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Fiche explicative de la leçon : Volume d’une pyramide Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le volume d'une pyramide, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles.

Définition : Pyramides

Les pyramides sont des formes géométriques en trois dimensions dont la base est un polygone et toutes les autres faces sont des triangles qui se rencontrent au sommet (ou apex).

Une pyramide droite est une pyramide dont le sommet se situe au-dessus du centre géométrique de la base.

Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier:tous les côtés de la base sont de même longueur et toutes les arêtes latérales de la pyramide sont de même longueur.

La hauteur d’une pyramide est la distance entre le sommet et la base.

La hauteur latérale d’une pyramide est la distance mesurée le long d’une face latérale entre le sommet et l’un des côtés de la base. En d’autres termes, c’est la hauteur du triangle qui forme une face latérale.

On peut noter la différence entre la hauteur latérale et la hauteur dans le schéma ci-dessous. La hauteur de la pyramide est la distance mesurée à un angle droit par rapport à la base.

Maintenant que nous avons appris ce qu’est une pyramide, on va passer à son volume.

Imaginons que nous pouvons complètement remplir une pyramide avec, par exemple, de l’eau. Si nous versions cette eau dans un prisme de même base et de même hauteur que la pyramide, nous remarquons que le niveau d’eau est exactement à un tiers de la hauteur du prisme.

Ceci est une règle générale pour toute pyramide.

Définition : Volume d’une pyramide

Le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme de même base et hauteur:𝑉=13(𝐴×).pyramidebase

Dans certains problèmes, on peut nous donner l’aire de la base, ou on peut s’attendre à calculer l’aire de la base ressemblante à une figure connue en deux dimensions, en utilisant ses dimensions données.

Nous allons maintenant voire comment appliquer cette formule pour trouver le volume d’une pyramide. Dans le premier exemple, nous allons trouver le volume d’une pyramide à base triangulaire.

Exemple 1: Déterminer le volume d’une pyramide à base triangulaire droite

Déterminez, au centième près, le volume de la pyramide illustrée.

Réponse

On peut rappeler que le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur:𝑉=13(𝐴×).pyramidebase

On ne nous donne pas l’aire de la base triangulaire de la pyramide, mais nous pouvons la calculer en utilisant les dimensions données. L’aire d’un triangle est donnée par 𝐴=×2.trianglebasehauteur

Notez que la hauteur du triangle est la hauteur du triangle de base et n’est pas la même que la hauteur de la pyramide.

On peut prendre la longueur de la base de ce triangle comme 6 m, et comme le triangle est rectangle, nous pouvons facilement trouver que la hauteur est 4,7 m. En remplaçant ces valeurs dans la formule de l’aire, on obtient 𝐴=6×4,72=14,1.trianglem

Comme le triangle est la base de la pyramide, on peut remplacer 𝐴=14,1basem et =9m dans la formule du volume pour donner 𝑉=13(14,1×9)=42,3.pyramidem

Notez que comme nous avons multiplié une aire avec des unités carrées par une longueur pour donner un volume, alors le volume est donné en unités cubiques.

On peut donner notre réponse au centième près comme 42,30m.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment appliquer la formule du volume pour déterminer une hauteur inconnue dans un contexte de la vie courante.

Exemple 2: Résoudre des problèmes de la vie courante en utilisant le volume d’une pyramide

La pyramide du Louvre à Paris possède une base carrée dont les côtés sont 112 pieds. Sachant que son volume est 296‎ ‎875 pieds cubes, déterminez la hauteur de la pyramide au pied près.

Réponse

Afin de trouver le volume de cette pyramide, nous pouvons utiliser la formule 𝑉=13(𝐴×),pyramidebase𝐴base est l’aire de la base de la pyramide et est la hauteur.

Nous devrons déterminer l’aire du carré à la base. Rappelons que l’aire d’un carré est déterminée en calculant le carré de la longueur d’un côté. Ainsi, nous avons 𝐴=112=12544.baseft

On peut alors remplacer le volume donné de la pyramide 𝑉=296875pyramide et 𝐴=12544base dans la formule du volume et simplifier. Cela nous donne 296875=13(12544×)296875×3=12544890625=1254489062512544=71,00=.

On peut arrondir cette valeur au pied près, ce qui donne la réponse que la hauteur de la pyramide du Louvre est 71ft.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser un volume donné d’une pyramide et sa hauteur pour déterminer le périmètre de sa base.

