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Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un carré de côté de 53 centimètres, calculez la mesure algébrique de la projection du vecteur 𝐂𝐀 dans la direction de 𝐁𝐂.
Bon, pour commencer ici, disons qu’il s’agit là de notre carré avec des sommets désignés 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. On nous dit que la longueur de chaque côté du carré est de 53 centimètres. Et nous voulons calculer la mesure algébrique de la projection de ce vecteur 𝐂𝐀 dans la direction d’un autre vecteur 𝐁𝐂.
Commençons par tracer ces deux vecteurs. 𝐂𝐀 est un vecteur qui va du point 𝐶 au point 𝐴. Puis, le vecteur 𝐁𝐂 commence au point 𝐵 et se termine au point 𝐶. Nous voulons alors déduire la projection de ce vecteur sur celui-ci. Pour nous aider, rappelons que si nous projetons un vecteur 𝐀 sur un autre vecteur 𝐁, on appelle cela la projection de 𝐀 sur 𝐁, alors c’est égal au produit scalaire de ces vecteurs divisé par la norme du vecteur sur lequel on applique la projection.
Notre prochaine étape sera donc de résoudre les composantes de ces deux vecteurs définis sur notre carré. Pour faire cela, considérons le point 𝐴, ce sommet du carré, représente l’origine d’un repère. L’axe des abscisses positifs se déplace alors horizontalement vers la droite à partir de ce point, et l’axe des ordonnées pointe verticalement vers le haut à partir de ce point. Avec ce cadre, nous pouvons maintenant définir les coordonnées des trois points qui nous intéressent 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Le point 𝐴 est à l’origine, ses coordonnées sont donc zéro, zéro. Le point 𝐵 se trouve à la distance d’un côté de notre carré le long de l’axe des abscisses. On sait que c’est 53 centimètres. Et son ordonnée est nulle. Enfin, le point 𝐶 a des coordonnées en 𝑥 et 𝑦 de 53.
Maintenant, le vecteur 𝐂𝐀 est égal à la différence entre les coordonnées du point 𝐴 et celles du point 𝐶. Zéro, zéro moins 53, 53 nous donne un résultat final de moins 53, moins 53. Ce sont les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur 𝐂𝐀. De même pour le vecteur 𝐁𝐂, c’est égal à la différence entre les coordonnées du point 𝐶 et du point 𝐵. Le point 𝐶 a pour coordonnées 53, 53. Et le point 𝐵 a pour coordonnées 53, zéro. Nous obtenons donc un vecteur avec les composantes zéro, 53. Ce sont les composantes 𝑥 et 𝑦 de 𝐁𝐂.
Nous sommes maintenant prêts à calculer cette mesure algébrique de la projection du vecteur 𝐂𝐀 dans la direction de 𝐁𝐂. L’équation nous montre que cela est égal au produit scalaire de 𝐂𝐀 et 𝐁𝐂 divisé par la norme de 𝐁𝐂. En libérant de l'espace pour ce calcul, dans le numérateur, nous allons calculer ce produit scalaire. Quant au dénominateur, nous nous souvenons que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. En haut, en multipliant les vecteurs, composante par composante, nous obtenons moins 53 au carré. Et en bas, nous avons la racine carrée de 53 au carré.
Mais ensuite, dans le dénominateur, ce carré et la racine carrée s’élimine. Puis le facteur restant de 53 au dénominateur s’élimine avec un facteur au numérateur de sorte qu’après toute la simplification, tout ce qui reste est moins 53. Et voici la réponse. C’est la mesure algébrique de la projection de 𝐂𝐀 dans la direction de 𝐁𝐂.
