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Fiche explicative de la leçon : Évaluer des limites à l’aide de techniques algébriques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser des techniques algébriques comme la factorisation pour évaluer les limites.

La limite d’une fonction en un point décrit le comportement de la fonction à proximité du point donné, plutôt que la valeur de la fonction en ce point. Bien que cette distinction soit très importante à garder à l’esprit, nous savons que, dans de nombreux cas, la limite d’une fonction est en réalité égale à la valeur de la fonction en ce point. Dans de tels cas, nous pouvons évaluer la limite en calculant la valeur de la fonction en ce point.

Cette méthode n’est, par contre, clairement pas possible si la fonction n’est pas définie au point où on recherche la limite. En d’autres termes, si le point limite n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction, nous ne pouvons pas évaluer la limite par substitution directe. Nous pouvons toujours utiliser un tableau de valeurs ou la courbe représentative de la fonction pour estimer la limite, mais ces méthodes nécessitent généralement une calculatrice et ne nous donnent généralement pas une idée précise de la valeur de la limite. Dans cette fiche explicative, nous allons introduire une méthode algébrique pour évaluer certaines limites sans utiliser de calculatrices.

Dans toutes les limites que nous considérerons dans cette fiche explicative, les fonctions seront sous forme de fractions dont le dénominateur sera égal à zéro au point limite, de telle sorte que le point limite n’appartiendra pas à l’ensemble de définition. Plus précisément, nous étudierons les limites de la forme limavec𝑓(𝑥)𝑔(𝑥),𝑔(𝑎)=0.

Nous ne pouvons pas étudier de telles limites par substitution directe car la substitution du point limite dans le quotient conduira à une fraction avec un zéro au dénominateur. Si le numérateur 𝑓(𝑥) ne tend pas vers zéro au point limite (c.-à-d. lim𝑓(𝑥)0 ), alors on pourra dire que cette limite n’existe pas. Cela est dû au fait que le quotient deviendra de plus en plus grand (en valeur absolue) si le dénominateur tend vers zéro sans que le numérateur fasse de même. On comprend mieux cela si on regarde le cas particulier où 𝑓(𝑥)=1𝑥 et 𝑎=0. On peut calculer le tableau de valeurs de la fonctions à proximité du point limite 𝑥=0.

𝑥10,50,10,0100,010,10,5 0,51
𝑓(𝑥)1210100indéfini1001021

Dans ce tableau, nous pouvons voir clairement que 𝑓(𝑥) ne tend pas vers une valeur particulière quand 𝑥 tend vers 0. En fait, la valeur absolue de 𝑓(𝑥) devient de plus en plus grande à mesure que 𝑥 tend vers 0. Ainsi, on peut conclure que lim1𝑥 n’existe pas. On peut aussi l’observer sur la représentation graphique de 𝑦=1𝑥.

Sur la figure ci-dessus, nous pouvons voir que la valeur absolue de la valeur de la fonction 1𝑥 augmente sans borne supérieure quand 𝑥 tend vers 0. En règle générale, c’est ce que nous attendons des limites de la forme lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) quand le dénominateur 𝑔(𝑥) tend vers 0 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 mais pas le numérateur.

Propriété : Limite d’un quotient

La limite lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) n’existe pas si les deux conditions suivantes sont vérifiées:

  • lim𝑔(𝑥)=0,
  • lim𝑓(𝑥)0 ou n’existe pas (c.-à-d. qu’il n’y a pas de valeur 𝐿 vers laquelle tend 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 ).

Ainsi, lors de l’évaluation de la limite d’un quotient, nous devrons d’abord vérifier si le dénominateur tend vers zéro. Si c’est le cas, alors nous devrons vérifier si le numérateur tend également vers zéro. Si ce n’est pas le cas, on saura que la limite n’existe pas, noté PDL (Pas De Limite). On peut s’en souvenir en écrivant de manière symbolique:10=.PDL

Ici, le numérateur 1 est symbolique de toute constante non nulle, et cela ne signifie pas que le numérateur doive être égal à 1.

Cela nous laisse avec l’autre cas, celui où le numérateur tend également vers zéro. Formellement, cela conduit au cas 00, appelé forme indéterminée.

