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Vidéo de la leçon : Repères du plan Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir les différents types de repères et les coordonnées d'un point et comment placer les points sur le repère.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir les différents types de repères et les coordonnées d'un point et comment placer les points sur le repère. On utilise les repères en particulier pour indiquer la position d’un objet en utilisant ses coordonnées dans le repère. Sur Terre, on utilise couramment le système de coordonnées géographiques basé sur la latitude et la longitude. Et en géométrie, le repère le plus utilisé est le repère orthonormé. Celui dans lequel les axes sont perpendiculaires et les graduations à distance égale. Dans cette vidéo, nous allons examiner des repères de ce type, ainsi que d’autres repères.

Commençons par donner une définition générale d’un repère. Un repère est formé par trois points non alignés 𝑂, 𝐼, 𝐽, où 𝑂 est l’origine, la droite 𝑂𝐼 est l’axe des abscisses avec le sens positif dans la direction de 𝑂𝐼, et la droite 𝑂𝐽 est l’axe des ordonnées avec le sens positif dans la direction de 𝑂𝐽. La longueur du segment 𝑂𝐼 correspond à l’unité de longueur de l’axe des abscisses. Et la longueur du segment 𝑂𝐽 correspond à l’unité de longueur de l’axe des ordonnées. Et à partir de cette définition, on voit que le repère orthonormé est un repère particulier dont l’axe des abscisses, 𝑂𝐼, est perpendiculaire à l’axe des ordonnées, 𝑂𝐽, et où les unités de longueurs 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont égales.

Maintenant, revenons au cas général, considérons trois points non alignés 𝑂, 𝐼 et 𝐽 positionnés comme indiqué. Si on veut les utiliser pour former un repère, on trace les droites 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 pour former respectivement les axes des abscisses et ordonnées, et on crée une grille avec des droites parallèles aux deux axes et espacées par des unités de longueur 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽. Le repère indiqué est un repère quelconque. Et il se caractérise par le fait que les axes ne sont pas perpendiculaires et que la grille forme des parallélogrammes. Un autre type de repère est le repère orthogonal. Dans ce cas, les axes 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽, soit les axes des abscisses et ordonnées, sont perpendiculaires, bien que les unités de longueur 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 peuvent ne pas être égales. Et cette grille forme des rectangles. Et enfin, un repère orthonormé est un repère dans lequel les axes 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont perpendiculaires et les unités de longueur 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont égales et la grille forme des carrés.

Il convient de noter également qu’on représente généralement les repères avec un axe des abscisses horizontal pour plus de commodité. Alors maintenant, voyons un exemple de comment utiliser les définitions pour identifier différents types de repères.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle avec un angle droit à 𝐵. Les points 𝐷, 𝐸 et 𝐹 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Cette question comporte trois parties. La première partie nous demande : lequel des repères est un repère orthonormé ? La deuxième partie nous demande : lequel des repères suivants est un repère orthogonal mais pas orthonormé ? Et la troisième partie nous demande : lequel des repères suivants est un repère quelconque ?

Considérons la première partie. Lequel des repères suivants est un repère orthonormé ? Est-ce l’option (A) 𝐴, 𝐸, 𝐷 ? Option (B) 𝐵, 𝐶, 𝐸. Option (C) le repère 𝐵, 𝐹, 𝐸. Option (D) 𝐴, 𝐵, 𝐶. Ou option (E) le repère 𝐶, 𝐴, 𝐵.

Pour répondre à cela, rappelons que lorsqu’on définit un repère 𝑂, 𝐼, 𝐽, le premier point donné est l’origine du repère. La droite allant de l’origine au deuxième point, c’est-à-dire la droite 𝑂𝐼 forme l’axe des abscisses et la droite allant de l’origine au troisième point, c’est-à-dire la droite 𝑂𝐽 forme l’axe des ordonnées. Dans la première partie, nous cherchons un repère orthonormé, celui où les deux axes sont perpendiculaires et la longueur de l’origine aux points 𝐼 et 𝐽. Autrement dit, les unités de longueur sont égales. Commençons donc par passer en revue chacune des options données pour voir laquelle remplit le critère de perpendicularité.

