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Exprimez le cosinus au cube 𝜃 en fonction des cosinus des multiples de 𝜃.
Dans cette question, nous voulons trouver une expression pour le cosinus au cube de 𝜃 en fonction de cosinus des multiples de notre angle 𝜃. Le moyen le plus simple de répondre à cette question sera d’utiliser le théorème de De Moivre. Une version du théorème de De Moivre nous dit que pour toute valeur entière de 𝑛 et un nombre réel 𝜃, cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 le tout élevé à la puissance 𝑛 sera égal à cosinus 𝑛𝜃 plus 𝑖 sinus 𝑛𝜃. Si nous voulions utiliser cela pour répondre à notre question, nous aurions besoin de choisir notre valeur de 𝑛 égale à trois, ainsi, cosinus au cube 𝜃 apparaît dans notre expression. Cependant, si nous faisions cela, lorsque nous distribuons sur nos parenthèses, nous nous retrouverions avec des termes impliquant sinus 𝜃. La question veut seulement que nous utilisions des termes impliquant cosinus 𝜃, nous allons donc devoir utiliser un résultat supplémentaire.
Si nous définissons 𝑧 comme l’expression à l’intérieur de nos parenthèses dans le théorème de De Moivre, alors le théorème de De Moivre nous dit que 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à cosinus 𝑛𝜃 plus 𝑖 sinus 𝑛𝜃. Nous pouvons alors utiliser cela pour obtenir deux résultats très utiles. 𝑧 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à deux cosinus de 𝑛𝜃 et 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est deux 𝑖 sinus de 𝑛𝜃. Nous pouvons prouver ces résultats en nous souvenant que le théorème de De Moivre s’applique à toute valeur entière de 𝑛 et que un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑧 à la puissance moins 𝑛. Ces deux résultats sont vraiment utiles et méritent d’être mémorisés.
Nous voulons les utiliser pour trouver une expression pour cosinus au cube de 𝜃, nous allons donc utiliser l’expression impliquant le cosinus. Nous allons commencer par définir notre valeur de 𝑛 égale à un parce que nous voulons trouver une expression pour cosinus au cube de 𝜃 seulement. Ainsi, en définissant 𝑛 égal à un, nous obtenons deux cosinus de 𝜃 égale 𝑧 plus un sur 𝑧. Ensuite, nous voulons une expression pour cosinus au cube de 𝜃, nous allons donc avoir besoin de mettre au cube les deux membres de notre équation et nous pourrions simplifier les deux membres séparément. Sur le membre gauche de notre équation, nous devons mettre au cube chacun des facteurs séparément. Cela nous donne deux au cube, ce qui est huit fois le cosinus au cube de 𝜃. Sur le membre droit de cette expression, nous avons la somme de deux termes élevée à la puissance trois. Il s’agit d’un binôme.
Nous pouvons donc développer le membre droit de cette expression en utilisant la formule du binôme. Rappelez-vous, cela nous indique pour toute valeur entière positive de 𝑚, 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑚 est égal à la somme de 𝑟 égale zéro à 𝑚 de 𝑟 parmi 𝑚 fois 𝑎 à la puissance 𝑟 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑚 moins 𝑟. Ainsi, en utilisant la formule du binôme, nous pouvons développer le membre droit de notre équation. Nous obtenons zéro parmi trois fois 𝑧 au cube plus un parmi trois multiplié par 𝑧 au carré fois un sur 𝑧 plus deux parmi trois fois 𝑧 multiplié par un sur 𝑧 le tout au carré plus trois parmi trois fois un sur 𝑧 le tout au cube.
