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Fiche explicative de la leçon : Repères du plan Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment définir les différents types de repères et les coordonnées d'un point et comment placer les points sur le repère.

Les repères du plan sont particulièrement utiles pour localiser des objets en utilisant leurs coordonnées. Sur Terre, nous utilisons couramment le système de coordonnées géographiques (GCS, Geographic Coordinate System) basé sur la latitude et la longitude. En géométrie, on utilise généralement un repère où les axes sont perpendiculaires et les graduations à distance égale. Dans cette fiche explicative, nous examinerons plus en détail ce repère couramment utilisé, ainsi que d’autres repères du plan.

Définissons d’abord un repère de façon générale.

Définition : Repère du plan

Un plan cartésien est formé par n’importe quels trois points non colinéaires (𝑂;𝐼;𝐽), 𝑂 est l’origine origine, droite𝑂𝐼 est laxedesabscisses avec sa direction positive dans le sens de 𝑂𝐼, et la droite 𝑂𝐽 est l’axe des laxedesordonnées avec sa direction positive dans le sens de 𝑂𝐽. La longueur du segment 𝑂𝐼 correspond à l’unité de longueur de laxedesabscisses, et celle de 𝑂𝐽 correspond à l’unité de longueur de laxedesordonnées.

D’après cette définition, nous voyons que le repère orthonormé est un repère du plan particulier car nous avons 𝑂𝐼𝑂𝐽 et 𝑂𝐼=𝑂𝐽.

Prenons trois points non colinéaires 𝑂, 𝐼 et 𝐽, qui sont positionnés dans l’espace comme indiqué.

Si nous voulons les utiliser pour former le repère du plan (𝑂;𝐼;𝐽), il faut tracer les droites 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 pour former les axes des abscisses 𝑥 et desordonnées𝑦 et créer un repère avec des droites parallèles aux deux axes et espacées par des unités de longueurs définies par 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽.

On peut observer que ce repère n’est pas orthonormé car 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 ne sont pas perpendiculaires. On appelle ce type de repère un repère quelconque.

Un repère orthogonal est un repère pour lequel 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont perpendiculaires.

Par conséquent, nous avons trois types différents de repères que nous allons décrire maintenant.

Définition : Types de repères du plan (𝑂 ; 𝐼, 𝐽)

Dans un repère quelconque, 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 ne sont pas perpendiculaires.

Dans un repère orthogonal, 𝑂𝐼𝑂𝐽.

Dans un repère orthonormé, 𝑂𝐼𝑂𝐽 et 𝑂𝐼=𝑂𝐽.

Il convient de noter que, par souci de simplicité, nous représentons généralement des repères du plan avec laxedesabscisses horizontal chaque fois que cela est possible, car cela facilite l’interprétation visuelle.

Dans notre premier exemple, nous allons utiliser ces définitions pour identifier différents types de repères du plan.

Exemple 1: Identifier les repères orthonormés, orthogonaux et quelconques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle avec un angle droit en 𝐵. Les points 𝐷, 𝐸 et 𝐹 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶.

  1. Lequel des repères suivants est un repère orthonormé?
    1. (𝐴;𝐸;𝐷)
    2. (𝐵;𝐶;𝐸)
    3. (𝐵;𝐹;𝐸)
    4. (𝐴;𝐵;𝐶)
    5. (𝐶;𝐴;𝐵)
  2. Lequel des repères suivants est un repère orthogonal mais pas orthonormé?
    1. (𝐵;𝐹;𝐸)
    2. (𝐵;𝐶;𝐴)
    3. (𝐷;𝐵;𝐶)
    4. (𝐴;𝐵;𝐶)
    5. (𝐵;𝐹;𝐴)
  3. Lequel des repères suivants est un repère quelconque?
    1. (𝐷;𝐵;𝐶)
    2. (𝐵;𝐶;𝐷)
    3. (𝐵;𝐶;𝐴)
    4. (𝐷;𝐵;𝐴)
    5. (𝐸;𝐵;𝐷)

Réponse

Partie 1

Rappelons que le premier point donné pour le repère du plan est son origine. La droite allant de l’origine au deuxième point forme laxedesabscisses, et la droite allant de l’origine au troisième point forme laxedesordonnées.

Dans un repère orthonormé, les deux axes sont perpendiculaires et les unités de longueur, définies comme les distances entre l’origine et les deuxième et troisième points, respectivement, sont égales.

Passons en revue toutes les options et évaluons si le premier critère (les axes sont perpendiculaires) est rempli.

