils fonctionnent tout de même. Si nous cherchons par exemple la limite de racine cubique de 𝑥 moins deux sur 𝑥 moins huit lorsque 𝑥 tend vers huit. En essayant une substitution directe, nous retrouverions la forme indéterminée zéro sur zéro.

Cependant, si nous factorisons la racine cubique de 𝑥 moins 2 au dénominateur, nous pouvons alors procéder de manière familière. En annulant le facteur commun au numérateur et au dénominateur du quotient, puis en substituant directement 𝑥 égale huit dans l’expression restante pour finalement trouver une réponse de un sur 12. Bien qu’il s’agisse ici d’un exemple où les techniques que nous avons vues fonctionnent, nous aurons besoin dans certains cas d’une méthode différente basée sur la troisième identité remarquable. Illustrons cette méthode à l’aide d’un exemple.

Calculez la limite de 𝑥 carré moins huit 𝑥 sur racine carrée de 𝑥 plus un moins trois lorsque 𝑥 tend vers huit.

Nous cherchons ici la limite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 de la forme de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. Lorsque nous essayons une substitution directe pour résoudre ce problème, nous obtenons une forme indéterminée de zéro sur zéro. Nous allons donc devoir utiliser une approche différente. La première chose que l’on remarque est que le numérateur peut être factorisé comme 𝑥 fois 𝑥 moins huit. D’après la propriété de factorisation des polynômes, on aurait pu s’y attendre car on a vu que P de huit égale zéro.

Malheureusement, le dénominateur du quotient est moins simple à évaluer. Mais on peut avancer en le considérant comme un binôme de la forme 𝑎 moins 𝑏, où 𝑎 est égal à racine carrée de 𝑥 moins un et 𝑏 est égal à trois. On peut trouver le second facteur de la troisième identité remarquable en inversant le signe du deuxième terme du binôme. Il s’agit donc ici de 𝑎 plus 𝑏. Et dans ce cas, il est égal à racine carrée de 𝑥 plus un plus trois.

La troisième identité remarquable est utile car on obtient la différence de deux carrés. Comme le dénominateur contient une racine carrée, on peut utiliser cette identité pour évaluer la fonction. Multiplier par plus sur plus revient à multiplier par un. Néanmoins, le dénominateur se simplifie alors par une différence de deux carrés.

Et avec un peu de calculs, il devient 𝑥 moins huit. On peut maintenant annuler le facteur commun de 𝑥 moins huit au numérateur et au dénominateur du quotient. Le membre droit de l’équation devient alors 𝑥 fois racine carrée de 𝑥 plus un plus trois.

Maintenant, puisque la fonction d’origine 𝑓 de 𝑥 est égale au membre droit de l’équation en tous points où 𝑥 est différent de huit, on peut dire que la limite de la fonction d’origine 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers huit est égale à la limite de la nouvelle fonction, que l’on appelle 𝑔 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers huit. En effet, la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de huit mais non égales à cette valeur.

Sous cette forme, nous pouvons effectuer une substitution directe de 𝑥 égale huit dans la fonction 𝑔 pour calculer la limite. En effectuant la substitution puis en évaluant la réponse, nous obtenons une valeur de 48. Et c’est en fait la limite que nous cherchions à déterminer.

Il convient de rappeler ici que nous n’avions initialement pas pu calculer la limite en utilisant une substitution directe car nous obtenions une forme indéterminée de zéro sur zéro. Après avoir factorisé et utilisé la troisième identité remarquable pour annuler un facteur commun, nous avons cependant pu utiliser une substitution directe. Vous devez donc essayer de repérer si cette méthode est applicable pour des questions de cette forme lorsque le quotient contient une racine.

Récapitulons maintenant quelques points clés. Lorsque nous cherchons la limite de 𝑓 de 𝑥 s’exprimant comme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥 et que nous essayons de l’évaluer par substitution directe, nous pouvons parfois obtenir la forme indéterminée zéro sur zéro. Dans ces cas, si la fonction 𝑓 de 𝑥 est presque égale à 𝑔 de 𝑥. C’est-à-dire que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑔 de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 sauf quand 𝑥 est égal à 𝑎. Alors la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

En supposant que 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de la nouvelle fonction 𝑔, c’est-à-dire que 𝑔 de 𝑥 est définie en 𝑥 égale 𝑎, nous pouvons alors calculer la limite par substitution directe, c’est-à-dire en prenant la valeur 𝑔 de 𝑎. Nous pouvons déterminer une telle fonction 𝑔 grâce à plusieurs méthodes telles que la factorisation ou l’utilisation de la troisième identité remarquable.

Les méthodes que nous avons présentées dans cette vidéo permettent d’annuler un facteur commun 𝑥 moins 𝑎 au numérateur et au dénominateur du quotient. Comme prendre la limite implique des valeurs de 𝑎 qui sont proches mais non égales à 𝑎, nous pouvons modifier l’ensemble de définition de la fonction d’origine 𝑓 en annulant le facteur commun sans conséquence. Enfin, lorsque la fonction est sous certaines formes, il existe des raccourcis utiles qui nous permettent de calculer directement la limite, nous évitant ainsi de potentielles longues factorisations.

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