Définition : Forme indéterminée

Une forme indéterminée est une expression algébrique de nombres ou d’infinis dont la valeur ne peut être déterminée. Par exemple, l’expression 00 est une forme indéterminée.

Les formes indéterminées sont fréquentes dans l’étude des limites, mais il est très important de garder à l’esprit qu’une forme indéterminée n’est jamais la réponse attendue. Les formes indéterminées signifient simplement que nous ne pouvons pas déterminer la valeur de la limite en utilisant la méthode habituelle. En particulier, si 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) tendent tous deux vers zéro quand 𝑥 tend vers 𝑎, on peut dire que lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) est une forme indéterminée 00. Mais on ne doit surtout pas dire que cette limite est égale à 00. On ne saurait trop insister sur le fait que la forme indéterminée n’est pas une réponse au problème de recherche de la limite. Cela ne signifie pas non plus que la limite n’existe pas ou que nous ne sommes pas en mesure de la déterminer. Lorsque nous remarquons que notre limite prend une forme indéterminée, nous devons trouver une méthode différente pour déterminer cette limite.

Dans notre premier exemple, nous étudierons une limite qui prendra une forme indéterminée 00.

Exemple 1: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle en un point

Déterminez lim3𝑥18𝑥+24𝑥16.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite d’une fonction rationnelle. Nous savons que nous ne pouvons déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe que si le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite. On peut vérifier cette condition en substituant le point limite 𝑥=4 dans le dénominateur 𝑥16:416=0.

Étant donné que le dénominateur est égal à zéro au point limite, nous ne pouvons pas déterminer cette limite par substitution directe. Dans un tel cas, on sait que la limite n’existe pas si le numérateur ne tend pas également vers zéro. Nous pouvons vérifier cette condition en remplaçant 𝑥=4 au numérateur:3×418×4+24=4872+24=0.

Cela signifie que notre quotient prend la forme 00 quand on substitue le point limite. Rappelons que 00 est une forme indéterminée, et que ce n’est pas une réponse acceptable pour un problème de recherche de limite. Cela nous indique que nous devons utiliser une méthode différente pour déterminer cette limite.

Le numérateur et le dénominateur sont tous deux égaux à zéro en 𝑥=4. On rappelle que si 𝑓 est un polynôme avec 𝑓(𝑎)=0 , alors (𝑥𝑎) est un facteur de 𝑓(𝑥). Ainsi, on sait que (𝑥4) est un facteur des polynômes du numérateur et du dénominateur de la fraction. Cela signifie qu’après avoir factorisé les deux polynômes, nous pourrons simplifier par ce facteur. L’élimination de ce facteur des deux polynômes signifiera qu’à moins qu’il ne soit un facteur multiple de l’un des polynômes, les polynômes qui en résulteront n’auront plus 4 comme racine. Cela signifie que substituer 𝑥=4 dans le quotient simplifié ne produira plus zéro au dénominateur, ce qui permettra alors d’utiliser la méthode de substitution directe pour déterminer la limite.

Recherchons cette simplification en factorisant d’abord le numérateur. En remarquant que 3 est un facteur commun du numérateur, on peut écrire 3𝑥18𝑥+24=3𝑥6𝑥+8=3(𝑥4)(𝑥2).

Pour factoriser le dénominateur, nous rappelons la formule de la différence de deux carrés:𝑎𝑏=(𝑎𝑏)(𝑎+𝑏). En utilisant cette formule, on peut écrire 𝑥16=𝑥4=(𝑥4)(𝑥+4).

Ainsi, on peut écrire la fraction:3𝑥18𝑥+24𝑥16=3(𝑥4)(𝑥2)(𝑥4)(𝑥+4).

On voit que le facteur (𝑥4) est commun au numérateur et au dénominateur. En éliminant ce facteur commun, on obtient:3(𝑥2)𝑥+4.

