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Sachant que 𝑛 𝐶 trois est égal à deux 𝑛, calculez 𝑛 𝐶 trois.
Commençons par rappeler ce que signifie cette notation. 𝑛 𝐶 𝑟 est le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments lorsque l’ordre n’a pas d’importance. I s’agit du nombre de combinaisons. 𝑛 𝐶 𝑟 ou 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Cela signifie que nous pouvons former une expression pour 𝑛 𝐶 trois. En posant 𝑟 égal à trois, on obtient factorielle 𝑛 sur factorielle trois fois factorielle 𝑛 moins trois.
Et il est indiqué que cela est égal à deux 𝑛. Nous avons donc une équation en fonction de 𝑛. Qui est factorielle 𝑛 sur factorielle trois fois factorielle 𝑛 moins trois égale deux 𝑛. Mais d’après la définition de la factorielle, factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux, et ainsi de suite. Cela signifie que l’on peut l’écrire comme 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois factorielle 𝑛 moins trois.
Et en reformulant le numérateur sous cette forme, on constate que l’on peut diviser par le facteur commun factorielle 𝑛 moins trois pour obtenir 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux sur factorielle trois égale deux 𝑛.
Résolvons à présent cette équation de 𝑛 en multipliant d’abord les deux membres par factorielle trois. Mais factorielle trois est en fait égal à trois fois deux fois un. C’est-à-dire six. On obtient donc 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux égale 12𝑛. On développe ensuite les parenthèses. Cela nous donne 𝑛 fois 𝑛 au carré moins trois 𝑛 plus deux égale 12𝑛. Et on continue à développer pour obtenir 𝑛 au cube moins trois 𝑛 au carré plus deux 𝑛 égale 12𝑛.
Il s’agit donc d’une équation du troisième degré. Et on soustrait 12𝑛 aux deux membres pour qu’elle soit égale à zéro. Cela nous donne 𝑛 au cube moins trois 𝑛 au carré moins 10𝑛 égale zéro. On peut alors résoudre cette équation en factorisant d’abord par 𝑛 puis en factorisant l’expression du second degré 𝑛 au carré moins trois 𝑛 moins 10 par 𝑛 plus deux fois 𝑛 moins cinq.
Les racines de cette équation sont ensuite les valeurs de 𝑛 telles que 𝑛 égale zéro, 𝑛 plus deux égale zéro ou 𝑛 moins cinq égale zéro. Elles sont donc 𝑛 égale zéro, 𝑛 égale moins deux et 𝑛 égale cinq. Mais 𝑛 doit être un entier strictement positif. Nous pouvons donc écarter deux des solutions et obtenir 𝑛 égale cinq.
Cela nous permet maintenant de calculer 𝑛 𝐶 trois. Qui est en fait cinq 𝐶 trois dans ce cas. En revenant à notre définition de 𝑛 𝐶 𝑟, on définit 𝑛 égal à cinq et 𝑟 égal à trois. Cela nous donne factorielle cinq sur factorielle trois fois factorielle cinq moins trois, ce qui est égal à factorielle cinq sur factorielle trois fois factorielle deux.
Cette fois, on écrit le numérateur comme cinq fois quatre fois factorielle trois. Ce qui nous permet d’annuler le facteur commun factorielle trois. Mais factorielle deux est simplement égal à deux. Donc on divise par deux. Et on trouve que cinq 𝐶 trois est égal à cinq fois deux, soit 10.
Par conséquent, sachant que 𝑛 𝐶 trois est égal à deux 𝑛, nous pouvons conclure que 𝑛 𝐶 trois est égal à 10.
