Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à additionner, soustraire, multiplier ou diviser deux fonctions données pour créer une nouvelle fonction et nous verrons comment identifier le domaine de définition de la fonction obtenue.
Les opérations sur les fonctions sont assez intuitives.
On considère les fonctions
La somme de ces fonctions nous donnera une nouvelle fonction,
On définit la somme de ces fonctions en utilisant la notation , où . Le domaine de définition de cette nouvelle fonction est l’intersection des domaines de définition des fonctions et .
De manière similaire, est déterminé en soustrayant la fonction de :
Le domaine de définition de est l’intersection des domaines de définition des fonctions et .
Ensuite, est le produit des fonctions et, une nouvelle fois, son domaine de définition est l’intersection des domaines de définition des fonctions et .
Enfin, est le quotient des fonctions :
Le domaine de définition de est l’intersection des domaines de définition des fonctions et , mais on exclut de ce domaine les valeurs de pour lesquelles .
Ces raisonnements peuvent être généralisés pour n’importe quelles fonctions et à valeurs réelles.
Définition : combinaison de fonctions et l'ensemble de défintion d'une fonction combinée
On peut réaliser les opérations suivantes sur deux fonctions et :
Le domaine de définition de la fonction ainsi obtenue est l’intersection des domaines de définition des fonctions et .
Dans le cas de , on exclut du domaine de définition les valeurs de pour lesquelles .
Note
Le domaine de définition de chacune des fonctions obtenues est l’intersection des domaines de définition de et . Les deux fonctions doivent être définies en un point pour que la fonction obtenue soit définie en ce point et donc, nous ne pouvons pas modifier le domaine de définition de la fonction obtenue en la considérant comme une fonction à part entière.
Dans notre premier exemple, nous verrons comment réaliser une somme de deux fonctions et comment le domaine de définition de la fonction obtenue pourrait restreindre nos solutions.
Exemple 1: Déterminer et évaluer la somme d’une fonction rationnelle et d’une fonction affine
Si et sont deux fonctions à valeurs réelles, où et , déterminez, si possible, la valeur de .
Réponse
La somme de deux fonctions à valeurs réelles et est donnée par où le domaine de définition de est l’intersection des domaines de définition de et .
Pour trouver , nous allons exprimer la somme des fonctions puis nous vérifierons que est dans le domaine de définition de . Si c’est le cas, on peut alors calculer pour :
Le domaine de définition de est l’intersection des domaines de définition de et . C’est l’ensemble des antécédents (valeurs de ) possibles pour lesquelles les deux fonctions peuvent être évaluées et donner des valeurs réelles.
est un polynôme, son domaine de définition est donc l’ensemble des nombres réels. Cependant, est une fonction rationnelle ; le domaine de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels privé de ceux qui annulent le dénominateur. Pour trouver ces valeurs, on pose le dénominateur égal à zéro et on résout pour :
Les valeurs de où la fonction n’est pas définie sont et 1. Le domaine de définition de est donc
Comme le domaine de définition de est l’intersection, ou l’ensemble des valeurs communes aux domaines de définition de et , cela signifie que le domaine de définition de est aussi
Comme n’est pas dans le domaine de définition de notre nouvelle fonction, nous ne pouvons pas calculer .
n’est pas défini.
Dans notre premier exemple, nous avons calculé la somme d’une fonction rationnelle et d’une fonction polynomiale et construit le domaine de définition de cette nouvelle fonction. Nous avons vu que, puisque le domaine de définition de la somme de deux fonctions est l’intersection des domaines de définition de ces deux fonctions, la fonction obtenue ne sera pas nécessairement définie pour toutes les valeurs réelles de . Dans notre prochain exemple, nous allons déterminer le domaine de définition de la somme d’une fonction polynomiale et d’une fonction racine.
Exemple 2: Déterminer le domaine de définition de la somme de deux fonctions à valeurs réelles
Si et sont deux fonctions à valeurs réelles, où et , déterminez le domaine de définition de la fonction .
Réponse
La somme des deux fonctions et est donnée par où le domaine de définition de est l’intersection des domaines de définition de et .
Comme cette question exige que nous construisions le domaine de définition de , nous établirons les domaines de définition de et puis déterminerons leur intersection. En d’autres termes, nous allons trouver l’ensemble des valeurs possibles pour dont les images par les deux fonctions donneront des valeurs réelles.
est une fonction polynomiale donc, son domaine de définition est l’ensemble des nombres réels.
est une fonction racine et nous savons que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie, nous devons donc considérer les valeurs de qui garantissent que l’expression à l’intérieur de la racine est positive :
A l’aide de notations d’intervalle, l'ensemble de défintion de est donné par
Le domaine de définition de est l’intersection, ou les valeurs communes, de ces deux domaines. C’est-à-dire,
L’intersection de ces deux ensembles est .
Ainsi, l'ensemble de défintion de est donné par .
Nous allons maintenant apprendre à déterminer la différence entre deux fonctions.
Exemple 3: Déterminer la différence entre deux fonctions
Si et sont deux fonctions à valeurs réelles, où et , déterminez, si possible, la valeur de .
Réponse
La différence de deux fonctions et est donnée par où le domaine de définition de est l’intersection des domaines de définition de et .