Notez que cette nouvelle fonction a la même valeur que la fonction rationnelle d’origine, sauf au le point 𝑥=4 où la fonction d’origine n’est pas définie. Comme la limite d’une fonction ne concerne que la valeur de la fonction à proximité du point limite, on sait que cette fonction a la même limite en 𝑥=4 que la fonction rationnelle d’origine. En d’autres termes, limlim3𝑥18𝑥+24𝑥16=3(𝑥2)𝑥+4.

La limite du membre de droite de l’égalité ci-dessus est la limite d’une fonction rationnelle dont le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite. Ainsi, nous pouvons résoudre cette limite par substitution directe ce qui nous donne:lim3(𝑥2)𝑥+4=3(42)4+4=68=34.

Par conséquent, nous avons lim3𝑥18𝑥+24𝑥16=34.

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé un limite d’une fonction qui était une forme indéterminée 00. Même si la limite initiale était une forme indéterminée, nous avons pu simplifier algébriquement la fonction donnée, puis utiliser la substitution directe pour résoudre le problème. L’idée principale de la méthode algébrique pour étudier de telle limite est de simplifier la fraction pour aboutir à une autre expression qui nous permette d’utiliser la méthode de substitution directe.

Lorsque nous simplifions une fonction rationnelle en éliminant un diviseur commun du numérateur et du dénominateur, la fonction résultante n’est généralement pas identique à la fonction initiale. En particulier, l’ensemble de définition de l’expression résultante est souvent plus grand d’un nombre par rapport à celui de la fonction d’origine. L’ensemble de définition agrandi de la fonction simplifiée permet d’utiliser la substitution directe pour évaluer la limite.

Sur la représentation graphique de la fonction d’origine, ce point limite est représenté par un cercle, indiquant que la fonction n’est pas définie en ce point. En revanche, la représentation graphique de la fonction simplifiée est identique à celle de la fonction d’origine, sauf qu’elle n’a pas de « trou ». Nous pouvons voir cette différence sur les représentations des fonctions originales et simplifiées de l’exemple précédent.

Sur la figure, nous pouvons voir que la fonction d’origine n’est pas définie en 𝑥=4 , alors que la fonction simplifiée y est définie. Mis à part cela, les deux courbes sont identiques. Comme la limite d’une fonction ne concerne pas la valeur de la fonction au point limite, cette différence n’affecte pas la limite. Ainsi, la limite de la fonction d’origine peut être obtenue en déterminant la limite de la fonction simplifiée, qui peut être obtenue par substitution directe.

Propriété : Limites des fonctions

Soient 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) deux fonctions telles que 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour tout 𝑥𝑎. Alors limlim𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥).

Cette propriété justifie la plupart des étapes algébriques pour l’étude des limites. Nous admettrons cette propriété lorsque nous utiliserons des méthodes algébriques pour déterminer des limites.

Comment : Déterminer des limites de fonctions rationnelles de forme indéterminée 0/0

Soient 𝑝(𝑥) et 𝑞(𝑥) deux fonctions polynomiales telles que 𝑝(𝑎)=0 et 𝑞(𝑎)=0. Alors, pour déterminer lim𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), nous devons:

  1. factoriser à la fois 𝑝(𝑥) et 𝑞(𝑥),
  2. éliminer tous les facteurs communs,
  3. assimiler la limite de la fraction rationnelle simplifiée à la limite d’origine,
  4. déterminer la limite.

Si deux polynômes 𝑝(𝑥) et 𝑞(𝑥) satisfont aux conditions 𝑝(𝑎)=0 et 𝑞(𝑎)=0, ils peuvent tous les deux êtres factorisés par (𝑥𝑎). Ainsi, ces facteurs s’éliminent et en résulte une fonction rationnelle simplifiée. Si cette étape élimine tous les facteurs (𝑥𝑎) du dénominateur, la fraction simplifiée n’aura plus de dénominateur nul au point limite 𝑥=𝑎. Dans ce cas, nous pourrons évaluer la limite en utilisant la méthode de substitution directe. En revanche, si cette étape élimine tous les facteurs (𝑥𝑎) du numérateur mais pas tous ceux du dénominateur, la limite résultante sera de la forme 10, ce qui signifie que la limite n’existera pas.

