Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment définir les différents types de repères et les coordonnées d'un point et comment placer les points sur le repère.
Les repères du plan sont particulièrement utiles pour localiser des objets en utilisant leurs coordonnées. Sur Terre, nous utilisons couramment le système de coordonnées géographiques (GCS, Geographic Coordinate System) basé sur la latitude et la longitude. En géométrie, on utilise généralement un repère où les axes sont perpendiculaires et les graduations à distance égale. Dans cette fiche explicative, nous examinerons plus en détail ce repère couramment utilisé, ainsi que d’autres repères du plan.
Définissons d’abord un repère de façon générale.
Définition : Repère du plan
Un plan cartésien est formé par n’importe quels trois points non colinéaires , où est l’origine , est avec sa direction positive dans le sens de , et la droite est l’axe des avec sa direction positive dans le sens de . La longueur du segment correspond à l’unité de longueur de , et celle de correspond à l’unité de longueur de .
D’après cette définition, nous voyons que le repère orthonormé est un repère du plan particulier car nous avons et .
Prenons trois points non colinéaires , et , qui sont positionnés dans l’espace comme indiqué.
Si nous voulons les utiliser pour former le repère du plan , il faut tracer les droites et pour former les axes des abscisses et et créer un repère avec des droites parallèles aux deux axes et espacées par des unités de longueurs définies par et .
On peut observer que ce repère n’est pas orthonormé car et ne sont pas perpendiculaires. On appelle ce type de repère un repère quelconque.
Un repère orthogonal est un repère pour lequel et sont perpendiculaires.
Par conséquent, nous avons trois types différents de repères que nous allons décrire maintenant.
Définition : Types de repères du plan (𝑂 ; 𝐼, 𝐽)
Dans un repère quelconque, et ne sont pas perpendiculaires.
Dans un repère orthogonal, .
Dans un repère orthonormé, et .
Il convient de noter que, par souci de simplicité, nous représentons généralement des repères du plan avec horizontal chaque fois que cela est possible, car cela facilite l’interprétation visuelle.
Dans notre premier exemple, nous allons utiliser ces définitions pour identifier différents types de repères du plan.
Exemple 1: Identifier les repères orthonormés, orthogonaux et quelconques
est un triangle isocèle avec un angle droit en . Les points , et sont les milieux respectifs des segments , et .
- Lequel des repères suivants est un repère orthonormé ?
- Lequel des repères suivants est un repère orthogonal mais pas orthonormé ?
- Lequel des repères suivants est un repère quelconque ?
Réponse
Partie 1
Rappelons que le premier point donné pour le repère du plan est son origine. La droite allant de l’origine au deuxième point forme , et la droite allant de l’origine au troisième point forme .
Dans un repère orthonormé, les deux axes sont perpendiculaires et les unités de longueur, définies comme les distances entre l’origine et les deuxième et troisième points, respectivement, sont égales.
Passons en revue toutes les options et évaluons si le premier critère (les axes sont perpendiculaires) est rempli.
L’option A est . Le triangle est rectangle en , ce qui signifie que n’est pas un angle droit. Les droites et ne sont donc pas perpendiculaires.
L’option B est . Comme est un angle droit, les droites et sont perpendiculaires.
L’option C est . Comme est un angle droit, les droites et sont perpendiculaires.
L’option D est . Le triangle est rectangle en , ce qui signifie que n’est pas un angle droit. Les droites et ne sont donc pas perpendiculaires.
L’option E est . Le triangle est rectangle en , ce qui signifie que n’est pas un angle droit. Les droites et ne sont donc pas perpendiculaires.
Ainsi, ce n’est que dans les options B et C que l’axe des abscisses et l’axe sont perpendiculaires. Nous devons maintenant évaluer pour chacun d’eux si le deuxième critère est rempli (les unités de longueurs des deux axes sont égales). Pour l’option B, cela signifie que , et pour l’option C, cela signifie que .
Comme le triangle est isocèle et a un angle droit en , nous avons . Le point est le milieu de , et est celui de , alors . Par conséquent, est le seul repère orthonormé. C’est l’option C.
Partie 2
Rappelons que, dans un repère orthogonal, les deux axes sont perpendiculaires. On nous a également dit que les repères ne sont pas orthonormés, ce qui signifie que les longueurs entre l’origine et les deuxième et troisième points, respectivement, ne sont pas égales.
Comme dans la partie 1, passons en revue les options et éliminons d’abord les repères dont les axes ne sont pas perpendiculaires.
L’option A est . Comme est un angle droit, les droites et sont perpendiculaires.
L’option B est . Comme est un angle droit, les droites et sont perpendiculaires.