Nous pouvons simplifier le membre droit de cette expression. Nous ferons cela terme par terme. Dans notre premier terme, zéro parmi trois est égal à un. Ainsi, notre premier terme se simplifie pour nous donner 𝑧 au cube. Pour notre deuxième terme, un parmi trois est égal à trois et 𝑧 au carré fois un sur 𝑧 est 𝑧 au carré sur 𝑧, ce qui se simplifie pour nous donner 𝑧. Ainsi, notre deuxième terme se simplifie pour nous donner trois 𝑧. Quant à notre troisième terme, deux parmi trois est égal à trois et 𝑧 fois un sur 𝑧 le tout au carré est 𝑧 divisé par 𝑧 au carré, ce qui se simplifie pour nous donner un sur 𝑧. Ainsi, notre troisième terme se simplifie pour nous donner trois sur 𝑧. Dans notre quatrième et dernier terme, trois parmi trois est égal à un et un sur 𝑧 le tout au cube est un sur 𝑧 au cube. Ainsi, notre quatrième terme est juste un sur 𝑧 au cube.
Jusqu’à présent, nous avons donc montré que huit cosinus au cube de 𝜃 est égal à 𝑧 au cube plus trois 𝑧 plus trois sur 𝑧 plus un sur 𝑧 au cube. Cela ne suffit pas car, rappelez-vous, la question requiert de trouver une expression pour cosinus au cube de 𝜃 uniquement en fonction de cosinus des multiples de 𝜃. Pour ce faire, nous allons devoir remarquer quelque chose. À droite de notre expression, nous pouvons en effet simplifier. Par exemple, au côté droit de notre expression, nous avons 𝑧 au cube plus un sur 𝑧 au cube, que nous pouvons simplifier en utilisant le théorème de De Moivre. 𝑧 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 donne deux cosinus de 𝑛𝜃. Ainsi, 𝑧 au cube plus un sur 𝑧 au cube donne deux cosinus de trois 𝜃.
Nous allons donc associer ces deux termes au membre droit de notre expression. Nous pourrons voir que nous pouvons également le faire avec trois 𝑧 plus trois sur 𝑧. Tout d’abord, nous devons factoriser par le facteur trois, commun à ces deux termes. Cela nous donne 𝑧 plus un sur 𝑧 à l’intérieur de nos parenthèses. 𝑧 plus un sur 𝑧 est exactement le même résultat avec 𝑛 qui vaut un. Selon le théorème de De Moivre, 𝑧 plus un sur 𝑧 donne deux cosinus de 𝜃 et 𝑧 au cube plus un sur 𝑧 au cube donne deux cosinus trois 𝜃. Nous pouvons donc substituer ces deux éléments dans notre expression. Rappelez-vous, nous devons multiplier deux cosinus de 𝜃 par trois. Cela nous donne deux cosinus de trois 𝜃 plus six cosinus 𝜃. Rappelez-vous, tout cela équivaut à huit cosinus au cube de 𝜃.
Maintenant, nous pouvons trouver une expression pour cosinus au cube de 𝜃 en termes de cosinus des multiples de 𝜃 en divisant les deux membres de notre équation par huit. Nous allons diviser chaque terme séparément sur le membre droit par huit. Cela nous donne cosinus au cube de 𝜃 est égal à deux cosinus de trois 𝜃 le tout sur huit plus six cosinus de 𝜃 le tout sur huit. Nous pouvons simplifier le membre droit. Nous pouvons simplifier par le facteur commun de deux au numérateur et au dénominateur des deux termes, ce qui nous donne cosinus de trois 𝜃 sur quatre plus trois cosinus de 𝜃 sur quatre. Nous allons simplifier cela en factorisant par le facteur commun d’un quart. Cela nous donne un quart multiplié par cosinus de trois 𝜃 plus trois cosinus de 𝜃.
La dernière simplification que nous allons faire est de réarranger les deux termes à l’intérieur de nos parenthèses. Enfin, cela nous donne notre réponse finale d’un quart multiplié par trois cosinus 𝜃 plus cosinus de trois 𝜃. Par conséquent, en utilisant le théorème de De Moivre et plusieurs résultats que nous obtenons avec le théorème de De Moivre, nous avons pu trouver une expression pour cosinus au cube de 𝜃 en fonction de cosinus des multiples de 𝜃. Nous avons pu montrer que cosinus au cube de 𝜃 est égal à un quart multiplié par trois cosinus de 𝜃 plus cosinus de trois 𝜃.