Regardons un autre exemple d’étude de limite d’une fonction rationnelle de forme indéterminée 00 en utilisant des méthodes algébriques.

Exemple 2: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle en un point par factorisation

Déterminer lim𝑥+642𝑥+6𝑥8.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite d’une fonction rationnelle. Nous savons que nous ne pouvons déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe que si le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite. Commençons par examiner ce qui arrive à la fraction rationnelle donné lorsque nous substituons la variable par le point limite 𝑥=4:(4)+642×(4)+6×(4)8=64+6432248=00.

L’expression 00 est une forme indéterminée. Nous savons qu’une forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite. Rappelons que nous pouvons essayer de déterminer la limite d’une fonction rationnelle sous forme indéterminée en suivant les étapes ci-dessous:

  1. factoriser le numérateur et le dénominateur.
  2. éliminer tous les facteurs communs.
  3. assimiler la limite de la fraction simplifiée à la limite d’origine.
  4. déterminer la limite.

On peut commencer par remarquer que 2 est un facteur commun du dénominateur, ce qui nous donne 2𝑥+6𝑥8=2𝑥+3𝑥4.

On peut factoriser l’expression du second degré entre parenthèses pour écrire le dénominateur comme suit 2(𝑥1)(𝑥+4).

Ensuite, nous factorisons le numérateur, qui est un polynôme de degrés 3. En remarquant que 64=4 , on a 𝑥+64=𝑥+4.

C’est est une somme de deux cubes, qui peut être factorisée en utilisant la formule 𝑎+𝑏=(𝑎+𝑏)𝑎𝑎𝑏+𝑏.

En appliquant cette formule au numérateur avec 𝑎=𝑥 et 𝑏=4, on obtient 𝑥+4=(𝑥+4)𝑥4𝑥+16.

Cela conduit à limlimlim𝑥+642𝑥+6𝑥8=(𝑥+4)𝑥4𝑥+162(𝑥1)(𝑥+4)=𝑥4𝑥+162(𝑥1).

On élimine ensuite (𝑥+4) qui est l’étape clé dans la mesure où ce facteur est la raison pour laquelle le numérateur et le dénominateur sont nuls au point limite. On voit que le dénominateur de la fraction simplifiée n’est plus égal à zéro au point limite 𝑥=4. Nous pouvons donc maintenant déterminer cette limite par la méthode de substitution directe:lim𝑥4𝑥+162(𝑥1)=(4)4×(4)+162(41)=16+16+1610=4810=245.

Ainsi, on obtient lim𝑥+642𝑥+6𝑥8=245.

Dans l’exemple suivant, utiliserons la méthode algébrique pour déterminer la limite d’une fonction rationnelle de forme indéterminée 00 sous une racine.

Exemple 3: Déterminer la limite de la racine d’une fonction rationnelle en un point

Déterminer lim𝑥+18𝑥19𝑥𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite de la racine carrée d’une fonction rationnelle. Nous savons que nous pouvons trouver la limite de la racine carrée d’une fonction rationnelle par la méthode de substitution directe si le point limite appartient à l’ensemble de définition de la fonction. Pour qu’un nombre appartienne à l’ensemble de définition de la fonction, nous devons nous assurer que le dénominateur de la fonction rationnelle n’est pas égal à zéro en ce nombre et que l’expression sous la racine carrée est n’est pas négative en ce nombre. En bref, si nous sommes en mesure de calculer la valeur de la fonction pour le nombre donné, alors le nombre appartient à l’ensemble de définition.

Commençons par examiner ce qui arrive à la fonction donnée lorsque nous évaluons sa valeur en 𝑥=1:1+18×11911=00.

On obtient 00, soit une forme indéterminée. Nous savons qu’une forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite. Rappelons que nous pouvons essayer de déterminer la limite d’une fonction rationnelle sous forme indéterminée en suivant les étapes ci-dessous:

  1. factoriser le numérateur et le dénominateur.
  2. éliminer tous les facteurs communs.
  3. assimiler la limite de la fraction simplifiée à la limite d’origine.
  4. déterminer la limite.

Bien que dans ce cas la fonction ne soit pas vraiment une fonction rationnelle, la même étape de simplification peut être utilisée pour déterminer la limite.

