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Est-ce que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à un sur 𝑥 moins un est-elle une fonction injective, où 𝑥 est un élément de l’ensemble des nombres réels moins le singleton un ?
Dans cette question, on nous demande de déterminer si la fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction injective. Premièrement, nous rappelons que pour que 𝑓 de 𝑥 soit une fonction, chaque élément de l’ensemble de définition doit correspondre exactement à un élément de l’ensemble image. Si la fonction est injective, alors nous avons également que chaque élément de l’ensemble image correspond exactement à un élément de l’ensemble de définition.
En d’autres termes, pour deux éléments de l’ensemble de définition 𝑥 un et 𝑥 deux, si 𝑓 de 𝑥 un est égal à 𝑓 de 𝑥 deux, alors 𝑥 un doit être égal à 𝑥 deux. Si 𝑥 un n’est pas égale à 𝑥 deux, alors la fonction ne peut pas être injective, car deux éléments différents de l’ensemble de définition correspondraient au même élément de l’ensemble image. Cela signifie qu’une fonction telle que 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au carré n’est pas une fonction injective sur l’ensemble des nombres réels, car quatre, un élément de l’ensemble image, correspond à deux éléments de l’ensemble de définition, moins deux et plus deux.
Ainsi, pour la fonction donnée, 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 moins un, nous devons déterminer quand 𝑓 de 𝑥 un est égal à 𝑓 de 𝑥 deux si 𝑥 un doit être égal à 𝑥 deux. Donc, mettons en place l’équation initiale, 𝑓 évaluée à 𝑥 un est égale à 𝑓 évaluée à 𝑥 deux, en utilisant la définition de la fonction donnée. Cela nous donne un sur 𝑥 un moins un égal à un sur 𝑥 deux moins un. Et rappelez-vous, nous choisissons 𝑥 un et 𝑥 deux pour être des éléments de l’ensemble de définition de 𝑓, ce qui signifie que les deux sont des nombres réels et aucun d’eux n’est pas égal à un.
Si nous pouvons trouver des valeurs distinctes de 𝑥 un et 𝑥 deux, qui équilibrent les deux membres de l’équation, nous devons conclure que 𝑓 n’est pas une fonction injective. Cependant, si nous pouvons montrer qu’ils doivent être égaux, alors nous pouvons dire que 𝑓 est une fonction injective. Nous remarquons que les numérateurs sont égaux. Donc, pour simplifier cette équation, nous pouvons également définir les dénominateurs comme étant égaux. Donc, nous avons 𝑥 un moins un est égal à 𝑥 deux moins un.
Ensuite, nous pouvons simplifier davantage notre équation en ajoutant un aux deux membres. Cela nous donne 𝑥 un est égal à 𝑥 deux. Par conséquent, nous avons montré que pour deux valeurs quelconques dans l’ensemble de définition, si 𝑓 évaluée en 𝑥 un est égale à 𝑓 évaluée en 𝑥 deux, nous devons avoir 𝑥 un et 𝑥 deux égaux, ce qui signifie que chaque élément de l’ensemble image correspond à un seul élément unique de l’ensemble de définition.
Ainsi, nous concluons que la réponse est oui. 𝑓 est une fonction injective, où 𝑥 est un élément de l’ensemble des nombres réels, sauf un.
