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Soient les points 𝐴 un, un, 𝐵 moins un, un et 𝐶 moins un, trois dans le repère
orthonormé 𝑂 ; 𝐼, 𝐽. Quel type de repère est 𝑂 ; 𝐴, 𝐵 ? Quelles sont les coordonnées du point 𝐶 dans le repère 𝑂 ; 𝐴, 𝐵 ?
La première question nous demande de déterminer de quel type est le repère 𝑂 ; 𝐴,
𝐵. La première lettre, dans ce cas 𝑂, correspond à l’origine. Donc 𝑂 a pour coordonnées zéro, zéro. La droite 𝑂𝐴 est l’axe des abscisses et 𝑂𝐴 est son unité de longueur. Et la droite 𝑂𝐵 est l’axe des ordonnées avec 𝑂𝐵 son unité de longueur. Pour identifier le type de ce repère, nous devons vérifier deux choses : tout d’abord
si les droites 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont perpendiculaires et ensuite, si la longueur de 𝑂𝐴
est égale à la longueur de 𝑂𝐵.
On remarque sur la figure que les segments 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont tous les deux des
diagonales d’un carré de la grille. Et on sait qu’une diagonale d’un carré est un axe de symétrie du carré. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐼 est égale à la mesure de l’angle
𝐴𝑂𝐽. Et qu’elles sont toutes les deux de 45 degrés. De la même manière, la mesure de l’angle 𝐵𝑂𝐽 est égale à 45 degrés. Et puisque 45 plus 45 est égal à 90, la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵 est de 90
degrés. Nous pouvons donc conclure que les droites 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont perpendiculaires.
On remarque également sur la figure que comme les diagonales d’un carré sont de même
longueur et que les segments OA et 𝑂𝐵 sont des diagonales de deux carrés
superposables, on a 𝑂𝐴 égale 𝑂𝐵. La réponse à nos deux questions étant oui, nous pouvons conclure que le repère 𝑂 ;
𝐴, 𝐵 est un repère orthonormé car ses axes sont perpendiculaires et ont la même
unité de longueur.
La deuxième partie de cette question nous demande de trouver les coordonnées du point
𝐶 dans ce repère. Notez que ce ne seront pas les mêmes coordonnées que moins un, trois car celles-ci
correspondent aux coordonnées du point 𝐶 dans le repère 𝑂 ; 𝐼, 𝐽. On peut déterminer ses nouvelles coordonnées en commençant par tracer deux segments
parallèles aux axes des abscisses et des ordonnées passant par le point 𝐶. D’après la définition du repère 𝐴 ; 𝑂, 𝐵, la longueur du segment 𝑂𝐴 est d’une
unité sur l’axe des abscisses. Les coordonnées du point 𝐴 sont donc un, zéro. De la même manière, le segment 𝑂𝐵 mesure une unité sur l’axe des ordonnées. Donc 𝐵 a pour coordonnées zéro, un.
Puisque le segment parallèle à l’axe des ordonnées passant par 𝐶 coupe l’axe des
abscisses en 𝐴, on a donc une abscisse qui vaut un. Le segment parallèle à l’axe des abscisses passant par 𝐶 coupe l’axe des ordonnées
en un point qui est à une distance de l’origine correspondant à deux fois la
longueur 𝑂𝐵. Puisque ce point est situé du côté positif de l’axe des ordonnées, c’est-à-dire du
même côté que 𝐵, cela correspond à une ordonnée qui vaut deux. Les coordonnées du point 𝐶 dans le repère 𝑂 ; 𝐴, 𝐵 sont donc un, deux.