On factorise le numérateur:𝑥+18𝑥19=(𝑥1)(𝑥+19).

Puis le dénominateur:𝑥𝑥=𝑥(𝑥1).

Ensuite, on peut simplifier:limlimlim𝑥+18𝑥19𝑥𝑥=(𝑥1)(𝑥+19)𝑥(𝑥1)=𝑥+19𝑥.

La simplification par (𝑥1) est l’étape clé car elle permet au numérateur et au dénominateur de ne plus tendre vers zéro au point limite. On voit que le dénominateur de la fonction rationnelle simplifiée sous la racine carrée n’est plus égal à zéro au point limite 𝑥=1. De plus, la fraction, sous la racine carrée, prend une valeur positive au point limite. Cela signifie que 𝑥=1 est dans l’ensemble de définition de cette fonction qui est encore une racine carré de fonction rationnelle. Nous savons que, dans ce cas, nous pouvons calculer la limite par substitution directe. Ce qui donne lim𝑥+19𝑥=1+191=20=25.

Ainsi, lim𝑥+18𝑥19𝑥𝑥=25.

Dans les exemples précédents, nous avons factorisé le numérateur et dénominateur d’une fonction rationnelle pour lever le problème d’une forme indéterminée dans l’étude d’une limite. Nous avons vu que lorsque la limite d’une fonction rationnelle en 𝑥=𝑎 est une forme indéterminée 00, il y a toujours un facteur (𝑥𝑎) au numérateur et au dénominateur. Cela signifie que nous pouvons toujours simplifier cette fonction rationnelle jusqu’à ce que le numérateur ou le dénominateur (dans la plupart des cas les deux) soient non nul au point limite. Nous pouvons alors déterminer la limite par substitution directe.

Cependant, ce processus peut être plus complexe si nous rencontrons une fonction difficile à factoriser. Dans de telles situations, savoir qu’il doit y avoir un facteur de la forme (𝑥𝑎) au numérateur et au dénominateur peut être très utile. Cela signifie, en effet, que nous pouvons trouver une forme factorisée du polynôme de la forme (𝑥𝑎)𝑝(𝑥). On déterminera cette forme factorisée en effectuant une division euclidienne du polynôme, comme illustré dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle en un point

Déterminer lim𝑥493𝑥+24𝑥+13𝑥56.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite d’une fonction rationnelle. Nous savons que nous ne pouvons déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe que si le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite. Commençons par examiner ce qui arrive à la fraction lorsque nous évaluons sa valeur en 𝑥=7:(7)493×(7)+24×(7)+13×(7)56=49491029+11769156=00.

On obtient 00 qui est une forme indéterminée. Nous savons qu’une forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite. Rappelons que nous pouvons essayer de déterminer la limite d’une fonction rationnelle de forme indéterminée en suivant les étapes ci-dessous:

  1. factoriser le numérateur et le dénominateur.
  2. annuler tous les facteurs communs.
  3. assimiler la limite de la fraction simplifiée à la limite d’origine.
  4. déterminer la limite.

En particulier, nous savons que le numérateur et le dénominateur peuvent tous les deux se factoriser par (𝑥+7) puisque ces polynômes sont égaux à zéro en 𝑥=7. Commençons par factoriser le numérateur. Nous savons que 49=7, ainsi on peut utiliser la formule de la différence de deux carrés, 𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎𝑏), pour factoriser le numérateur:𝑥49=(𝑥+7)(𝑥7).

Alors que le numérateur est simple à factoriser, le dénominateur est moins évident. Pour déterminer la factorisation du dénominateur sous la forme (𝑥+7)𝑝(𝑥), nous utiliserons la division euclidienne des polynômes. On effectue la division du dénominateur par 𝑥+7:

Cela conduit à la factorisation du dénominateur:(𝑥+7)3𝑥+3𝑥8.

Ce qui nous donne:limlimlim𝑥493𝑥+24𝑥+13𝑥56=(𝑥+7)(𝑥7)(𝑥+7)(3𝑥+3𝑥8)=𝑥73𝑥+3𝑥8.

