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Calculez sinus de 315 degrés multiplié par cosinus de 45 degrés moins cosinus de 120 degrés multiplié par sinus de 330 degrés.
Avant de commencer cette question, nous devons nous rappeler les propriétés des angle remarquables. Le sinus de 30 degrés est égal à un demi. Le sinus de 45 degrés est égal à un sur racine de deux, également écrit racine de deux sur deux. Le sinus de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux. Nous pouvons utiliser ces valeurs avec la courbe du sinus de 0 à 360 degrés pour calculer les valeurs des autres angles remarquables. Dans cette question, nous devons calculer sin 315 degrés et sin de 330 degrés. La courbe du sinus est en forme d’onde avec cinq points clés. Le sinus de zéro est égal à zéro. Le sinus de 90 est égal à un. Le sinus de 180 est égal à zéro. Le sinus de 270 est égal à moins un. Et, le sinus de 360 est égal à zéro.
Nous savons que sin 30 degrés est égal à un demi. 330 degrés est à 30 degrés de 360 degrés. Comme la courbe est symétrique, nous pouvons voir que l’ordonnée en ce point est égale à moins un demi. Le sinus de 330 degrés est égal à moins un demi. Nous pouvons utiliser une méthode similaire en utilisant 45 degrés et 315 degrés, car 360 moins 45 égale 315. Le sinus de 315 degrés est égal à moins un sur racine de deux.
Nous pouvons maintenant répéter ce processus pour calculer cos 45 et cos 120. Les trois valeurs que nous devons connaître pour cosinus sont cos 30 degrés égale racine de trois sur deux, cos 45 degrés égale un sur racine de deux et cos 60 degrés égale un demi. La courbe de cosinus est également en forme d’onde et symétrique. Cependant, elle commence à un au lieu de zéro. Le cosinus de zéro est égal à un. Nous savons déjà que cosinus de 45 est égal à un sur racine de deux. Par conséquent, nous devons utiliser la courbe pour calculer le cosinus de 120.
Comme cosinus de 60 degrés est égal à un demi, nous pouvons voir sur la courbe que cosinus de 120 degrés est égal à moins un demi. Nous avons maintenant quatre valeurs pour sin 315 degrés, cos 45 degrés, cos 120 degrés et sin 330 degrés. Ces valeurs sont respectivement moins un sur racine de deux, un sur racine de deux, moins un demi et moins un demi. La substitution de ces valeurs dans le calcul nous donne moins un sur racine de deux multiplié par un sur racine de deux moins moins un demi multiplié par moins un demi. Lors de la multiplication de deux fractions, nous multiplions les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.
Moins un multiplié par un est égal à moins un, car la multiplication d’un nombre négatif par un nombre positif nous donne un résultat négatif. La multiplication de la racine carrée de 𝑎 par la racine carrée de 𝑎 nous donne 𝑎. Cela signifie que racine carrée de deux multipliée par racine carrée de deux est égal à deux. Nous pouvons également voir cela comme la racine carrée de quatre, car deux multiplié par deux égale quatre. Et nous savons que la racine carrée de quatre est égale à deux. Moins un sur racine de deux multiplié par un sur racine de deux est égal à moins un demi.
Nous devons également multiplier moins un demi par moins un demi. Cela est égal à un quart, car un demi multiplié par un demi égale un quart et la multiplication de deux nombres négatifs nous donne un résultat positif. Il nous reste moins un demi moins un quart.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous devons nous assurer d’avoir un dénominateur commun. Moins un demi est la même chose que moins deux quarts. Nous avons multiplié le haut et le bas par deux. Nous devons soustraire un quart de moins deux quarts. Comme les dénominateurs sont maintenant les mêmes, il suffit de soustraire les numérateurs. Moins deux moins un est égal à moins trois. Cela signifie que le résultat final est moins trois quarts. Le sinus de 315 degrés multiplié par cosinus de 45 degrés moins cosinus de 120 degrés multiplié par sinus de 330 degrés est égal à moins trois quarts.