L’option A est (𝐴;𝐸;𝐷). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, ce qui signifie que 𝐵𝐴𝐶 n’est pas un angle droit. Les droites 𝐴𝐸 et 𝐴𝐷 ne sont donc pas perpendiculaires.

L’option B est (𝐵;𝐶;𝐸). Comme 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit, les droites 𝐵𝐶 et 𝐵𝐸 sont perpendiculaires.

L’option C est (𝐵;𝐹;𝐸). Comme 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit, les droites 𝐵𝐹 et 𝐵𝐸 sont perpendiculaires.

L’option D est (𝐴;𝐵;𝐶). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, ce qui signifie que 𝐵𝐴𝐶 n’est pas un angle droit. Les droites 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ne sont donc pas perpendiculaires.

L’option E est (𝐶;𝐴;𝐵). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, ce qui signifie que 𝐵𝐶𝐴 n’est pas un angle droit. Les droites 𝐶𝐵 et 𝐶𝐴 ne sont donc pas perpendiculaires.

Ainsi, ce n’est que dans les options B et C que l’axe des abscisses 𝑥 et l’axe desordonnées𝑦 sont perpendiculaires. Nous devons maintenant évaluer pour chacun d’eux si le deuxième critère est rempli (les unités de longueurs des deux axes sont égales). Pour l’option B, cela signifie que 𝐵𝐶=𝐵𝐸, et pour l’option C, cela signifie que 𝐵𝐹=𝐵𝐸.

Comme le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle et a un angle droit en 𝐵, nous avons 𝐵𝐶=𝐵𝐴. Le point 𝐸 est le milieu de 𝐴𝐵, et 𝐹 est celui de 𝐵𝐶, alors 𝐵𝐹=𝐵𝐸. Par conséquent, (𝐵;𝐹;𝐸) est le seul repère orthonormé. C’est l’option C.

Partie 2

Rappelons que, dans un repère orthogonal, les deux axes sont perpendiculaires. On nous a également dit que les repères ne sont pas orthonormés, ce qui signifie que les longueurs entre l’origine et les deuxième et troisième points, respectivement, ne sont pas égales.

Comme dans la partie 1, passons en revue les options et éliminons d’abord les repères dont les axes ne sont pas perpendiculaires.

L’option A est (𝐵;𝐹;𝐸). Comme 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit, les droites 𝐵𝐹 et 𝐵𝐸 sont perpendiculaires.

L’option B est (𝐵;𝐶;𝐴). Comme 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit, les droites 𝐵𝐶 et 𝐵𝐴 sont perpendiculaires.

L’option C est (𝐷;𝐵;𝐶). On trouve que 𝐵𝐷 est une médiane du triangle isocèle 𝐴𝐵𝐶 avec 𝐵𝐶=𝐵𝐴;elle est donc aussi la médiatrice de 𝐴𝐶. Par conséquent, les droites 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶 sont perpendiculaires.

L’option D est (𝐴;𝐵;𝐶). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, ce qui signifie que 𝐵𝐴𝐶 n’est pas un angle droit. Les droites 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ne sont donc pas perpendiculaires.

L’option E est (𝐵;𝐹;𝐴). Comme 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit, les droites 𝐵𝐶 et 𝐵𝐴 sont perpendiculaires.

Seule l’option D est éliminée car ses axes ne sont pas perpendiculaires, il ne peut donc pas s’agir d’un repère orthogonal.

Comparons maintenant les unités de longueurs des deux axes.

L’option A est (𝐵;𝐹;𝐸). Comme nous l’avons montré dans la partie 1, nous avons 𝐵𝐹=𝐵𝐸.

L’option B est (𝐵;𝐶;𝐴). Comme nous l’avons montré dans la partie 1, nous avons 𝐵𝐶=𝐵𝐴.

L’option C est (𝐷;𝐵;𝐶). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle, donc 𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐴=45. En outre, 𝐵𝐷 est aussi la bissectrice de 𝐴𝐵𝐶. Par conséquent, 𝐶𝐵𝐷=902=45. Ainsi, le triangle 𝐵𝐶𝐷 est isocèle et 𝐷𝐵=𝐷𝐶.

L’option E est (𝐵;𝐹;𝐴). Nous avons 𝐵𝐹=12𝐵𝐴 et 𝐵𝐶=𝐵𝐴, alors 𝐵𝐹𝐵𝐴.

Le repère (𝐵;𝐹;𝐴) est donc un repère orthogonal. C’est l’option E.

Partie 3

Nous devons identifier lequel des repères est quelconque, c’est-à-dire celui qui a des axes non perpendiculaires.

