Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier une proportionnalité inverse et à construire une formule la décrivant pour résoudre des problèmes.
Avant d’aborder la proportionnalité inverse, rappelons la définition d’une proportionnalité directe et certaines des propriétés des variables directement proportionnelles.
Définition : Proportionnalité directe
Deux variables sont dites directement proportionnelles, ou en proportionnalité directe, si leur quotient est constant.
Ce type de relation est souvent noté . Comme leur quotient est constant, on a pour et une constante , où est appelé coefficient de proportionnalité.
En multipliant les deux membres de l’équation précédente par , on voit que
Si , alors est une fonction linéaire de et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.
Il existe également un autre type de relation proportionnelle. Rappelons par exemple la relation entre la vitesse d’une voiture et le temps nécessaire pour atteindre une destination. Ces grandeurs vérifient la formule
Dans cet exemple, la distance que la voiture doit parcourir est une constante, donc on peut dire que avec le coefficient de proportionnalité . Il s’agit d’un exemple de proportionnalité inverse. On dit que est inversement proportionnel à si est directement proportionnel à . Nous pouvons le définir formellement comme suit.
Définition : Proportionnalité inverse
Deux variables et sont dites inversement proportionnelles, ou en proportionnalité inverse, si est directement proportionnelle à l’inverse de . C’est-à-dire, .
Cela revient à dire que pour et une constante , où est le coefficient de proportionnalité.
On peut reformuler cette équation par . Par conséquent, le produit de variables inversement proportionnelles est constant.
Nous pouvons utiliser cette définition pour déterminer des valeurs inconnues dans une relation de proportionnalité inverse grâce au coefficient de proportionnalité. Par exemple, partager une somme d’argent fixe entre un nombre variable de personnes est une relation de proportionnalité inverse. Supposons que nous devons partager 800 $ entre personnes ; et que le montant d’argent, en dollars, que chaque personne reçoit est alors défini par où
Si on sait après avoir partagé équitablement l’argent que chaque personne a reçu 50 $, on peut calculer la valeur correspondante de en substituant dans l’équation ci-dessus
On multiplie ensuite l’équation par et on divise par 50 pour obtenir
Voyons à présent avec un exemple comment déterminer le coefficient de proportionnalité d’une relation de proportionnalité inverse à partir de valeurs des deux variables.
Exemple 1: Calculer le coefficient de proportionnalité inverse
La variable est inversement proportionnelle à . Sachant que quand , quel est le coefficient de proportionnalité ?
Réponse
On rappelle que deux variables et sont dites inversement proportionnelles si est directement proportionnelle à l’inverse de . C’est-à-dire, . Cela signifie qu’il existe une constante telle que . Cette constante est appelée le coefficient de proportionnalité.
On peut substituer et dans cette équation pour obtenir
En multipliant l’équation par 7, on obtient
Remarquez que nous aurions pu calculer directement en notant que peut être reformulé par . En d’autres termes, le produit des variables est constant et égal à . On peut donc toujours calculer le coefficient de proportionnalité en multipliant les valeurs des variables :
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons utilisé la propriété selon laquelle le produit de variables inversement proportionnelles est constant. Une propriété similaire est vraie pour la proportionnalité directe : le quotient des variables est constant. Cela nous donne des tests utiles pour déterminer si une relation est directement proportionnelle ou inversement proportionnelle.
Voyons un exemple d’utilisation de ces propriétés où nous devons déterminer le type d’une relation représentée dans un tableau, puis en déduire une inconnue à partir d’une valeur de l’autre variable.
Exemple 2: Déterminer si deux quantités sont directement ou inversement proportionnelles
Déterminez si est directement ou inversement proportionnelle à et déduisez-en la valeur de quand .
| 2 | 4 | 70 | |
| 70 | 35 | 2 |
Réponse
On rappelle que est directement proportionnelle à si leur quotient est constant et que est inversement proportionnelle à si leur produit est constant. Nous pouvons donc déterminer si et vérifient une de ces relations en calculant le quotient et le produit de chaque paire de valeurs de et , et en vérifiant s’ils sont constants. On ajoute ces valeurs au tableau :
| 2 | 4 | 70 | |
| 70 | 35 | 2 | |
| 35 | 8,75 | ||
| 140 | 140 | 140 |
On observe que le quotient entre les valeurs correspondantes de et varie alors que leur produit reste constant à 140. Par conséquent, est inversement proportionnelle à et .
On peut utiliser cette équation pour déterminer la valeur de quand en substituant dans l’équation. Cela donne
En divisant l’équation par 3, on obtient
On peut enfin l’écrire sous forme de nombre mixte :
Par conséquent, est inversement proportionnel à et quand , .
Dans l’exemple précédent, nous avons vu un exemple de relation de proportionnalité inverse où le produit des variables était constant. En général, cela signifie que si et et , et et sont des valeurs des variables correspondantes de la relation, on doit avoir
On peut réarranger cette équation pour obtenir
En d’autres termes, , , et sont proportionnels et on peut utiliser cela pour déterminer une inconnue dans une relation de proportionnalité inverse à partir de trois valeurs connues des variables sans avoir à calculer le coefficient de proportionnalité.
Avant de passer à d’autres exemples, étudions la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse. Il s’agit de la courbe représentative d’une équation de la forme qui correspond à une fonction dite inverse, et elle a la forme suivante.