La simplification par (𝑥+7) permet de transformer le numérateur et le dénominateur en polynômes qui ne tendent pas vers zéro au point limite. Comme le dénominateur simplifié n’est pas égal à zéro au point limite 𝑥=7, on peut déterminer cette limite par substitution directe:lim𝑥73𝑥+3𝑥8=773(7)+3×(7)8=14147218=14118=759.

Ainsi, lim𝑥493𝑥+24𝑥+13𝑥56=759.

Jusqu’à présent, nous avons appris comment déterminer la limite d’une fonction rationnelle de forme indéterminée 00 en utilisant des méthodes algébriques. Nous nous intéressons maintenant à des limites sous une forme indéterminée pour lesquelles le numérateur ou le dénominateur sont des racines carrées. Pour les fonctions rationnelles, nous pouvions résoudre le problème de la forme indéterminée en factorisant le numérateur et le dénominateur et en éliminant le diviseur commun. Ce n’est généralement pas possible pour des fractions qui ne sont pas des fonctions rationnelles, car il est difficile de factoriser des expressions qui ne sont pas des polynômes.

Dans le cas où la fraction contient des expressions sous forme de racine, une astuce consiste à utiliser l’expression conjuguée. Les d’expressions 𝑎+𝑏 et 𝑎𝑏 sont dites conjuguées. En utilisant la formule de la différence de deux carrés, on peut écrire 𝑎+𝑏𝑎𝑏=𝑎𝑏.

Cette méthode peut être utilisée pour supprimer des racines carrées dans une expression. Ainsi, pour simplifier une fraction avec des racines carrées, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par une expression conjuguée pour commencer par supprimer des racines carrées.

Comment : Déterminer des limites de quotients impliquant des racines carrées

Soit 𝑓(𝑥) une fonction dont l’expression est un quotient de fonctions avec des racines carrées. Pour déterminer la limite de 𝑓(𝑥) de forme indéterminée 00 , nous devons

  1. multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par une expression conjuguée,
  2. simplifier par tous les facteurs communs,
  3. assimiler la limite de la fonction simplifiée à la limite d’origine,
  4. déterminer la limite.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons cette méthode pour déterminer la limite d’une fonction impliquant des racines carrées.

Exemple 5: Déterminer la limite d’une fonction quotient impliquant des racines

Déterminez lim𝑥+124𝑥4.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite d’une fonction qui est le résultat de la somme, de la différence, du quotient et de la composition de fonctions racine et polynomiales. Nous savons que nous pouvons trouver la limite de ces fonctions par substitution directe si le point limite appartient à l’ensemble de définition de la fonction. Pour qu’un nombre appartienne à l’ensemble de définition d’une telle fonction, nous devons nous assurer que le dénominateur de la fonction n’est pas égal à zéro en ce nombre et que l’expression sous la racine carrée n’est pas négative en ce nombre. En bref, si nous sommes en mesure de calculer la valeur de la fonction pour le nombre donné, alors le nombre appartient à l’ensemble de définition.

Commençons par examiner ce qui arrive à la fonction lorsque nous évaluons sa valeur en 𝑥=4:4+12444=1640=00.

L’expression 00 est une forme indéterminée. Nous savons qu’une forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite. Rappelons que nous pouvons simplifier l’expression d’un quotient impliquant des racines carrées en multipliant le numérateur et le dénominateur du quotient par une expression conjuguée. Dans la fonction donnée, la racine carrée est au numérateur:𝑥+124. Pour une expression de la forme 𝑎𝑏 , l’expression conjuguée est 𝑎+𝑏. Nous savons que multiplier par des conjugués peut éliminer les racines carrées comme suit:𝑎+𝑏𝑎𝑏=𝑎𝑏.

Or, on a 𝑥+124=𝑥+1216, ce qui conduit à l’expression conjuguée 𝑥+12+16. On peut multiplier le haut et le bas de la fraction pour obtenir 𝑥+124𝑥4×𝑥+12+16𝑥+12+16=(𝑥+12)16(𝑥4)𝑥+12+4=𝑥4(𝑥4)𝑥+12+4=1𝑥+12+4.