En examinant toutes les options, on voit que seulement (𝐵;𝐶;𝐷) est un repère quelconque comme les droites 𝐵𝐶 et 𝐵𝐷 ne sont pas perpendiculaires. C’est l’option B.

Maintenant que nous avons défini ces trois types de repères, définissons les coordonnées d’un point dans un repère (𝑂;𝐼;𝐽).

Définition : Coordonnées

Étant donné un repère du plan (𝑂;𝐼;𝐽), la position d’un point quelconque 𝑀 dans le plan est décrite par ses coordonnées, notées (𝑥;𝑦).

On note 𝑥 l’abscisse du point, qui est le nombre réel sur laxedesabscisses du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la droite parallèle à laxedesordonnées passant par 𝑀.

On note 𝑦 l’ordonnée du point, qui est le nombre réel sur laxedesordonnées du point d’intersection de l’axe des ordonnée avec la droite parallèle à laxedesabscisses passant par 𝑀.

En utilisant cette définition, nous pouvons déterminer les coordonnées (𝑥;𝑦) d’un point 𝑀 dans un repère quelconque comme indiqué sur la figure suivante.

Il convient de noter que, par définition, les coordonnées de 𝐼 dans le repère (𝑂;𝐼;𝐽) sont (1;0), et celles de 𝐽 sont (0;1).

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser notre compréhension des coordonnées dans un repère orthonormé.

Exemple 2: Déterminer les coordonnées d’un point à partir des coordonnées d’un autre point dans un repère du plan

𝐴 et 𝐵 sont deux points dans un repère orthonormé avec laxedesabscisses horizontal orienté positivement vers la droite et laxedesordonnées vertical orienté positivement vers le haut. Les unités de longueur des axes sont données par le quadrillage. Si les coordonnées de 𝐴 sont (1;2), quelles sont les coordonnées de 𝐵?

Réponse

Nous savons que les points 𝐴 et 𝐵 sont dans un repère orthonormé dont les unités de longueur sont données par le quadrillage. Afin de déterminer les coordonnées du point 𝐵, on va d’abord déterminer la position de l’origine du repère, 𝑂, en utilisant les coordonnées de 𝐴, (1;2). Ces coordonnées signifient que ce point 𝐴 est situé à une unité de longueur à droite de l’origine et à 2 unités vers le haut par rapport à l’origine. En d’autres termes, l’origine du repère est située à une unité à gauche de 𝐴 et 2 unités en dessous de 𝐴.

Nous pouvons maintenant tracer les axes du repère et lire les coordonnées du point 𝐵.

Le point 𝐵 est situé à une unité de longueur à gauche de l’origine et sur laxedesabscisses. Ainsi, ses coordonnées sont (1;0).

Dans l’exemple précédent, nous avons considéré des points dans un repère orthonormé. Dans l’exemple suivant, nous examinerons les différences entre les trois types de repères.

Exemple 3: Déterminer la nature d’un quadrilatère dans des différents types de repère

On considère les points 𝐴(0;0), 𝐵(1;0), 𝐶(1;1) et 𝐷(0;1) placés dans un repère.

  1. Si le repère est quelconque, quelle est la nature du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷?
    1. un trapèze
    2. un cerf-volant
    3. un carré
    4. un rectangle
    5. un parallélogramme
  2. Si le repère est orthogonal, quelle est la nature du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷?
    1. un trapèze
    2. un cerf-volant
    3. un carré
    4. un rectangle
  3. Si le repère est orthonormé, quelle est la nature du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷?
    1. un trapèze
    2. un cerf-volant
    3. un carré

Réponse

Partie 1

Traçons un repère quelconque et plaçons les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

Puisque 𝐴 et 𝐷 d’une part et 𝐵 et 𝐶 d’une autre part ont la même abscisse, 𝑥, nous avons 𝐴𝐷𝐵𝐶laxedesordonnées. De même, 𝐴 et 𝐵 d’une part et 𝐷 et 𝐶 d’une autre part ont la même ordonnée, 𝑦, donc 𝐴𝐵𝐷𝐶laxedesabscisses. Ainsi, on peut conclure que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme (option E).

Partie 2

On continue comme ci-dessus et traçons un repère orthogonal et plaçons les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

Pour les mêmes raisons que dans le repère quelconque, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme. Cependant, il s’agit d’un parallélogramme particulier car l’axe des abscisses 𝑥 et l’axe desordonnées𝑦 sont perpendiculaires. Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle. Par conséquent, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle (option D).