L’option C est . On trouve que est une médiane du triangle isocèle avec ; elle est donc aussi la médiatrice de . Par conséquent, les droites et sont perpendiculaires.
L’option D est . Le triangle est rectangle en , ce qui signifie que n’est pas un angle droit. Les droites et ne sont donc pas perpendiculaires.
L’option E est . Comme est un angle droit, les droites et sont perpendiculaires.
Seule l’option D est éliminée car ses axes ne sont pas perpendiculaires, il ne peut donc pas s’agir d’un repère orthogonal.
Comparons maintenant les unités de longueurs des deux axes.
L’option A est . Comme nous l’avons montré dans la partie 1, nous avons .
L’option B est . Comme nous l’avons montré dans la partie 1, nous avons .
L’option C est . Le triangle est isocèle, donc . En outre, est aussi la bissectrice de . Par conséquent, . Ainsi, le triangle est isocèle et .
L’option E est . Nous avons et , alors .
Le repère est donc un repère orthogonal. C’est l’option E.
Partie 3
Nous devons identifier lequel des repères est quelconque, c’est-à-dire celui qui a des axes non perpendiculaires.
En examinant toutes les options, on voit que seulement est un repère quelconque comme les droites et ne sont pas perpendiculaires. C’est l’option B.
Maintenant que nous avons défini ces trois types de repères, définissons les coordonnées d’un point dans un repère .
Définition : Coordonnées
Étant donné un repère du plan , la position d’un point quelconque dans le plan est décrite par ses coordonnées, notées .
On note l’abscisse du point, qui est le nombre réel sur du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la droite parallèle à passant par .
On note l’ordonnée du point, qui est le nombre réel sur du point d’intersection de l’axe des ordonnée avec la droite parallèle à passant par .
En utilisant cette définition, nous pouvons déterminer les coordonnées d’un point dans un repère quelconque comme indiqué sur la figure suivante.
Il convient de noter que, par définition, les coordonnées de dans le repère sont , et celles de sont .
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser notre compréhension des coordonnées dans un repère orthonormé.
Exemple 2: Déterminer les coordonnées d’un point à partir des coordonnées d’un autre point dans un repère du plan
et sont deux points dans un repère orthonormé avec horizontal orienté positivement vers la droite et vertical orienté positivement vers le haut. Les unités de longueur des axes sont données par le quadrillage. Si les coordonnées de sont , quelles sont les coordonnées de ?
Réponse
Nous savons que les points et sont dans un repère orthonormé dont les unités de longueur sont données par le quadrillage. Afin de déterminer les coordonnées du point , on va d’abord déterminer la position de l’origine du repère, , en utilisant les coordonnées de , . Ces coordonnées signifient que ce point est situé à une unité de longueur à droite de l’origine et à 2 unités vers le haut par rapport à l’origine. En d’autres termes, l’origine du repère est située à une unité à gauche de et 2 unités en dessous de .
Nous pouvons maintenant tracer les axes du repère et lire les coordonnées du point .
Le point est situé à une unité de longueur à gauche de l’origine et sur . Ainsi, ses coordonnées sont .
Dans l’exemple précédent, nous avons considéré des points dans un repère orthonormé. Dans l’exemple suivant, nous examinerons les différences entre les trois types de repères.
Exemple 3: Déterminer la nature d’un quadrilatère dans des différents types de repère
On considère les points , , et placés dans un repère.
- Si le repère est quelconque, quelle est la nature du quadrilatère ?
- un trapèze
- un cerf-volant
- un carré
- un rectangle
- un parallélogramme
- Si le repère est orthogonal, quelle est la nature du quadrilatère ?
- un trapèze
- un cerf-volant
- un carré
- un rectangle
- Si le repère est orthonormé, quelle est la nature du quadrilatère ?
- un trapèze
- un cerf-volant
- un carré
Réponse
Partie 1
Traçons un repère quelconque et plaçons les points , , et .
Puisque et d’une part et et d’une autre part ont la même abscisse, , nous avons . De même, et d’une part et et d’une autre part ont la même ordonnée, , donc . Ainsi, on peut conclure que est un parallélogramme (option E).
Partie 2
On continue comme ci-dessus et traçons un repère orthogonal et plaçons les points , , et .
Pour les mêmes raisons que dans le repère quelconque, est un parallélogramme. Cependant, il s’agit d’un parallélogramme particulier car l’axe des abscisses et l’axe sont perpendiculaires. Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle. Par conséquent, est un rectangle (option D).
Partie 3
Enfin, pour le repère orthonormé, nous savons maintenant que . Le quadrilatère est donc un rectangle particulier où tous les côtés sont égaux ; c’est un carré (option C).