La simplification par (𝑥4) permet de s’absoudre du problème qui faisait que le numérateur et le dénominateur tendaient tous deux vers 0 au point limite. On voit que le dénominateur de la fonction rationnelle simplifiée sous la racine carrée n’est plus égal à zéro au point limite 𝑥=4. On peut écrire limlim𝑥+124𝑥4=1𝑥+12+4.

Le dénominateur de la fonction résultante n’étant pas égal à zéro au point limite 𝑥=4, nous pouvons maintenant déterminer cette limite par substitution directe:lim1𝑥+12+4=14+12+4=18.

Ainsi lim𝑥+124𝑥4=18.

Dans l’exemple suivant, nous étudierons la limite d’un quotient où le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux des racines carrées.

Exemple 6: Déterminer la limite d’une combinaison de fonctions racines en utilisant les conjugués

Déterminez lim𝑥12𝑥41.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite d’une fonction qui est le résultat de la différence, du quotient et de la composition de fonctions racine et polynomiales. Nous savons que nous pouvons trouver la limite d’une telle fonction par substitution directe si le point limite appartient à l’ensemble de définition de la fonction. Pour qu’un nombre appartienne à l’ensemble de définition d’une telle fonction, nous devons nous assurer que le dénominateur de la fonction n’est pas égal à zéro en ce nombre et que l’expression sous la racine carrée n’est pas négative en ce nombre. En bref, si nous sommes en mesure de calculer la valeur de la fonction pour le nombre donné, alors le nombre appartient à l’ensemble de définition.

Commençons par examiner ce qui arrive à la fonction lorsque nous l’évaluons en 𝑥=5:512541=4211=00.

L’expression 00 est une forme indéterminée. Nous savons qu’une forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite. Rappelons que nous pouvons simplifier une fraction impliquant des racines carrées en multipliant le numérateur et le dénominateur par une expression conjuguée. Dans le quotient donné, le numérateur et le dénominateur contiennent deux expressions avec des racines carrées. Pour une expression de la forme 𝑎𝑏, l’expression conjuguée est 𝑎+𝑏. Nous savons que multiplier par le conjugué permet d’éliminer les racines carrées:𝑎+𝑏𝑎𝑏=𝑎𝑏.

Le conjugué de 𝑥12 est 𝑥1+2 et le conjugué de 𝑥41 est 𝑥4+1. En multipliant le numérateur et le dénominateur par ces deux conjugués on obtient:𝑥12𝑥41×𝑥1+2𝑥4+1𝑥1+2𝑥4+1=𝑥12𝑥1+2𝑥41𝑥4+1×𝑥4+1𝑥1+2=(𝑥1)4(𝑥4)1×𝑥4+1𝑥1+2=𝑥5𝑥5×𝑥4+1𝑥1+2=𝑥4+1𝑥1+2.

La simplification par (𝑥5) dans la dernière étape permet d’éliminer le problème qui faisait que numérateur et dénominateur étaient égaux à zéro au point limite. Maintenant, le dénominateur de la fonction simplifiée n’est plus égal à zéro au point limite 𝑥=5. On peut donc écrire limlim𝑥12𝑥41=𝑥4+1𝑥1+2.

Comme le dénominateur de la nouvelle fonction n’est pas égal à zéro au point limite 𝑥=5, on peut obtenir la limite par substitution directe:lim𝑥4+1𝑥1+2=54+151+2=1+14+2=24=12.

Ce qui nous donne:lim𝑥4+1𝑥1+2=12.

Un autre type de fonction qui conduit souvent à des formes indéterminées est quand la fonction contient une différence de fractions. Si la limite sous une forme indéterminée contient la différence ou la somme de quotients, alors nous devons d’abord simplifier l’expression en mettant tout au même dénominateur.

Comment : Déterminer des limites impliquant des différences de fractions

Soit 𝑓(𝑥) une fonction dont l’expression implique une somme ou une différence de fractions. Si la limite de 𝑓(𝑥) prend une forme indéterminée, nous devons:

  1. mettre les fractions concernées au même dénominateur et calculer la somme ou la différence,
  2. simplifier par les facteurs communs,
  3. assimiler la limite de la nouvelle expression à la limite d’origine,
  4. déterminer la limite.