Partie 3

Enfin, pour le repère orthonormé, nous savons maintenant que 𝐴𝐵=𝐴𝐷. Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est donc un rectangle particulier où tous les côtés sont égaux;c’est un carré (option C).

Pratiquons avec l’exemple suivant la lecture de coordonnées dans un repère quelconque, sachant que la grille dans un repère quelconque est formée des parallélogrammes.

Exemple 4: Déterminer les coordonnées d’un point dans plusieurs configurations pour un repère du plan

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, et les points 𝐼, 𝐽, 𝐾 et 𝐿 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴.

Déterminez les coordonnées du point 𝐶 dans chacune des configurations de repère suivantes.

  1. le repère (𝐴;𝐵;𝐷)
  2. le repère (𝐶;𝐷;𝐵)
  3. le repère (𝐿;𝐽;𝐷)
  4. le repère (𝐴;𝐼;𝐿)

Réponse

Avant de commencer, notons que comme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme et les points 𝐼, 𝐽, 𝐾 et 𝐿 sont les milieux des segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴, nous avons 𝐴𝐵𝐷𝐶𝐿𝐽 et 𝐴𝐷𝐵𝐶𝐼𝐾.

Partie 1

Dans le repère (𝐴;𝐵;𝐷), 𝐴 est l’origine, 𝐴𝐵 est laxedesabscisses avec 𝐴𝐵 comme unité de longueur et 𝐴𝐷 est laxedesordonnées avec 𝐴𝐷 comme unité de longueur. Ainsi, les coordonnées de 𝐵 sont (1;0) et celles de 𝐷 sont (0;1).

Pour trouver l’abscisse, 𝑥, du point 𝐶, on cherche la droite parallèle à laxedesordonnées, 𝐴𝐷, passant par 𝐶;c’est la droite 𝐵𝐶. Elle coupe laxedesabscisses, 𝐴𝐵, en 𝐵, correspondant à une abscisse, 𝑥, de 1.

Pour trouver l’ordonnée, 𝑦, du point 𝐶, on cherche la droite parallèle à laxedesabscisses, 𝐴𝐵, passant par 𝐶;c’est la droite 𝐷𝐶. Elle coupe laxedesordonnées, 𝐴𝐷, en 𝐷, correspondant à une ordonnée, 𝑦, de 1. Les coordonnées de 𝐶 dans le repère (𝐴;𝐵;𝐷) sont (1;1).

Partie 2

Dans le repère (𝐶;𝐷;𝐵), 𝐶 est l’origine. Ses coordonnées sont donc (0;0).

Partie 3

Dans le repère (𝐿;𝐽;𝐷), 𝐿 est l’origine, 𝐿𝐽 est laxedesabscisses avec 𝐿𝐽 comme unité de longueur, et 𝐿𝐷 est laxedesordonnées avec 𝐿𝐷 comme unité de longueur. Ainsi, les coordonnées de 𝐽 sont (1;0) et celles de 𝐷 sont (0;1).

La droite parallèle à laxedesordonnées, 𝐿𝐷, passant par 𝐶 est 𝐽𝐶. Elle coupe laxedesabscisses, 𝐿𝐽, en 𝐽, donnant une abscisse, 𝑥, de 1.

La droite parallèle à laxedesabscisses, 𝐿𝐽, passant par 𝐶 est 𝐷𝐶. Elle coupe laxedesordonnées, 𝐿𝐷, en 𝐷, donnant une ordonnée, 𝑦, de 1.

Ainsi, les coordonnées de 𝐶 dans le repère (𝐿;𝐽;𝐷) sont (1;1).

Partie 4

Dans le repère (𝐴;𝐼;𝐿), 𝐴 est l’origine, 𝐴𝐼 est laxedesabscisses avec 𝐴𝐼 comme unité de longueur, et 𝐴𝐿 est laxedesordonnées avec 𝐴𝐿 comme unité de longueur. Ainsi, les coordonnées de 𝐼 sont (1;0) et celles de 𝐿 sont (0;1).

La droite parallèle à laxedesordonnées, 𝐴𝐿, passant par 𝐶 est 𝐵𝐶. Elle coupe laxedesabscisses, 𝐴𝐼, en 𝐵. Le point 𝐼 étant le milieu de 𝐴𝐵, nous avons 𝐴𝐵=2𝐴𝐼, qui correspond à une abscisse, 𝑥, de 2.

La droite parallèle à laxedesabscisses, 𝐴𝐼, passant par 𝐶 est 𝐷𝐶. Elle coupe laxedesordonnées, 𝐴𝐿, en 𝐷. Puisque 𝐿 est le milieu de 𝐴𝐷, nous avons 𝐴𝐷=2𝐴𝐿, qui correspond à une ordonnée, 𝑦, de 2.

