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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier une proportionnalité inverse et à établir des équations décrivant une relation de proportionnalité inverse pour résoudre des problèmes. Avant de commencer à parler de proportionnalité inverse, nous allons rappeler la définition de proportionnalité directe. Nous rappellerons également certaines propriétés des variables directement proportionnelles.
On dit que deux variables sont directement proportionnelles, ou en proportion directe, si leur quotient est constant. Par exemple, si une personne a un emploi payé à l’heure, alors les variables des heures travaillées et du salaire sont directement proportionnelles. Plus le nombre d’heure qu’elle effectue est élevé, plus son salaire est élevé.
Pour deux variables 𝑦 et 𝑥, on utilise le symbole de proportionnalité pour décrire la relation entre les variables. On peut alors dire que 𝑦 est en proportion directe avec 𝑥 ou que 𝑦 est directement proportionnel à 𝑥.
Puisque le quotient de 𝑦 à 𝑥 est constant, on peut écrire que 𝑦 est égal à 𝑚𝑥, où 𝑚 est différent zéro. Cette constante 𝑚 est appelée le coefficient de proportionnalité.
On peut également utiliser la lettre 𝑘 à la place de m. Et dans ce cas k serait le coefficient de proportionnalité .
Lorsque l’on trace la représentation graphique d’une relation de proportionnalité directe, on obtient une droite qui passe par l’origine. Mais bien sûr, il ne s’agit pas du seul type de relation proportionnelle. Prenons, par exemple, la relation entre la vitesse d’une voiture et le temps nécessaire pour atteindre une destination. Ces deux variables sont reliées par la formule temps égale distance divisée par vitesse.
Cela signifie que lorsque la vitesse augmente, le temps nécessaire pour atteindre la destination diminue. Ceci est un exemple de proportionnalité inverse.
On dit alors que deux variables 𝑦 et 𝑥 sont inversement proportionnelles si 𝑦 est directement proportionnelle à l’inverse de 𝑥.
Et on le note en utilisant le même symbole de proportionnalité comme ceci. Lorsque 𝑦 est directement proportionnelle à un sur 𝑥, cela revient à dire que 𝑦 est inversement proportionnelle à 𝑥.
Ainsi, dans le cas d’une proportionnalité inverse, par exemple, 𝑎 est inversement proportionnelle à 𝑏, nous savons que nous aurons un symbole de proportionnalité suivi d’une fraction inverse. Et comme pour la proportionnalité directe, on peut écrire une proportionnalité inverse sous la forme d’une équation avec un coefficient de proportionnalité. On peut dire que 𝑦 est égal à 𝑚 sur 𝑥, où x est différent de zéro et 𝑚 est le coefficient de proportionnalité. On peut également utiliser la lettre 𝑘 pour représenter le coefficient de proportionnalité.
Passons maintenant à quelques exemples. Dans le premier exemple, nous allons voir comment calculer un coefficient de proportionnalité.
𝑦 est inversement proportionnelle à 𝑥. Sachant que 𝑦 est égal à huit lorsque 𝑥 est égal à sept, quel est le coefficient de proportionnalité?
On rappelle que deux variables 𝑦 et 𝑥 sont dites inversement proportionnelles si 𝑦 est directement proportionnelle, ou en proportionnalité directe, à l’inverse de 𝑥. Et on note cette proportionnalité comme ceci : 𝑦 est proportionnelle à un sur 𝑥. Cela signifie qu’il existe une constante non nulle 𝑚 telle que 𝑦 égale 𝑚 sur 𝑥. 𝑚 est le coefficient de proportionnalité. Cependant, la réponse à cette question n’est pas simplement 𝑚 ou toute autre lettre que nous pourrions utiliser pour représenter le coefficient de proportionnalité. Ce que nous devons ici faire est d’utiliser les informations sur ces valeurs de 𝑦 et 𝑥 pour calculer la valeur du coefficient de proportionnalité.
On remplace 𝑦 par huit et 𝑥 par sept dans l’équation. Cela nous donne huit égale 𝑚 sur sept. On peut alors multiplier les deux membres de cette équation par sept. Et puisque huit fois sept égale 56, on trouve que 𝑚 est égal à 56. Nous concluons donc que le coefficient de proportionnalité est égal à 56.