Exemple 3: Déterminer le périmètre de la base d’une pyramide carrée sachant son volume et sa hauteur

Sachant qu’une pyramide à base carrée a un volume de 372 cm3 et une hauteur de 31 cm, déterminez le périmètre de sa base.

Réponse

On nous a donné des informations sur le volume et la hauteur de cette pyramide. Nous pouvons utiliser la formule qui relie ces variables, avec l’aire de la base de la pyramide, pour trouver le périmètre de sa base. Le volume d’une pyramide est donné par 𝑉=13(𝐴×),pyramidebase𝐴base est l’aire de la base de la pyramide et est la hauteur.

Remplaçant 𝑉=372pyramidecm et =31cm, on obtient 372=13(𝐴×31)372×3=31×𝐴111631=𝐴36=𝐴.basebasebasebasecm

Ainsi, l’aire de la base de cette pyramide est 36 cm2. Sachant que la base est un carré, on peut calculer la longueur du côté en rappelant que tout carré de côté 𝑐 a une aire donnée par 𝐴=𝑐.carré

Par conséquent, nous avons 36=𝑐36=𝑐6=𝑐.

Comme la longueur du côté, 𝑐, du carré doit être positive, il suffit de prendre la valeur positive de la racine carrée. Ainsi, la longueur du côté du carré à la base de la pyramide est 6 cm.

Le périmètre d’une figure est la distance autour du côté extérieur, et comme un carré a 4 côtés de même longueur, on trouve périmètrecm=6×4=24.

On peut alors donner la réponse que le périmètre de la base de cette pyramide est 24cm.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment nous pouvons utiliser la hauteur latérale et la longueur de l’arête latérale d’une pyramide pour calculer son volume.

Exemple 4: Déterminer le volume d’une pyramide connaissant sa hauteur latérale et la longueur de son arête latérale

Trouvez le volume de la pyramide régulière suivante en arrondissant la réponse au centième près.

Réponse

Sur cette figure, nous avons les longueurs de la hauteur latérale et de l’arête latérale. Dans une pyramide régulière, les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Par conséquent, la longueur de l’arête latérale sera la longueur de l’une des cotés égaux dans les triangles isocèles.

Afin de trouver le volume d’une pyramide, nous pouvons utiliser la formule 𝑉=13(𝐴×),pyramidebase𝐴base est l’aire de la base de la pyramide et est la hauteur.

Avant de pouvoir utiliser cette formule, nous devrons calculer l’aire de la base et la hauteur en utilisant les longueurs données.

On considère la section triangulaire suivante de la pyramide.

Dans une pyramide régulière, le sommet de la pyramide se situe au-dessus du centre géométrique de la base. La hauteur, , de ce triangle est aussi la hauteur de la pyramide. La longueur de base inconnue de ce triangle peut être définie comme 𝑥cm. Cependant, comme on ne nous a donné que la longueur d’un des côtés de cette section triangulaire, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de .

On peut cependant calculer la valeur de 𝑥 en considérant le triangle rectangle qui est la moitié d’un des triangles isocèles qui forment les faces latérales.

La longueur de la base de ce triangle serait identique à celle de la base du triangle précédent, 𝑥cm. La hauteur est la même que la hauteur latérale de la pyramide, 15 cm, et l’hypoténuse du triangle est 17 cm. Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, qui indique que, pour chaque triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ainsi, nous remplaçons les valeurs des longueurs, 15 cm et 17 cm, et on simplifie pour trouver 𝑥. Cela donne 17=15+𝑥289=225+𝑥289225=𝑥64=𝑥64=𝑥.

Comme 𝑥 est une longueur, il suffit de prendre la valeur positive de la racine carrée;par conséquent, 𝑥=8.cm

On peut maintenant utiliser cette valeur de 𝑥 pour calculer la valeur de dans le premier triangle. En appliquant à nouveau le théorème de Pythagore, nous avons 15=𝑥+15=8+225=64+22564=161=161=.

Sachant que 161 n’est pas un carré parfait, on peut garder la valeur de =161 sous cette forme de racine.

Jusqu’à présent, nous avons calculé la hauteur de la pyramide comme 161cm. Nous avons toujours besoin de l’aire de la base pour trouver le volume de la pyramide. En fait, nous sommes sur le point d’avoir la longueur d’un des côtés de la base. Comme il s’agit d’une pyramide régulière, sa base doit être un polygone régulier. Cela signifie qu’on doit avoir une base carrée. La valeur de 𝑥=8 que nous avons calculé est égal à la moitié de la longueur de l’un des côtés du carré. Par conséquent, la longueur du côté du carré à la base est 8×2=16cm.

