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Déterminez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites 𝐿 indice un 𝐫 est égal au vecteur moins quatre, moins trois plus 𝐾 fois le vecteur quatre, moins neuf et 𝐿 indice deux sept 𝑥 moins trois 𝑦 plus 17 est égal à zéro à la seconde d’arc près.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la mesure de l’angle aigu entre deux droites, et on nous donne les équations de ces droites. L’une est donnée sous forme vectorielle et l’autre est donnée sous forme générale. Nous devons trouver cette mesure à la seconde d’arc près. Pour ce faire, nous pouvons commencer par rappeler comment nous trouvons la mesure de l’angle aigu entre deux droites données. Nous savons que si deux droites 𝐿 indice un et 𝐿 indice deux ont des pentes 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux, alors l’angle aigu thêta entre les deux droites satisfera l’équation tangente thêta égale la valeur absolue de 𝑚 indice un moins 𝑚 indice deux divisée par un plus 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux.
Et il y a quelques petites choses à remarquer à propos de cette équation. Par exemple, si nos deux droites sont parallèles et non verticales, alors les pentes seront égales. Donc 𝑚 indice un sera égal à 𝑚 indice deux. Le numérateur du membre de droite de cette équation est donc zéro. Cela nous donne alors que tangente thêta est nul, donc que thêta est nul. De même, si les deux droites sont perpendiculaires, alors nous pouvons avoir 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux égale moins un, encore une fois, à condition qu’aucune des deux droites ne soit verticale. Cela signifie alors que tangente thêta est indéfinie, donc que thêta vaut 90 degrés. Enfin, nous ne pouvons appliquer cette formule que si aucune de nos droites n’est verticale. Commençons donc par trouver les pentes des deux droites.
Nous allons donc commencer par trouver la pente de la droite 𝐿 indice un. Pour ce faire, nous rappelons que nous pouvons trouver la pente de l’équation vectorielle d’une droite de la forme vecteur 𝐫 égale vecteur 𝐫 indice zéro plus 𝐾 fois vecteur 𝑎, 𝑏 en trouvant simplement 𝑏 divisé par 𝑎. Et cela à condition que 𝑎 soit différent de zéro. Et en appliquant ce résultat à l’équation de 𝐿 indice un, nous obtenons que 𝑚 indice un est égal à moins neuf divisé par quatre. Et il convient de noter que nous aurions pu le trouver directement à partir de l’équation de la droite. Son vecteur directeur est quatre, moins neuf. Donc, pour un déplacement de quatre unités vers la droite, la droite se déplace de neuf unités vers le bas. Le rapport de sa variation en 𝑦 sur sa variation en 𝑥 est de moins neuf sur quatre.
Pour déterminer l’équation de notre deuxième droite, nous l’écrirons sous la forme réduite. Nous allons commencer par ajouter trois 𝑦 des deux côtés de l’équation. Cela nous donne que sept 𝑥 plus 17 est égal à trois 𝑦. Maintenant, nous allons diviser l’équation par trois. Cela nous donne que sept sur trois 𝑥 plus 17 sur trois est égal à 𝑦. Et nous savons que le coefficient de 𝑥 est la pente de la droite. Donc, notre valeur de 𝑚 indice deux est de sept sur trois.
Maintenant que nous avons trouvé les pentes de ces deux droites, nous pouvons substituer ces valeurs dans notre équation. Cela nous donne que tangente thêta est égale à la valeur absolue de moins neuf sur quatre moins sept sur trois divisé par un plus moins neuf sur quatre multiplié par sept sur trois. Et si nous évaluons le membre de droite de cette équation, nous obtenons 55 sur 51, ce qui doit être égal à la tangente de thêta. Nous pouvons alors résoudre pour la valeur de thêta en degrés en prenant l’arctangente des deux côtés de l’équation. Eh bien, nous devons nous assurer que notre calculatrice est en mode degrés.
Cela nous donne que thêta est égal à 47,161 etc. en degrés. Et nous pourrions nous arrêter ici, mais la question veut que nous donnions notre réponse à la seconde d’arc près. Nous allons donc devoir convertir cela en degrés, minutes et secondes. Pour ce faire, nous allons commencer par rappeler qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. Et nous pouvons déjà voir qu’il y a 47 degrés dans notre réponse, nous allons donc les supprimer. Cela nous laisse alors avec 0,161 etc. degrés. Et si nous multiplions cette valeur par 60, nous obtiendrons l’angle restant en minutes. En calculant cette expression, où nous devons faire attention à utiliser la valeur exacte de notre angle, nous obtenons 9,664 etc. minutes.
Nous pouvons appliquer à nouveau ce processus. Nous pouvons voir qu’il y a neuf minutes complètes dans cet angle. Cela nous laisse alors avec l’angle restant de 0,664 etc. minutes. Si nous multiplions cette valeur par 60, nous obtiendrons l’angle restant en secondes. Ce calcul, où une fois de plus nous devons nous assurer que nous utilisons la valeur exacte, nous donne 39,886 etc. secondes. Rappelez-vous, la question veut que nous donnions notre réponse à la seconde d’arc près. Nous devons donc regarder le premier chiffre décimal, qui est huit, qui nous dit que nous devons arrondir cette valeur. Nous arrondissons donc ce nombre à 40 secondes, ce qui nous donne une réponse finale de 47 degrés, neuf minutes et 40 secondes.
Par conséquent, nous avons pu montrer que la mesure de l’angle aigu, à la seconde d’arc près, entre les deux droites 𝐫 égale au vecteur moins quatre, moins trois plus 𝐾 fois le vecteur quatre, moins neuf et la droite sept 𝑥 moins trois 𝑦 plus 17 égale zéro est 47 degrés, neuf minutes et 40 secondes.