On peut voir que lorsque la valeur de augmente, la valeur de diminue et de même, lorsque la valeur de diminue, la valeur de augmente.
Utilisons cela pour identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse.
Exemple 3: Identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse
Laquelle des courbes représentatives ci-dessous correspond à une relation de proportionnalité inverse ?
Réponse
Commençons par rappeler que dans une relation de proportionnalité inverse, le produit des variables est constant, donc pour une constante . Par conséquent, quand la valeur de augmente, la valeur de doit diminuer. Nous pouvons voir sur la figure que les courbes B, C et D ne correspondent pas à ce modèle. Quand les valeurs de augmentent, les valeurs de augmentent également, donc aucune de ces courbes ne peut représenter une relation de proportionnalité inverse.
Sur la courbe A, on peut voir que lorsque augmente, diminue. De même, lorsque diminue, augmente. Cela nous indique que la courbe A représente une relation de proportionnalité inverse. On peut le confirmer en remarquant que la forme de cette courbe représentative est celle d’une fonction inverse , que l’on peut reformuler par .
Par conséquent, seule la courbe A représente une relation de proportionnalité inverse.
Voyons maintenant avec un exemple comment utiliser la description d’une relation de proportionnalité inverse pour trouver une équation reliant les variables.
Exemple 4: Déterminer l’équation décrivant une proportionnalité inverse
Un groupe de scouts a reçu un don de 1 000 $ pour financer des places pour un rassemblement international. Le montant que chaque scout reçoit pour son voyage est inversement proportionnel au nombre de scouts du groupe allant au rassemblement.
- Déterminez une équation de , le montant que chaque scout reçoit, en fonction de , le nombre de scouts du groupe allant au rassemblement.
- Si 25 scouts du groupe vont au rassemblement, combien d’argent recevra chaque scout ?
Réponse
Partie 1
On rappelle que deux variables et sont dites inversement proportionnelles si est directement proportionnelle à l’inverse de . C’est-à-dire, . Cela signifie qu’il existe une constante telle que , où . La constante est appelée le coefficient de proportionnalité. Pour trouver une équation de en fonction de , nous devons donc déterminer la valeur de .
Identifions pour cela une paire de valeurs correspondantes de et . On remarque ainsi que s’il n’y avait qu’un seul scout, il recevrait tout l’argent car il ne partagerait l’argent avec personne. On en déduit que lorsque , . En substituant ces valeurs dans l’équation de proportionnalité, on a
Donc, et on peut le substituer dans l’équation de proportionnalité pour obtenir
Partie 2
Si 25 scouts du groupe vont au rassemblement, alors et le montant que chaque scout recevra est la valeur correspondante de . Comme nous avons une équation de en fonction de , on peut substituer dans l’équation pour trouver la valeur correspondante de et on obtient
Par conséquent, chaque scout recevra 40 $.
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser une relation de proportionnalité inverse pour déterminer la valeur d’une inconnue à partir de trois valeurs connues.
Exemple 5: Utiliser la proportionnalité inverse pour déterminer une inconnue
Pour un rectangle d’aire fixe, la longueur est inversement proportionnelle à la largeur . Sachant que quand , calculez la valeur de quand
Réponse
On peut répondre à cette question de deux façons. On rappelle d’abord que deux variables et sont dites inversement proportionnelles si est directement proportionnelle à l’inverse de . C’est-à-dire, . Cela signifie qu’il existe une constante telle que . On peut trouver la valeur de en substituant et dans l’équation et on obtient
Multiplier l’équation par 16 nous donne
Il s’agit de l’aire du rectangle. On peut substituer cette valeur dans l’équation de proportionnalité :
On substitue maintenant dans cette équation et on obtient .
Une méthode plus simple consiste à utiliser le fait que si deux variables sont inversement proportionnelles, alors leur produit est constant. Si on désigne alors la longueur que l’on recherche par , on a
En divisant l’équation par 44, on obtient
Par conséquent, la longueur du rectangle est de 8 cm.
Dans le dernier exemple, nous allons appliquer les définitions et les propriétés de la proportionnalité inverse pour déterminer le temps mis par un nombre donné d’ouvriers pour réaliser une tâche sachant que le nombre d’heures nécessaires est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers.
Exemple 6: Résoudre un problème impliquant une proportionnalité inverse
Le nombre d’heures nécessaires pour réaliser une certaine tâche est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers qui l’effectuent. Sachant que 23 ouvriers peuvent accomplir la tâche en 35 heures, combien de temps mettraient 115 ouvriers pour réaliser cette tâche ?
Réponse
On rappelle tout d’abord que si deux variables sont inversement proportionnelles, alors leur produit est constant. Par conséquent, si on désigne la durée que l’on recherche par , on doit avoir
Pour une constante , en posant les membres gauches de chaque équation égaux, on a
En divisant par 115, on obtient
Par conséquent, 115 ouvriers mettraient 7 heures pour réaliser cette tâche.
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Deux variables et sont dites inversement proportionnelles, ou en proportionnalité inverse, si . Cela signifie que leur produit est constant.
- Dire que et sont inversement proportionnelles équivaut à dire que pour une constante ; on appelle le coefficient de proportionnalité.
- La courbe représentative de variables inversement proportionnelles correspond à la courbe représentative d’une fonction inverse.
