Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le volume d'une pyramide, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles. Nous allons commencer par définir ce que sont les pyramides, donner le vocabulaire des éléments qui les constituent et présenter les différents types de pyramides.
Les pyramides sont des figures géométriques en trois dimensions dont la base est un polygone et dont toutes les autres faces sont des triangles qui se rejoignent au sommet. Il existe plusieurs types de pyramides mais on peut les identifier en fonction du polygone à leur base. On parle par exemple de pyramide à base carrée, de pyramide à base triangulaire ou tétraèdre, ou même de pyramides à base pentagonale ou hexagonale. Il y a deux autres définitions importantes à connaître. Une pyramide droite est une pyramide dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de sa base. Il existe ensuite un type plus spécifique de pyramide droite, la pyramide régulière, qui est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. Cela signifie que tous les côtés de la base sont de même longueur et que toutes les arrêtes latérales de la pyramide sont de même longueur.
Avant de nous pencher sur le volume d’une pyramide, précisons la distinction entre la hauteur latérale et la hauteur d’une pyramide. La hauteur de la pyramide est la distance du sommet à la base. La hauteur latérale est la distance mesurée le long d’une face latérale du sommet à l’arrête de la base. En d’autres termes, c’est la hauteur du triangle constituant une des faces latérales. Voyons maintenant comment calculer le volume d’une pyramide de hauteur ℎ. Imaginons que l’on remplisse complètement cette pyramide avec un liquide, comme de l’eau. Si on verse ensuite cette eau dans un prisme de même base et de même hauteur que la pyramide, on observe alors que le niveau de l’eau est exactement au tiers de la hauteur du prisme. Cela nous permet de définir une formule générale pour toute pyramide.
Le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur. On peut le calculer par un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Voyons comment mettre en pratique cette formule avec un premier exemple.
Calculez le volume de la pyramide ci-dessous au centième près.
Pour répondre à cette question, on rappelle que le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Pour utiliser cette formule, bien que nous sachions que la hauteur est de neuf mètres, nous ne connaissons pas l’aire de la base et nous devons donc la calculer. Comme la base est un triangle, on utilise la formule de l’aire d’un triangle, qui est égale au produit de la base et la hauteur divisé par deux. Notez que ces deux formules font référence à la hauteur, mais il ne s’agit pas de la même hauteur. Pour l’aire du triangle, la hauteur est la hauteur du triangle, et pour le volume, il s’agit de la hauteur de la pyramide.
Commençons par calculer l’aire du triangle. Donc, on peut prendre six pour la base et 4,7 pour la hauteur; et on peut utiliser directement 4,7 parce qu’il est indiqué que le triangle est rectangle. En réalisant ce calcul, on obtient une valeur de 14,1. Rappelez-vous alors qu’il s’agit d’une aire et que les unités données ici sont les mètres, donc cette aire sera en mètres carrés. On peut maintenant utiliser cette valeur pour calculer le volume de la pyramide, en remplaçant l’aire de la base par 14,1 et la hauteur de la pyramide par neuf mètres. En calculant un tiers fois 14,1 fois neuf, on obtient une valeur de 42,3. Et comme il s’agit d’un volume, il sera en unités cubes, donc cette valeur est en mètres cubes. On peut arrondir la réponse au centième en ajoutant un zéro aux centièmes, ce qui donne un volume de 42,30 mètres cubes.
Dans la question suivante, nous allons voir comment appliquer cette formule du volume pour déterminer une hauteur inconnue dans une situation réelle.
La pyramide du Louvre à Paris a une base carrée dont les côtés mesurent 112 pieds. Sachant que son volume est de 296 875 pieds cubes, calculez la hauteur de la pyramide au pied le plus proche.
Dans cette question, nous étudions une pyramide à base carrée dont les côtés du carré mesurent 112 pieds. Nous connaissons son volume, mais nous devons cette fois calculer sa hauteur. On peut rappeler que le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base fois la hauteur. Dans ce cas, nous connaissons le volume de la pyramide. Nous devons calculer sa hauteur. Et nous ne connaissons pas l’aire de sa base mais nous pouvons la calculer.
L’aire d’un carré est égale au côté au carré. Donc, dans ce cas, on doit calculer 112 au carré. Cela nous donne 12 544, et les unités sont des pieds carrés. On peut maintenant utiliser la formule du volume, en remplaçant le volume par 296 875 et l’aire de la base que l’on vient de calculer par 12 544. Comme on recherche la valeur de ℎ, on commence par multiplier les deux membres par trois pour réarranger l’équation. On peut ensuite diviser les deux membres par 12 544. Ce qui donne 71,00 égale ℎ. Comme nous devons donner une valeur au pied le plus proche, nous pouvons conclure que la hauteur de la pyramide du Louvre est de 71 pieds.
Nous allons maintenant voir comment nous pouvons utiliser le volume d’une pyramide et sa hauteur pour calculer le périmètre de sa base.
Sachant qu’une pyramide à base carrée a un volume de 372 centimètres cubes et une hauteur de 31 centimètres, calculez le périmètre de sa base.
Aucun schéma n’est fourni ici mais en dessiner un peut souvent aider. Tout d’abord, on nous dit qu’il s’agit d’une pyramide à base carrée, nous savons donc que la longueur et la largeur de la base ont les mêmes dimensions. On connaît de plus le volume de la pyramide de 372 centimètres cubes et la hauteur de 31 centimètres. On peut rappeler que le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. On peut donc utiliser le volume de la pyramide et sa hauteur pour trouver l’aire de la base. Cela nous permettra ensuite de calculer le périmètre de la base.