Dans notre dernier exemple, nous allons étudier la limite d’une fonction impliquant une différence de fractions menant à une forme indéterminée.

Exemple 7: Déterminer une limite de fonction quotient par la mise au même dénominateur

Déterminez lim𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous avons besoin de trouver la limite d’un quotient dont le numérateur est une différence de quotients. La fonction dont on prend la limite est le résultat du quotient d’un polynôme et de la différence d’une fonction rationnelle et d’une constante. Nous savons que nous ne pouvons déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe que si le point limite appartient à l’ensemble de définition de la fonction. Nous savons qu’un nombre appartient à l’ensemble de définition d’une fonction si nous sommes en mesure de calculer la valeur de la fonction en le nombre en question.

Commençons par évaluer la valeur de la fonction au niveau du point limite 𝑥=0:0=00.

L’expression 00 est une forme indéterminée. Nous savons qu’une forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite. Rappelons que nous pouvons évaluer la limite impliquant la somme ou la différence de quotients en mettant les fractions au même dénominateur. Pour déterminer la différence de deux quotients, nous devons trouver le dénominateur commun. Le dénominateur commun entre 𝑥+6 et 6 est 6(𝑥+6). Par conséquent, la différence des fractions dans le numérateur est 1𝑥+616=1𝑥+6×6616×𝑥+6𝑥+6=66(𝑥+6)𝑥+66(𝑥+6)=6(𝑥+6)6(𝑥+6)=6𝑥66(𝑥+6)=𝑥6(𝑥+6).

Cela simplifie le numérateur du quotient. Le dénominateur du quotient est 𝑥, ce qui revient à multiplier le numérateur par 1𝑥. Ainsi, 𝑥=𝑥6(𝑥+6)×1𝑥=16(𝑥+6).

La dernière étape permet de simplifier par 𝑥;ce facteur était responsable du fait que le numérateur et le dénominateur étaient égaux à zéro au point limite. On constate que le dénominateur de la fonction rationnelle simplifiée n'est plus égal à zéro au point limite 𝑥=0. Cela signifie que limlim𝑥=16(𝑥+6).

Comme le dénominateur de la fonction rationnelle dans le membre de droite n’est pas égal à zéro au point limite, nous pouvons évaluer cette limite par substitution directe:lim16(𝑥+6)=16(0+6)=136.

Ainsi, lim𝑥=136.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Une limite de la forme lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) est dite de forme indéterminée 00 si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro pour 𝑥=𝑎. La forme indéterminée n’est jamais une réponse acceptable à un problème de recherche de limite, cela signifie simplement que nous devons être plus imaginatif pour déterminer cette limite.
  • Utiliser des méthodes algébriques pour déterminer une limite signifie que nous simplifions d’abord l’expression afin de pouvoir déterminer la limite par substitution directe. Nous pouvons le faire car si 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour tout 𝑥𝑎 , alors limlim𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥).
  • La simplification des fonctions pour déterminer les limites nécessite différentes étapes pour différents types de fonctions:
    • pour les fonctions rationnelles, nous pouvons factoriser le numérateur et le dénominateur puis simplifier par le facteur commun.
    • pour des quotients impliquant des racines carrées, nous devons d’abord multiplier le numérateur et le dénominateur par une expression conjuguée avant de simplifier.
    • pour une expression impliquant la somme ou la différence de fractions, nous devons d’abord mettre ces fractions au même dénominateur.
  • Lorsque la limite d’une fonction rationnelle en 𝑥=𝑎 est de forme indéterminée 00, le numérateur et le dénominateur doivent tous deux contenir un facteur (𝑥𝑎). Si la factorisation est difficile, on peut utiliser la division euclidienne par le facteur 𝑥𝑎 pour factoriser chaque polynôme sous la forme (𝑥𝑎)𝑝(𝑥) avec 𝑝(𝑥) un nouveau polynôme. On peut alors simplifier par ce facteur et déterminer la limite par substitution directe.

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