Transcription de la vidéo
Une balle tirée d’un fusil quitte l’extrémité du canon de 55 centimètres de long à une vitesse de 500 mètres par seconde et frappe une bouteille à 35 mètres, comme le montre le schéma. Quelle est l’accélération moyenne de la balle dans le canon ? Arrondissez votre réponse au kilomètre par seconde carrée près.
Alors, dans cette question, on nous demande de déterminer l’accélération moyenne d’une balle tirée d’un fusil. La balle n’accélère que lorsqu’elle est dans le canon, donc la distance sur laquelle elle accélère est de 55 centimètres. On nous dit que la balle quitte le canon au bout de cette distance de 55 centimètres à une vitesse de 500 mètres par seconde. Avant le tir, nous savons que la balle est au repos, nous pouvons donc dire qu’elle commence avec un vecteur vitesse initial de zéro mètre par seconde.
Nous nommons ce vecteur vitesse initial 𝑢, et nous nommons le vecteur vitesse final de la balle de 500 mètres par seconde 𝑣. Pendant que nous y sommes, nommons 𝑠 la longueur de 55 centimètres du canon. Ainsi, la balle accélère d’un vecteur vitesse initial 𝑢 égale à zéro mètre par seconde à un vecteur vitesse final 𝑣 égale à 500 mètres par seconde sur une distance de 𝑠 égale à 55 centimètres. Nous essayons de déterminer l’accélération moyenne de la balle. Alors nommons cette accélération moyenne 𝑎.
Maintenant, il s’avère qu’il existe une équation qui relie le vecteur vitesse initial d’un objet 𝑢, son vecteur vitesse final 𝑣, son accélération 𝑎 et la distance 𝑠 sur laquelle il accélère. Plus précisément, cette équation nous dit que 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux fois 𝑎 fois 𝑠. Dans ce cas, nous connaissons les valeurs des grandeurs 𝑣, 𝑢 et 𝑠. Nous essayons de déterminer l’accélération 𝑎. Cela signifie que nous voulons prendre cette équation et la réorganiser pour faire de 𝑎 le sujet.
La première étape consiste à soustraire 𝑢 au carré des deux côtés de l’équation. Alors, sur le côté droit, nous avons 𝑢 au carré, qui s’annule avec le moins 𝑢 au carré. Cela nous laisse avec une équation qui dit que 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré est égal à deux fois 𝑎 fois 𝑠. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par deux 𝑠. À droite, le deux au numérateur s’annule avec le deux au dénominateur et le 𝑠 au numérateur annule le 𝑠 au dénominateur. Cela nous donne une équation qui dit que 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑠 est égal à 𝑎. Et bien sûr, nous pouvons également écrire cette équation dans l’autre sens pour dire que 𝑎 est égal à 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑠.
Nous avons donc maintenant une équation qui nous permettra de calculer la valeur de 𝑎 tant que nous connaissons les valeurs de 𝑣, 𝑢 et 𝑠.
Si nous regardons la question d’origine, nous voyons qu’on nous demande de donner notre réponse pour l’accélération au kilomètre par seconde au carré près. Cependant, pour le moment, nos vecteurs vitesse sont en mètres par seconde et notre distance est en centimètres. Nous devons convertir les deux vecteurs vitesse en kilomètres par seconde et la distance en kilomètres.
Pour ce faire, nous devons rappeler qu’un kilomètre est égal à 1000 mètres et qu’un mètre est égal à 100 centimètres. Or, si un kilomètre est égal à 1000 mètres, alors un mètre doit être égal à un millième de kilomètre. De même, si un mètre est égal à 100 centimètres, alors un centimètre est un centième de mètre. Donc, pour convertir la distance 𝑠 de 55 centimètres en kilomètres, nous prenons la valeur en centimètres et nous la multiplions par un sur 100 mètres par centimètre, puis à nouveau par un sur 1000 kilomètres par mètre.
En regardant les unités, nous pouvons voir que les centimètres s’annulent avec le par centimètre et les mètres s’annulent avec le par mètre. Il nous reste donc des kilomètres. En calculant la valeur de l’expression, nous trouvons que 𝑠 est égal à 0,00055 kilomètres. Maintenant, il suffit de convertir nos vitesses en kilomètres par seconde. Libérons un peu d’espace pour faire cela. Nous allons commencer avec notre vecteur vitesse 𝑣 égale à 500 mètres par seconde. Pour obtenir cette vitesse en kilomètres par seconde, nous devons multiplier la valeur en mètres par seconde par un sur 1000 kilomètres par mètre.