Ainsi, les coordonnées de 𝐶 dans le repère (𝐴;𝐼;𝐿) sont (2;2).

Dans notre dernier exemple, nous devrons déterminer les coordonnées d’un point donné dans un repère défini.

Exemple 5: Déterminer le type d’un repère donné et les coordonnées d’un point dans un repère différent

On considère les points 𝐴(1;1), 𝐵(1;1) et 𝐶(1;3) dans le repère orthonormé (𝑂;𝐼;𝐽).

  1. Quel est le type du repère (𝑂;𝐴;𝐵)?
  2. Quelles sont les coordonnées du point 𝐶 dans le repère (𝑂;𝐴;𝐵)?

Réponse

Partie 1

Dans le repère (𝑂;𝐴;𝐵), 𝑂 est l’origine, 𝑂𝐴 est laxedesabscisses avec 𝑂𝐴 comme unité de longueur, et 𝑂𝐵 est laxedesordonnées avec 𝑂𝐵 comme unité de longueur. Pour identifier le type de ce repère, nous devons déterminer

  1. si 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont perpendiculaires;
  2. si 𝑂𝐴=𝑂𝐵.

Notons que 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont tous deux des diagonales d’un carré du quadrillage. On sait que la diagonale d’un carré forme un axe de symétrie du carré, ce qui signifie que 𝑚𝐴𝑂𝐼=𝑚𝐴𝑂𝐽=45 et 𝑚𝐵𝑂𝐽=45. Ainsi, comme 𝑚𝐴𝑂𝐵=𝑚𝐴𝑂𝐽+𝑚𝐽𝑂𝐵, on trouve que 𝑚𝐴𝑂𝐵=45+45=90.

En outre, comme les diagonales d’un carré ont la même longueur et 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont des diagonales de deux carrés superposables, nous avons 𝑂𝐴=𝑂𝐵. Ainsi, on peut conclure que (𝑂;𝐴;𝐵) est un repère orthonormé car ses axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur.

Partie 2

Pour déterminer les coordonnées de 𝐶 dans le repère (𝑂;𝐴;𝐵), nous devons tracer les deux droites parallèles à l’axe des abscisses 𝑥 et l’axe desordonnées𝑦 passant par 𝐶.

La droite parallèle à laxedesordonnées passant par 𝐶 coupe laxedesabscisses en 𝐴, donnant une abscisse, 𝑥, de 1.

La droite parallèle à laxedesabscisses passant par 𝐶 coupe laxedesordonnées en un point qui est à une distance de l’origine de deux fois la longueur 𝑂𝐵 (le segment allant de l’origine à ce point d’intersection est le double de la diagonale d’un carré du quadrillage) et du côté positif de laxedesordonnées, du même côté que 𝐵. Ainsi, cela correspond à une ordonnée, 𝑦, de 2.

Ainsi, les coordonnées de 𝐶 dans le repère (𝑂;𝐴;𝐵) sont (1;2).

Terminons par récapituler quelques points clés de la fiche explicative.

Points clés

  • Un plan cartésien est formé par n’importe quels trois points non colinéaires (𝑂;𝐼;𝐽), 𝑂 est l’origine origine, droite𝑂𝐼 est laxedesabscisses avec sa direction positive dans la direction de 𝑂𝐼, et la ligne 𝑂𝐽 est le laxedesordonnées avec sa direction positive dans le sens de 𝑂𝐽. La longueur du segment 𝑂𝐼 est l’unité de longueur de laxedesabscisses, et celle de 𝑂𝐽 est l’unité de longueur de laxedesordonnées.
  • Le repère standard que nous utilisons en mathématiques est appelé repère orthonormé, mais il existe trois types principaux de repères du plan:quelconque, où 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 ne sont pas perpendiculaires, orthogonal, où 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 sont perpendiculaires et orthonormé, qui est un repère orthogonal avec la condition supplémentaire que 𝑂𝐼=𝑂𝐽.
  • Étant donné un repère (𝑂;𝐼;𝐽), la position d’un point quelconque 𝑀 dans le plan est décrite par ses coordonnées, notées (𝑥;𝑦). On note 𝑥 l’abscisse du point, qui est le nombre réel sur laxedesabscisses du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la droite parallèle à laxedesordonnées passant par 𝑀. On note 𝑦 l’ordonnée du point, qui est le nombre réel sur laxedesordonnées du point d’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite parallèle à laxedesabscisses passant par 𝑀.

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