Dans l’option (A), l’origine est le point 𝐴. Les axes sont les droites 𝐴𝐸 et 𝐴𝐷. Mais puisque le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, alors l’angle 𝐷𝐴𝐵 ne peut pas être un angle droit. Il doit être inférieure à 90 degrés, et nos axes ne peuvent donc pas être perpendiculaires. Nous pouvons donc éliminer l’option (A). Dans l’option (B), 𝐵 est l’origine et les axes sont 𝐵𝐶 et 𝐵𝐸. Et puisque le triangle est rectangle en 𝐵, alors les deux axes 𝐵𝐶 et 𝐵𝐸 sont en effet perpendiculaires. Donc, l’option (B) remplit le premier critère, à savoir le critère de perpendicularité. Puisque notre triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle, cependant, les unités de longueur 𝐵𝐶 et 𝐵𝐸 ne sont pas égales. Les longueurs des côtés 𝐵𝐴 et 𝐵𝐶 sont égales. Cependant, 𝐵𝐸 n’est que la moitié de la longueur de 𝐵𝐴. Et c’est la moitié de la longueur de 𝐵𝐶. Et puisque les unités de longueur ne sont pas égales, nous pouvons éliminer l’option (B).

Maintenant, lorsqu’on considère l’option (C), encore une fois, on a 𝐵 comme origine. Les axes dans ce cas sont 𝐵𝐹 et 𝐵𝐸. Et puisque 𝐵 est l’origine, les axes sont perpendiculaires. Et donc notre premier critère est rempli. Maintenant, puisque 𝐹 et 𝐸 sont respectivement les milieux de 𝐵𝐶 et 𝐵𝐴, et que le triangle est isocèle, nous savons que les longueurs des côtés 𝐵𝐴 et 𝐵𝐶 sont égales. On a 𝐵𝐸 est égal à un sur deux 𝐵𝐴. 𝐵𝐹 est la moitié de 𝐵𝐶, et ceux-ci sont égaux. Et donc l’option (C), remplit également le deuxième critère. Les unités de longueur sont égales. Donc, le repère défini dans l’option (C) est un repère orthonormé.

Si nous analysons les options restantes, c’est-à-dire (D) et (E), dans l’option (D), l’origine est au point 𝐴. Donc, comme avec l’option (A), nous pouvons l’éliminer, puisque l’angle en 𝐴 n’est pas un angle droit et donc les axes ne sont pas perpendiculaires. Autrement dit, les axes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ne sont pas perpendiculaires. Et enfin, dans l’option (E), on a 𝐶 comme origine. Les axes sont 𝐶𝐴 et 𝐶𝐵. Et donc l’angle entre eux ne peut pas être 90 degrés. Les axes ne sont pas perpendiculaires. Par conséquent, nous pouvons éliminer l’option (E). Et par conséquent, la réponse à la première partie de la question, lequel des repères est orthonormé ?, est l’option (C). C’est le repère 𝐵, 𝐹, 𝐸.

Passons maintenant à la deuxième partie, lequel des repères suivants est un repère orthogonal mais pas orthonormé ? Option (A) le repère 𝐵, 𝐹, 𝐸. Option (B) le repère 𝐵, 𝐶, 𝐴. Option (C) le repère 𝐷, 𝐵, 𝐶. Option (D) le repère 𝐴, 𝐵, 𝐶. Ou option (E) le repère 𝐵, 𝐹, 𝐴.

Maintenant, dans un repère orthogonal, les axes sont perpendiculaires. Mais puisque le repère que nous recherchons n’est pas orthonormé, les unités de longueur ne seront pas égales. Voyons donc nos cinq options. Les options (A), (B) et (E) ont comme origine 𝐵. L’option (A) a les axes 𝐵𝐹 et 𝐵𝐸. Et ceux-ci sont en effet perpendiculaires, donc, ça remplit le premier critère. L’option (B) a les axes 𝐵𝐶 et 𝐵𝐴. Et ceux-ci sont perpendiculaires, donc l’option (B) remplit le premier critère. Et l’option (E) a les axes 𝐵𝐹 et 𝐵𝐴. Ceux-ci sont aussi perpendiculaires, donc l’option (E) remplit également le premier critère de perpendicularité.

Maintenant, l’option (C) a pour origine 𝐷. Et puisque le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle, le point 𝐷 est la médiatrice de 𝐴𝐶. Et cela signifie que les axes 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶 sont en effet perpendiculaires. Donc, les axes de l’option (C) sont perpendiculaires. Maintenant, lorsqu’on considère l’option (𝐷), on voit que l’origine est le point 𝐴. Avec les axes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, nous savons que l’angle entre eux ne peut pas être de 90 degrés. Et donc dans ce cas, nous pouvons éliminer l’option (D).