On commence donc par remplacer les valeurs connues. Le volume est de 372 et la hauteur de 31, ce qui donne 372 égale un tiers de l’aire de la base fois 31. En multipliant les deux membres par trois, on a 1 116 égale l’aire de la base fois 31. On divise ensuite les deux membres par 31 et on obtient que l’aire de la base est égale à 36 centimètres carrés. Mais comment peut-on maintenant utiliser l’aire de cette base pour déterminer son périmètre? Eh bien, rappelez-vous que la base est un carré. Donc si on définit la longueur d’un côté par 𝑙, tous les autres côtés sont également de longueur 𝑙. Et l’aire d’un carré est égale à 𝑙 au carré. Dans ce cas, 𝑙 au carré doit être égal à 36. Pour calculer 𝑙, on prend donc la racine carrée des deux membres, et la racine carrée de 36 est six. Et les unités de longueur sont bien sûr les centimètres.
Le périmètre est la longueur du contour du carré. On peut donc additionner six plus six plus six plus six, ou plus simplement, calculer six fois quatre, ce qui nous donne une valeur de 24. Et le périmètre est encore une longueur, son unité est donc le centimètre. Nous avons ainsi trouvé que le périmètre de la base de cette pyramide est de 24 centimètres, et nous l’avons fait en calculant d’abord l’aire de la base à partir du volume.
Jusqu’à présent, nous avons vu dans cette vidéo des exemples de pyramides à base triangulaire ou carrée, dont le volume est relativement facile à calculer grâce aux formules de géométrie. Si nous avons une pyramide plus complexe, il est toujours possible de calculer son volume à partir de sa hauteur et de l’aire de sa base. Il peut cependant être plus difficile de calculer le volume d’une pyramide dont la base a cinq côtés ou plus si on ne connaît pas son aire. Mais si la base est un polygone régulier à 𝑛 côtés, on peut utiliser la formule suivante pour calculer son aire. L’aire d’un polygone régulier à n côtés de longueur 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑥 au carré sur quatre fois cotangente de 180 degrés sur 𝑛. Il peut être utile de noter cette formule car elle est utilisée assez fréquemment. Nous allons maintenant voir comment l’appliquer dans le dernier exemple.
Les côtés de la base d’une pyramide régulière à base pentagonale mesurent 41 centimètres et sa hauteur mesure 71 centimètres. Calculez le volume de la pyramide au dixième près.
Commençons par dessiner la pyramide avec les dimensions données. Voici donc notre pyramide. Puisqu’il s’agit d’une pyramide à base pentagonale, cela signifie que sa base a cinq côtés. Et comme cette pyramide est régulière, on sait que tous les côtés de la base ont la même longueur de 41 centimètres. On sait de plus que sa hauteur, c’est-à-dire la distance du sommet au centre de la base, est de 71 centimètres. Rappelez-vous que la hauteur latérale correspondrait quant à elle à la hauteur de l’un des triangles qui composent les faces latérales.
On peut alors rappeler que le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base fois la hauteur. Nous ne connaissons pas l’aire de la base de cette pyramide mais nous pouvons la calculer car nous savons qu’il s’agit d’une pyramide régulière à base pentagonale. C’est-à-dire que la base de cette pyramide est un polygone à cinq côtés de même longueur. L’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur 𝑥 est égale à 𝑛𝑥 au carré sur quatre fois cotangente de 180 degrés sur 𝑛. Par conséquent, en remplaçant le nombre de côtés 𝑛 par cinq et la longueur de côté 𝑥 par 41, on obtient que l’aire du polygone est égale à cinq fois 41 au carré sur quatre fois cotangente de 180 degrés sur cinq. Cela se simplifie par 8 405 sur quatre fois cotangente de 36 degrés.
Et comme multiplier par cotangente est équivalent à diviser par tangente, on peut le reformuler par 8 405 divisé par quatre fois tangente de 36 degrés. En utilisant une calculatrice, on obtient une valeur décimale de 2892,122 en centimètres carrés. Puisque nous allons utiliser cette valeur dans la suite de nos calcules ,nous n’allons donc pas encore l’arrondir. Pour la suite des calculs, on peut la conserver sous forme décimale non arrondie ou utiliser la fraction de l’étape précédente.
On peut à présent calculer le volume de la pyramide, en rappelant que l’aire de la base est l’aire du polygone que l’on vient de calculer. On peut donc écrire que le volume de la pyramide est égal à un tiers de 2892,122 multiplié par la hauteur, soit 71. Cela nous donne une valeur de 68446,899. Et comme il s’agit d’un volume, il est en unités cubes, ce qui signifie que les unités sont ici les centimètres cubes. Nous devons alors arrondir notre réponse au dixième près, ce qui nous permet de conclure que le volume de la pyramide est de 68446,9 centimètres cubes.
Nous allons à présent résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par la définition des pyramides, qui sont des figures géométriques en trois dimensions dont la base est un polygone et dont toutes les autres faces sont des triangles qui se rejoignent au sommet. Nous avons ensuite vu les deux définitions suivantes. Une pyramide droite est une pyramide dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de la base et une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. Cela signifie que tous les côtés de la base sont de même longueur et que toutes les arrêtes latérales de la pyramide sont de même longueur.
Nous avons alors donné la formule principale de cette leçon. Le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur. Donc le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Enfin, comme nous l’avons vu dans le dernier exemple, pour calculer l’aire de la base d’une pyramide régulière, il faut parfois appliquer la formule de l’aire d’un polygone à n côtés de longueur 𝑥, qui est égale à 𝑛𝑥 au carré sur quatre fois cotangente de 180 degrés sur 𝑛.
