Transcription de la vidéo
Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 puissance huit moins 256, le tout divisé par 𝑥 puissance quatre moins 16.
On peut voir qu’on nous demande de calculer la limite du quotient de deux polynômes. Il s’agit donc de la limite d’une fonction rationnelle. Ce qui signifie qu’on peut essayer de calculer cette limite par substitution directe. On remplace 𝑥 par moins deux dans la fonction dont on calcule la limite. Cela nous donne moins deux puissance huit moins 256, le tout divisé par moins deux puissance quatre moins 16. On fait les calculs et on obtient 256 moins 256 le tout divisé par 16 moins 16, qui se simplifie en zéro sur zéro, soit une forme indéterminée. Cela nous indique que nous ne pouvons pas calculer cette limite par substitution directe ; nous allons devoir utiliser une autre méthode.
Et puisqu’il s’agit de la limite du quotient de deux polynômes, nous allons essayer de factoriser le numérateur et le dénominateur. Commençons par le polynôme de notre numérateur. Il s’agit du polynôme 𝑥 puissance huit moins 256. Nous pouvons remarquer que c’est une différence de deux carrés. On peut mettre ces carrés en évidence en réécrivant notre polynôme sous la forme 𝑥 puissance quatre, le tout au carré, moins 16 au carré. Rappelons comment factoriser une différence de carrés. Nous savons que 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré est égal à 𝑎 moins 𝑏 multiplié par 𝑎 plus 𝑏. Donc en posant 𝑎 égale 𝑥 puissance quatre et 𝑏 égale 16, nus pouvons factoriser le polynôme de notre numérateur en 𝑥 puissance quatre moins 16 multiplié par 𝑥 puissance quatre plus 16.
Nous pouvons alors remarquer quelque chose d’intéressant. Le fait que 𝑥 puissance quatre moins 16 est un facteur de notre numérateur, mais aussi un facteur de notre dénominateur. En d’autres termes, nous avons réécrit la limite qui nous a été donnée dans la question en la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 puissance quatre moins 16 multiplié par 𝑥 puissance quatre plus 16, le tout divisé par 𝑥 puissance quatre moins 16. Nous voudrions maintenant annuler le facteur commun 𝑥 puissance quatre moins 16 au numérateur et au dénominateur. Nous pouvons faire cela avec des polynômes. Puisque nous prenons la limite quand 𝑥 tend vers moins deux, seul nous intéresse ce qui se passe quand 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins deux, et non ce qui se passe quand 𝑥 est égal à moins deux. Par conséquent, nous pouvons annuler le facteur commun au numérateur et au dénominateur. Ce facteur ne sera pas égal à zéro.
Ce faisant, nous obtenons que notre limite est égale à la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 puissance quatre plus 16. Et c’est la limite d’un polynôme, donc nous pouvons la calculer par substitution directe. En remplaçant 𝑥 par moins deux dans notre polynôme, nous obtenons moins deux puissance quatre plus 16, ce qui est égal à 32. Ainsi, après quelques manipulations algébriques, nous avons pu utiliser la substitution directe pour montrer que la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 puissance huit moins 256, le tout divisé par 𝑥 puissance quatre moins 16, est égale à 32.