Rappelons que, pour déterminer l’aire d’un carré, on élève au carre la longueur de son côté. Ainsi, l’aire du carré à la base de la pyramide est calculée par 𝐴=16=256.basecm

Enfin, on peut remplacer les valeurs, 𝐴=256basecm et =161cm, dans la formule pour déterminer le volume d’une pyramide, 𝑉=13(𝐴×)pyramidebase. Cela nous donne 𝑉=13256×161=1082,7586.pyramidecm

En arrondissant au centième près, on peut dire que le volume de la pyramide est égal à 1082,76cm.

Jusqu’à présent, nous avons vu des exemples de pyramides ayant des bases triangulaires ou sous forme d’un quadrilatère, pour lesquelles leur volume est plus facile à trouver en utilisant des techniques géométriques. Cependant, il peut être plus compliqué de déterminer le volume de pyramides avec des bases de 5 côtés ou plus si on ne nous donne pas l’aire de la base. Mais, si nous avons un polygone régulier de 𝑛 cotés à la base, nous pouvons utiliser la formule ci-dessous pour déterminer son aire.

Définition : Aire d’un polygone régulier

L’aire d’un polygone régulier de 𝑛 côtés avec une longueur de côté 𝑥 est donnée par 𝐴=𝑛𝑥4180𝑛.polygonecot

Nous allons maintenant voir un exemple qui montre comment nous pouvons appliquer cette formule d’aire pour trouver le volume d’une pyramide régulière.

Exemple 5: Déterminer le volume d’une pyramide à base pentagonale

Une pyramide régulière à base pentagonale a une longueur du côté de base de 41 cm et une hauteur de 71 cm. Calculez, au dixième près, le volume de la pyramide.

Réponse

Nous pouvons tracer un schéma de la pyramide avec les dimensions données comme indiqué ci-dessous.

On rappelle que pour calculer le volume d’une pyramide, on utilise la formule 𝑉=13(𝐴×),pyramidebase𝐴base est l’aire de la base et est la hauteur.

On ne nous donne pas l’aire de la base, mais nous pouvons calculer cette aire en utilisant l’information qu’il s’agit d’une pyramide régulière à base pentagonale, avec une longueur de côté de 41 cm.

L’aire d’un polygone régulier de 𝑛 côtés de longueur de coté 𝑥 est donnée par 𝐴=𝑛𝑥4180𝑛.polygonecot

Comme le pentagone a 5 côtés, on remplace 𝑛=5 et la longueur donnée, 𝑥=41cm. Ainsi, on obtient 𝐴=54141805=8405436.pentagonecotcot

La multiplication par la cotangente est égale à la division par la tangente;ainsi, nous pouvons écrire cela comme 𝐴=8405436.pentagonetan

En utilisant une calculatrice, nous pouvons trouver l’équivalent décimal de cela comme 𝐴=2892,122.pentagonecm

Lorsque nous utilisons cette valeur dans la prochaine partie du calcul, il est utile de garder cette valeur trouvée aussi précise que possible, plutôt que d’utiliser une valeur arrondie.

On peut maintenant utiliser la formule pour le volume de la pyramide, 𝑉=13(𝐴×)pyramidebase, en remplaçant l’aire du pentagone par 𝐴base et la hauteur par, =71cm. Cela donne 𝑉=13(2892,122×71)=68446,899.pyramidecm

Comme demandé, nous arrondissons la valeur au dixième près. Ainsi, le volume de la pyramide peut être approché à 68446,9cm.

Nous résumons maintenant les points clés.

Points clés

  • Les pyramides sont des formes géométriques en trois dimensions, où la base est un polygone et toutes les autres faces sont des triangles qui se rencontrent au sommet.
  • Une pyramide droite est une pyramide dont le sommet se situe au-dessus du centre géométrique de la base.
  • Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier:tous les côtés de la base sont de même longueur, et toutes les arêtes latérales de la pyramide sont de même longueur.
  • Le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur:𝑉=13(𝐴×).pyramidebase
  • Afin de déterminer l’aire de la base d’une pyramide régulière, on peut avoir besoin d’appliquer la formule pour trouver l’aire d’un polygone de 𝑛 côtés 𝑥, qui est donné par 𝐴=𝑛𝑥4180𝑛.polygonecot

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