Nous avons rappelé précédemment que la représentation graphique d’une relation de proportionnalité directe est une droite passant par l’origine. Mais à quoi ressemblerait la représentation graphique d’une relation de proportionnalité inverse? Prenons les deux variables 𝑦 et 𝑥, où 𝑦 est inversement proportionnelle à 𝑥. La courbe représentative de cette relation correspondra à une équation de la forme 𝑦 égale 𝑚 sur 𝑥. Ce sera donc une courbe représentative de fonction inverse, et elle ressemblera à quelque chose comme ça. Notez que lorsque la valeur de 𝑥 augmente, la valeur de 𝑦 diminue. Et de même, lorsque la valeur de 𝑥 diminue, la valeur de 𝑦 augmente. Nous pouvons utiliser ces informations pour la question suivante où nous devons déterminer quelle courbe représente une relation de proportionnalité inverse.
Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à une relation de proportionnalité inverse?
On rappelle que lorsque deux variables 𝑦 et 𝑥 sont inversement proportionnelles, on peut l’écrire comme 𝑦 est proportionnelle à un sur 𝑥. Cela signifie qu’il existe un coefficient de proportionnalité 𝑚 tel que 𝑦 égale 𝑚 sur 𝑥. On peut également reconnaître que lorsque la valeur de 𝑥 augmente, la valeur de 𝑦 doit diminuer.
En observant les courbes représentatives des fonctions données, les courbes B, C et D ne suivent pas ce modèle. La courbe C est en fait la courbe représentative d’une proportionnalité directe. Cela signifie que nous pouvons éliminer ces trois options. Il ne nous reste alors que la courbe A. Et on peut voir que lorsque 𝑥 augmente, 𝑦 diminue. De même, lorsque 𝑥 diminue, 𝑦 augmente. Nous pouvons également confirmer que la réponse est la courbe A car il s’agit de la courbe représentative d’une fonction inverse.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir un exemple très classique de problème de proportionnalité inverse où nous devons d’abord calculer le coefficient de proportionnalité puis l’utiliser pour répondre à une question.
Un groupe de scouts reçoit un don de 1 000 dollars pour financer des places à un rassemblement international. Le montant que chaque scout reçoit pour son voyage est inversement proportionnel au nombre de scouts du groupe allant au rassemblement. Établissez une expression de 𝑚, le montant que chaque scout reçoit, en fonction de 𝑛, le nombre de scouts du groupe allant au rassemblement. Si 25 scouts du groupe vont au rassemblement, combien d’argent recevra chaque scout?
Remarquez que cette question concerne une proportionnalité inverse. Il est indiqué que le montant que chaque scout reçoit est inversement proportionnel au nombre de scouts allant au rassemblement. Et il est en fait logique que ce soit une proportionnalité inverse. Imaginons qu’un seul scout aille au rassemblement. Il recevrait alors la totalité des 1 000 dollars. Mais plus le nombre de scouts qui vont au rassemblement augmente, moins chacun recevra d’argent pour les frais du voyage.
L’énoncé indique les lettres à attribuer à chaque variable. 𝑚 est le montant que chaque scout reçoit et 𝑛 est le nombre de scouts qui vont au rassemblement. Si deux variables 𝑚 et 𝑛 sont inversement proportionnelles, alors on peut écrire que 𝑚 est directement proportionnelle à un sur 𝑛. Cela veut dire qu’il existe un coefficient de proportionnalité 𝑘 différent de zéro tel que 𝑚 égale 𝑘 sur 𝑛. On appelle 𝑘, le coefficient de proportionnalité. Afin de trouver une expression de 𝑚 en fonction de 𝑛, nous devons donc calculer cette valeur 𝑘.
Pour des problèmes comme celui-ci, l’énoncé fournit parfois une paire de valeurs connues de 𝑛 et 𝑚. Ce n’est pas le cas ici, mais nous pouvons en déterminer une facilement. Rappelez-vous que nous avons déjà remarqué que s’il n’y a qu’un seul scout, alors il recevra la totalité des 1 000 dollars. Un scout signifie que 𝑛 est égal à un. Le montant d’argent 𝑚 sera alors égal à 1 000. Nous pouvons à présent substituer ces valeurs dans l’équation de proportionnalité. Cela nous donne 1 000 égale 𝑘 sur un. Donc 𝑘 est égal à 1 000. On peut donc maintenant remplacer cette valeur de 𝑘 dans l’équation de proportionnalité. La réponse à la première question de ce problème est donc 𝑚 égale 1 000 sur 𝑛.