Pratiquons avec l’exemple suivant la lecture de coordonnées dans un repère quelconque, sachant que la grille dans un repère quelconque est formée des parallélogrammes.
Exemple 4: Déterminer les coordonnées d’un point dans plusieurs configurations pour un repère du plan
est un parallélogramme, et les points , , et sont les milieux respectifs des segments , , et .
Déterminez les coordonnées du point dans chacune des configurations de repère suivantes.
- le repère
- le repère
- le repère
- le repère
Réponse
Avant de commencer, notons que comme est un parallélogramme et les points , , et sont les milieux des segments , , et , nous avons et .
Partie 1
Dans le repère , est l’origine, est avec comme unité de longueur et est avec comme unité de longueur. Ainsi, les coordonnées de sont et celles de sont .
Pour trouver l’abscisse, , du point , on cherche la droite parallèle à , , passant par ; c’est la droite . Elle coupe , , en , correspondant à une abscisse, , de 1.
Pour trouver l’ordonnée, , du point , on cherche la droite parallèle à , , passant par ; c’est la droite . Elle coupe , , en , correspondant à une ordonnée, , de 1. Les coordonnées de dans le repère sont .
Partie 2
Dans le repère , est l’origine. Ses coordonnées sont donc .
Partie 3
Dans le repère , est l’origine, est avec comme unité de longueur, et est avec comme unité de longueur. Ainsi, les coordonnées de sont et celles de sont .
La droite parallèle à , , passant par est . Elle coupe , , en , donnant une abscisse, , de 1.
La droite parallèle à , , passant par est . Elle coupe , , en , donnant une ordonnée, , de 1.
Ainsi, les coordonnées de dans le repère sont .
Partie 4
Dans le repère , est l’origine, est avec comme unité de longueur, et est avec comme unité de longueur. Ainsi, les coordonnées de sont et celles de sont .
La droite parallèle à , , passant par est . Elle coupe , , en . Le point étant le milieu de , nous avons , qui correspond à une abscisse, , de 2.
La droite parallèle à , , passant par est . Elle coupe , , en . Puisque est le milieu de , nous avons , qui correspond à une ordonnée, , de 2.
Ainsi, les coordonnées de dans le repère sont .
Dans notre dernier exemple, nous devrons déterminer les coordonnées d’un point donné dans un repère défini.
Exemple 5: Déterminer le type d’un repère donné et les coordonnées d’un point dans un repère différent
On considère les points , et dans le repère orthonormé .
- Quel est le type du repère ?
- Quelles sont les coordonnées du point dans le repère ?
Réponse
Partie 1
Dans le repère , est l’origine, est avec comme unité de longueur, et est avec comme unité de longueur. Pour identifier le type de ce repère, nous devons déterminer
- si et sont perpendiculaires ;
- si .
Notons que et sont tous deux des diagonales d’un carré du quadrillage. On sait que la diagonale d’un carré forme un axe de symétrie du carré, ce qui signifie que et . Ainsi, comme , on trouve que .
En outre, comme les diagonales d’un carré ont la même longueur et et sont des diagonales de deux carrés superposables, nous avons . Ainsi, on peut conclure que est un repère orthonormé car ses axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur.
Partie 2
Pour déterminer les coordonnées de dans le repère , nous devons tracer les deux droites parallèles à l’axe des abscisses et l’axe passant par .
La droite parallèle à passant par coupe en , donnant une abscisse, , de 1.
La droite parallèle à passant par coupe en un point qui est à une distance de l’origine de deux fois la longueur (le segment allant de l’origine à ce point d’intersection est le double de la diagonale d’un carré du quadrillage) et du côté positif de , du même côté que . Ainsi, cela correspond à une ordonnée, , de 2.
Ainsi, les coordonnées de dans le repère sont .
Terminons par récapituler quelques points clés de la fiche explicative.
Points clés
- Un plan cartésien est formé par n’importe quels trois points non colinéaires , où est l’origine , est avec sa direction positive dans la direction de , et la ligne est le avec sa direction positive dans le sens de . La longueur du segment est l’unité de longueur de , et celle de est l’unité de longueur de .
- Le repère standard que nous utilisons en mathématiques est appelé repère orthonormé, mais il existe trois types principaux de repères du plan : quelconque, où et ne sont pas perpendiculaires, orthogonal, où et sont perpendiculaires et orthonormé, qui est un repère orthogonal avec la condition supplémentaire que .
- Étant donné un repère , la position d’un point quelconque dans le plan est décrite par ses coordonnées, notées . On note l’abscisse du point, qui est le nombre réel sur du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la droite parallèle à passant par . On note l’ordonnée du point, qui est le nombre réel sur du point d’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite parallèle à passant par .
