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Si 𝑓 de l’ensemble des nombres réels à valeurs dans l’ensemble des nombres réels, où 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre 𝑥 moins quatre, et 𝑔 de moins huit deux à valeurs dans l’ensemble des nombres réels, où 𝑔 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 plus cinq, trouvez la valeur de 𝑓 plus 𝑔 de cinq si c’est possible.
On nous a demandé de trouver la valeur de 𝑓 plus 𝑔 en 𝑥 égale cinq. Cela peut sembler assez compliqué, mais ce qu’il nous est vraiment demandé, c’est d’évaluer 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 en 𝑥 égale cinq. Avant de faire cela, regardons certaines des notations de la question. On nous dit que la fonction 𝑓 associe a tout nombre réel un nombre réel. Cela nous dit quelque chose sur l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓. Rappelez-vous que l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs de départ possibles qui auront des images par la fonction. Ainsi, l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 est simplement l’ensemble de tous les nombres réels.
Et qu’en est-il de la fonction 𝑔 ? Eh bien, celle-ci associe des valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins huit, c’est ce que signifie ce crochet tourné vers l’intérieur, et strictement inférieures à moins deux, c’est ce que signifie le crochet tourné vers l’extérieur. Et elle associe à ces nombres des nombres réels. Et donc, l’ensemble de définition de 𝑔 est constitué de ces valeurs de 𝑥. Ce sont les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins huit et inférieures à moins deux.
Et lorsque nous recherchons la somme de deux fonctions, nous devons faire très attention à l’ensemble de définition. L’ensemble de définition de 𝑓 plus 𝑔 de 𝑥 est l’intersection. Rappelez-vous, c’est la partie commune des ensembles de définition de 𝑓 et de 𝑔. Alors, commençons par déterminer ce que vaut 𝑓 plus 𝑔 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 moins quatre et 𝑔 de 𝑥 égale cinq 𝑥 plus cinq. Ainsi, leur somme 𝑓 plus 𝑔 de 𝑥 égale quatre 𝑥 moins quatre plus cinq 𝑥 plus cinq. Et en rassemblant les termes, nous obtenons neuf 𝑥 plus un. Alors, quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?
Nous avons vu que l’ensemble de définition de 𝑓 était l’ensemble de tous les nombres réels. C’est-à-dire tous les nombres de moins ∞ jusqu’à plus ∞. Nous voyons que l’ensemble de définition de 𝑔 est en fait un sous-ensemble de l’ensemble de définition de 𝑓 ; ce sont les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins huit et strictement inférieures à moins deux. L’intersection des deux domaines de définition, qui, nous l’avons dit, est la partie commune, est la même chose que l’ensemble de définition de 𝑔. Ce sont les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins huit et strictement inférieures à moins deux.
Maintenant, nous cherchons à trouver la valeur de 𝑓 plus 𝑔 de cinq. Mais cinq est supérieur à moins deux, ce qui signifie qu’il est en dehors du domaine de définition de 𝑓 plus 𝑔. Cela signifie que nous ne pouvons pas évaluer 𝑓 plus 𝑔 de cinq ; nous ne pouvons pas remplacer 𝑥 par cinq. Et pour cette raison, nous disons donc que la valeur de 𝑓 plus 𝑔 de cinq n’est pas définie.