Afin de répondre à la deuxième question, nous allons utiliser l’équation que nous avons établie dans la première question. Nous savons que le montant d’argent que chaque scout reçoit, 𝑚, est égal à 1 000 sur le nombre de scouts. Si 25 scouts vont au rassemblement, alors 𝑛 est égal à 25. Et nous devons calculer la valeur de 𝑚, le montant d’argent que chaque scout recevra. En remplaçant 𝑛 par 25 dans cette équation, on a 𝑚 égale 1 000 sur 25, donc 𝑚 égale 40. Nous déduisons donc que si 25 scouts vont au rassemblement, chaque scout recevra 40 dollars.
Étudions un dernier exemple.
Le nombre d’heures 𝑛 nécessaires pour effectuer une certaine tâche est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers qui l’effectuent. Sachant que 23 ouvriers peuvent accomplir la tâche en 35 heures, combien de temps mettraient 115 ouvriers pour réaliser cette tâche?
Dans ce problème, nous étudions la relation entre le nombre d’heures de travail nécessaire pour effectuer une tâche et le nombre d’ouvriers effectuant cette même tâche. Il est indiqué que ces deux variables sont inversement proportionnelles. Il pourrait être tentant de penser que lorsque le nombre d’ouvriers augmente, le temps nécessaire augmente également. Mais ce serait incorrect et c’est en fait l’inverse. Plus le nombre d’ouvriers augmente, plus le temps nécessaire diminue. C’est pourquoi il s’agit d’une proportionnalité inverse. On peut décrire le temps nécessaire, c’est-à-dire le nombre d’heures, en utilisant la variable 𝑛. Et on désigne le nombre d’ouvriers par la variable 𝑤.
On rappelle que si deux variables 𝑛 et 𝑤 sont inversement proportionnelles, alors on peut écrire que 𝑛 est directement proportionnelle à un sur 𝑤. Cela signifie qu’il existe un coefficient de proportionnalité 𝑘 tel que 𝑛 égale 𝑘 sur 𝑤. Et pour trouver la valeur de 𝑘, nous avons l’information selon laquelle 23 ouvriers mettent 35 heures à effectuer cette tâche. On peut donc substituer 𝑛 égale 35 et 𝑤 égale 23 dans cette équation. Cela nous donne 35 égale 𝑘 sur 23. En multipliant les deux membres de cette équation par 23, on obtient 35 fois 23 égale 𝑘. Et on en déduit que 𝑘 est égal à 805. On peut ensuite remplacer cette valeur de 𝑘 dans l’équation de proportionnalité. On a 𝑛 égale 805 sur 𝑤.
Nous avons maintenant une équation reliant le nombre d’heures 𝑛 au nombre d’ouvriers 𝑤. Nous pourrions utiliser cette équation pour calculer le temps nécessaire pour effectuer la tâche pour n’importe quel nombre d’ouvriers. Et nous pouvons notamment l’utiliser ici pour calculer le temps nécessaire pour 115 ouvriers. 𝑤 est le nombre d’ouvriers et il est égal à 115. Et nous devons calculer 𝑛, le nombre d’heures. En substituant cette valeur dans l’équation, on obtient 𝑛 égale 805 sur 115, ce qui se simplifie par sept. On déduit donc que 115 ouvriers mettraient sept heures pour accomplir la tâche.
Mais il existe une autre façon de résoudre ce problème de proportionnalité inverse. Il faut pour cela utiliser la propriété stipulant que si deux variables sont inversement proportionnelles, alors leur produit est constant. Dans ce contexte, le nombre d’heures 𝑛 multiplié par le nombre d’ouvriers 𝑤 est égal à une constante 𝑘. L’énoncé du problème indique que 23 ouvriers mettent 35 heures pour terminer la tâche. Et ce produit sera égal au produit de 115 ouvriers multiplié par 𝑛, le nombre d’heures. Pour calculer t, on divise par 115. Et on obtient alors la même valeur, t égale sept. Nous avons donc confirmé notre réponse : il faut sept heures aux 115 ouvrier pour accomplir la tâche.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Deux variables 𝑦 et 𝑥 sont dites en proportionnalité inverse, ou inversement proportionnelles, si 𝑦 est proportionnelle à un sur 𝑥. Cela signifie également que leur produit est constant. Si 𝑦 et 𝑥 sont inversement proportionnelles, alors 𝑦 égale 𝑚 sur 𝑥 pour une constante 𝑚 différente de zéro. On appelle 𝑚 le coefficient de proportionnalité. Enfin, nous avons vu que la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse est la courbe représentative d’une fonction inverse.