Nous avons donc toujours les options (A), (B), (C) et (E) à considérer. Nous savons que nous ne voulons pas que les unités de longueur soient égales pour que notre repère ne soit pas un repère orthonormé. Considérons donc ces quatre options restantes. Dans l’option (A), les unités de longueurs sont 𝐵𝐹 et 𝐵𝐸. Maintenant, 𝐵𝐹 est le milieu de 𝐵𝐶, donc 𝐵𝐹 est la moitié de 𝐵𝐶. Et 𝐵𝐸 est le milieu de 𝐵𝐴, donc 𝐵𝐸 est la moitié de 𝐵𝐴. Mais puisque notre triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle, 𝐵𝐴 est égal à 𝐵𝐶. Donc, un sur deux 𝐵𝐶 est égal à un sur deux 𝐵𝐴. Et cela signifie que 𝐵𝐹 est en effet égal à 𝐵𝐸. Cela signifie que les unités de longueur de l’option (A) sont égales. Nous pouvons donc éliminer l’option (A). En fait, avec le même raisonnement, nous pouvons éliminer l’option (B). Puisque les côtés 𝐵𝐴 et 𝐵𝐶 sont les côtés égaux d’un triangle isocèle, l’option (B) ne remplit pas le deuxième critère. Et nous pouvons éliminer l’option (B).

Ensuite, lorsqu’on examine l’option (C), les unités de longueur sont 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶. Et si nous considérons nos triangles, le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle, donc l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égal à l’angle 𝐵𝐶𝐴, qui est égal à 45 degrés. Et puisque le segment 𝐷𝐵 divise l’angle 𝐴𝐵𝐶, qui est de 90 degrés, on a l’angle 𝐶𝐵𝐷 qui est de 90 en deux, soit 45 degrés. Alors maintenant, examinons le triangle 𝐵𝐶𝐷. C’est aussi un triangle isocèle. Et donc les longueurs des côtés 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶 sont en fait égales. Cela signifie que les unités de longueur de l’option (C) sont égales. Par conséquent, nous pouvons éliminer l’option (C), car l’option (C) représente un repère orthonormé.

Enfin, lorsqu’on considère l’option (E), on a 𝐵 comme origine et les axes 𝐵𝐹 et 𝐵𝐴. Et nous savons déjà que 𝐵𝐹 est en fait la moitié de 𝐵𝐴, puisque 𝐵𝐴 est égal à 𝐵𝐶 et 𝐹 est le milieu de 𝐵𝐶. Donc, pour l’option (E), les unités de longueur ne sont pas égales et le repère représenté par (E) n’est pas orthonormé, mais il est orthogonal. Donc, la réponse à la deuxième partie est l’option (E), le repère 𝐵, 𝐹, 𝐴.

Alors maintenant, passons à la troisième partie. On nous demande, lequel des repères suivants est un repère quelconque ? Option (A) le repère 𝐷, 𝐵, 𝐶. Option (B) le repère 𝐵, 𝐶, 𝐷. Option (C) le repère 𝐵, 𝐶, 𝐴. Option (D) le repère 𝐷, 𝐵, 𝐴. Ou option (E) le repère 𝐸, 𝐵, 𝐷.

Nous cherchons donc un repère quelconque qui est un repère dont les axes ne sont pas perpendiculaires. Nous voyons que l’option (A) a son origine au point 𝐷. Ses axes sont 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶. Et nous avons déjà vu que ceux-ci sont en fait perpendiculaires. Nous pouvons donc éliminer l’option (A). Pour l’option (B) en revanche, l’origine est à 𝐵 et les axes sont 𝐵𝐶 et 𝐵𝐷. Et nous avons déjà vu que l’angle entre ces deux n’est pas de 90 degrés. Par conséquent, les axes de l’option (B) ne sont pas perpendiculaires. Donc (B) représente un repère quelconque.

L’option (C) a son origine à 𝐵 avec les axes 𝐵𝐶 et 𝐵𝐴. Et ceux-ci sont perpendiculaires, nous pouvons donc éliminer l’option (C). L’option (D) a son origine à 𝐷 et ses axes 𝐷𝐵 et 𝐷𝐴, qui sont perpendiculaires. Nous pouvons donc éliminer l’option (D). Et enfin, l’option (E) a son origine au point 𝐸 et ses axes sont 𝐸𝐵 et 𝐸𝐷. Et puisque ces axes sont perpendiculaires, nous pouvons éliminer l’option (E). Et parmi nos options, seul le repère (B) est un repère quelconque.