Pour trouver , nous allons vérifier que appartient à l’intersection des domaines de définition de et . Si c’est le cas, on peut alors soustraire les fonctions et calculer l’image de par la nouvelle fonction .
est un polynôme donc, son domaine de définition est l’ensemble des nombres réels. est une fonction rationnelle, nous devrons donc être attentifs en considérant son dénominateur.
Puisqu’il s’agit du quotient de deux polynômes, son domaine de définition sera l’ensemble des nombres réels privé des valeurs de qui annulent le dénominateur. Pour trouver ces valeurs, on pose le dénominateur égal à zéro et on résout pour :
Étant donné que le dénominateur de la fonction rationnelle est nul lorsque et , nous devons exclure ces valeurs de du domaine de définition de .
Le domaine de définition de est donc
Le domaine de définition de est l’intersection, ou l’ensemble des valeurs communes, des deux domaines de définition. L’intersection de l’ensemble des nombres réels et du domaine de définition de est en fait le domaine de définition de ; soit
Comme n’est pas inclus dans le domaine de définition de , nous ne pouvons pas évaluer la fonction pour cette valeur.
n’est pas défini.
Exemple 4: Déterminer le produit de deux fonctions et son domaine de définition
Sachant que et déterminez et précisez son domaine de définition.
Réponse
Le produit de deux fonctions et est donné par ou . Ainsi, le domaine de définition de la fonction obtenue est l’intersection des domaines de définition de et .
On peut donc dire que
Le domaine de définition de sera l’intersection des domaines de définition de et .
On nous donne les domaines de définition des deux fonctions dans la question. On nous dit que est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et à valeurs dans l’ensemble des nombres réels, ainsi, son domaine de définition est . Le domaine de définition de est .
L’intersection de ces deux ensembles est l’ensemble des nombres réels positifs jusqu’à 1 inclus, , soit l’intervalle .
Par conséquent, , .
Trouver le domaine de définition des fonctions issues d’une opération impliquait seulement, jusqu’à présent, de construire le domaine de définition des fonctions initiales. Lorsque nous avons le quotient de deux fonctions, nous devons également considérer les valeurs de qui annulent le dénominateur afin de les exclure du domaine de définition de la fonction obtenue, comme dans notre exemple suivant.
Exemple 5: Déterminer le quotient de deux fonctions
Sachant que et sont deux fonctions à valeurs réelles, où et , déterminez, si possible, la valeur de .
Réponse
Nous pouvons déterminer le quotient de deux fonctions, tel que où le domaine de définition de la nouvelle fonction est l’intersection des domaines de définition de et , privé des valeurs de qui vérifient .
Puisque nous cherchons à évaluer , nous allons vérifier que appartient au domaine de définition de la fonction quotient .
Comme est un polynôme, le domaine de définition de est l’ensemble des nombres réels. Le domaine de définition de sera l’ensemble des valeurs de pour lesquelles l’expression à l’intérieur de la racine carrée est positive.
En d’autres termes,
L’intersection des ensembles de définition de et est donc . Pour trouver le domaine de définition de , nous devons enlever les valeurs de qui vérifient . Comme , on pose cette fonction égale à 0 et on résout en :
Le domaine de définition de est
Comme est dans le domaine de définition de la fonction quotient considérée, nous pourrons calculer :
est défini et vaut .
Considérons encore une fois les fonctions et .
En évaluant les deux fonctions pour , on trouve, et
Ensuite, on calcule le quotient,
On observe que calculer les images des fonctions initiales en , puis calculer leur quotient, mène au même résultat que le calcul de la fonction quotient en . En général, cela est vrai pour toutes les opérations sur les fonctions.
Note
Pour les valeurs de dans le domaine de définition de la fonction obtenue, le résultat sera le même si nous évaluons la fonction obtenue en un donné que si nous évaluions les fonctions séparément en puis qu’on effectue l’opération.
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment appliquer les règles des opérations sur les fonctions lorsque l’une des fonctions est définie par morceaux.
Exemple 6: Déterminer le domaine de définition de fonctions rationnelles définies par morceaux
Si et sont deux fonctions à valeurs réelles, où et , déterminez le domaine de définition de la fonction .
Réponse
La fonction est le quotient des fonctions et telle que
Le domaine de définition de cette nouvelle fonction est l’intersection des domaines de définition de et , privé des valeurs de pour lesquelles .
Commençons par . est un polynôme, donc, le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des nombres réels.
est une fonction affine par morceaux. Son domaine de définition est donc la réunion des domaines de définition des morceaux affines. C’est l’intervalle .
L’intersection des ensembles de définition de et est donc l’intervalle . Pour trouver le domaine de définition de , nous devons enlever les valeurs de qui vérifient dans cet intervalle. Nous déterminerons les valeurs de pour lesquelles les fonctions affines s’annulent, en considérant les domaines de définition de chaque morceau :
Puisque n'est pas dans le sous-ensemble de définition de cette sous-fonction, qui est , nous n'avons pas besoin de l'exclure de l’ensemble de définition de :
Nous aurions besoin d’exclure cette valeur du domaine de définition de ; cependant, il est déjà en dehors du domaine de définition de ce morceau.
L'ensemble de défintion est donc .
Points Clés
- Deux fonctions à valeurs réelles et peuvent être additionnées, soustraites, multipliées ou divisées.
- Pour les valeurs de appartenant aux domaines de définition de et ,
- ,
- ,
- Pour les valeurs de appartenant aux domaines de définition de et , et où , .