La réponse à la première partie est l’option (C), le repère 𝐵, 𝐹, 𝐸. La réponse à la deuxième partie est l’option (E), le repère 𝐵, 𝐹, 𝐴. Et la réponse à la troisième partie est l’option (B), le repère 𝐵, 𝐶, 𝐷.

Alors, maintenant que nous avons défini nos trois types de repères, voyons maintenant comment définir les coordonnées dans un repère. Étant donné un repère 𝑂, 𝐼, 𝐽, la position d’un point 𝑀 dans le repère est décrite par ses coordonnées. Celles-ci sont notés 𝑥 𝑀 et 𝑦 𝑀. Et 𝑥 𝑀, qui est l’abscisse du point, est le nombre réel sur l’axe des abscisses du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par 𝑀. Et 𝑦 𝑀, qui est l’ordonnée du point, est le nombre réel sur l’axe des ordonnées du point d’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par 𝑀.

Donc, si on considère, par exemple, un repère quelconque, le point 𝑀 a pour coordonnées 𝑥 𝑀 et 𝑦 𝑀. Et on note par définition dans le repère 𝑂, 𝐼, 𝐽, le point 𝐼 a pour coordonnées un, zéro et le point 𝐽 a pour coordonnées zéro, un. Considérons un dernier exemple dans un repère orthonormé.

𝐴 et 𝐵 sont deux points dans un repère orthonormé avec un axe des abscisses horizontal orienté positivement vers la droite et un axe des ordonnées vertical orienté positivement vers le haut. Les unités de longueur des axes sont données par le quadrillage. Si les coordonnées de 𝐴 sont un, deux, quelles sont les coordonnées de 𝐵 ?

Les points 𝐴 et 𝐵 sont dans un repère orthonormé. C’est-à-dire un repère dont les unités de longueur sont données par le quadrillage. Maintenant, rappelons que, un repère orthonormé est le repère 𝑂, 𝐼, 𝐽 dont les axes 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont perpendiculaires, c’est-à-dire les axes des abscisses et ordonnées, et dont les unités de longueur 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont égales. Pour trouver les coordonnées du point 𝐵, il faut d’abord déterminer la position de l’origine du repère. On peut le faire en utilisant le point donné, 𝐴. Nous savons que les coordonnées de 𝐴 sont un, deux. Et cela signifie que 𝐴 se trouve une unité à droite de l’origine et deux unités au dessus de l’origine. Et donc en procédant à l’envers, l’origine est une unité à gauche de 𝐴 et deux unités vers le bas à partir de 𝐴.

Alors maintenant, si on trouve la position de 𝐵 par rapport à cette origine, on voit que le point 𝐵 est une unité de longueur à gauche de l’origine 𝑂, c’est-à-dire moins une unité, et est sur l’horizontale ou l’axe des abscisses, ce qui signifie qu’on a zéro unité dans la direction de l’axe des ordonnées. Les coordonnées de 𝐵 sont donc moins un, zéro.

Nous avons vu comment définir un repère quelconque, orthogonal ou orthonormé et comment définir un point dans un tel repère. Terminons cette vidéo en récapitulant certains des points clés abordés.

Un repère est formé par trois points non alignés 𝑂, 𝐼, 𝐽, où 𝑂 est l’origine, la droite 𝑂𝐼 est l’axe des abscisses avec un sens positif dans la direction de 𝑂𝐼, et 𝑂𝐽 est l’axe des ordonnées avec un sens positif dans la direction de 𝑂𝐽. Les longueurs des segments 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont respectivement les unités de longueurs des axes des abscisses et ordonnées. Il existe trois principaux types de repères. Le repère quelconque, où les axes ne sont pas perpendiculaires, orthogonal, où les axes sont perpendiculaires mais les unités de longueurs ne sont pas nécessairement égales, et orthonormé, où les axes sont perpendiculaires et les unités de longueur sont égales.

Le repère orthonormé est le repère standard utilisé en mathématiques. La position d’un point 𝑀 dans un repère 𝑂, 𝐼, 𝐽 est définie par ses coordonnées 𝑥 𝑀, 𝑦 𝑀, où 𝑥 𝑀, qui est l’abscisse du point, est le nombre réel sur l’axe des abscisses du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par 𝑀. Et 𝑦 𝑀, qui est l’ordonnée du point, est le nombre réel sur l’axe des ordonnées du point d’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par 𝑀.

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