Alors, regardant les unités, les mètres s’annulent avec le par mètre, et il nous reste des kilomètres par seconde. Lorsque nous calculons la valeur de cette expression, nous constatons que 𝑣, la vecteur vitesse de la balle lorsqu’elle quitte le canon, est égale à 0,5 kilomètre par seconde. Maintenant, nous pourrions aussi faire la même chose pour le vecteur vitesse initial 𝑢. Mais il est plus facile de remarquer que puisque ce vecteur vitesse initial est de zéro mètre par seconde, il sera nulle quelle que soit l’unité dans laquelle nous choisirons de l’exprimer. Après tout, si quelque chose ne bouge pas, alors, il ne bouge pas, peu importe l’unité que nous choisissons pour mesurer cette absence de mouvement.
Nous savons donc que 𝑢 est égal à zéro kilomètre par seconde. Et nous avons également déterminé que 𝑣 est égal à 0,5 kilomètre par seconde. Nous avons donc maintenant des valeurs pour 𝑠, 𝑢 et 𝑣 en kilomètres et en kilomètres par seconde. Il ne nous reste plus qu’à insérer ces valeurs dans cette équation pour calculer la valeur de 𝑎.
Libérons de l’espace pour pouvoir le faire. Nous savons que 𝑎 est égal à 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑠. A la place de 𝑣, nous allons insérer notre valeur de 0,5 kilomètres par seconde. Et à la place de 𝑢, nous allons mettre la valeur de zéro kilomètre par seconde. Enfin, à la place de 𝑠 au dénominateur, nous allons inscrire la valeur de 0.00055 kilomètres. Cela nous donne une expression pour 𝑎 et tout ce que nous devons faire maintenant est de la calculer.
Au numérateur, 0,5 kilomètres par seconde au carré nous donne 0,25 kilomètres carrés par seconde au carré. Et zéro kilomètre par seconde le tout au carré donne zéro kilomètre carré par seconde au carré. Au dénominateur, deux fois 0,00055 kilomètres nous donnent 0,0011 kilomètres. Au numérateur de cette expression, nous avons 0,25 kilomètres carrés par seconde au carré moins zéro kilomètres au carré par seconde au carré. Et cela équivaut tout simplement à 0,25 kilomètre carré par seconde au carré.
En ce qui concerne les unités, un facteur des kilomètres du numérateur est annulé par les kilomètres du dénominateur. Ensuite, le calcul de la valeur de l’expression nous donne que l’accélération 𝑎 est égale à 227,27 kilomètres par seconde au carré, où la barre sur ces deux chiffres indique qu’ils sont récurrents. Enfin, notons que la question nous demande d’arrondir notre réponse au kilomètre par seconde au carré près. Nous devons donc prendre cette valeur que nous avons calculée pour 𝑎 et l’arrondir au nombre entier de kilomètres par seconde au carré le plus proche. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons notre réponse à cette première partie de la question selon laquelle, au kilomètre par seconde au carré près, l’accélération moyenne de la balle dans le canon est égale à 227 kilomètres par seconde au carré.
Bon, regardons maintenant la deuxième partie de la question.
Combien de temps après avoir quitté le canon du fusil la balle touche-t-elle la bouteille, en supposant qu’elle se déplace à un vecteur vitesse constant ?
Bon, nous savons que la balle quitte le canon à une vitesse de 500 mètres par seconde. Et nous pouvons voir sur le schéma que la balle se dirige directement vers la bouteille. On nous dit de supposer que la balle se déplace avec un vecteur vitesse constant. Cela signifie que nous pouvons supposer que sa vitesse et son sens sont constants. On nous dit que la bouteille est à 35 mètres du fusil. Nous savons donc que la balle se déplace d’une distance de 35 mètres à une vitesse de 500 mètres par seconde.
On nous demande de déterminer le temps mis par la balle pour se déplacer sur cette distance de 35 mètres du fusil à la bouteille. Nous allons nommer cette distance 𝑑 et le temps que nous essayons de calculer 𝑡, et nous avons la vitesse de la balle 𝑣. On peut rappeler que ces trois grandeurs sont liées par l’équation 𝑣 égale 𝑑 divisée par 𝑡. Ou en utilisant des mots, pour un objet se déplaçant à vitesse constante, cette vitesse est égale à la distance parcourue par l’objet divisée par le temps mis pour parcourir la distance.
Dans ce cas, nous connaissons les valeurs de 𝑣 et 𝑑, et nous essayons de déterminer la valeur de la grandeur 𝑡. Alors prenons cette équation et réorganisons-la pour faire de 𝑡 le sujet. Pour ce faire, la première étape consiste à multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑡. Ensuite, sur le côté droit, le 𝑡 au numérateur s’annule avec le 𝑡 au dénominateur. Cela nous laisse avec une équation qui dit que 𝑣 multiplié par 𝑡 est égal à 𝑑. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝑣. Sur le côté gauche, le 𝑣 au numérateur s’annule avec le 𝑣 au dénominateur.
Nous nous retrouvons donc avec une équation qui dit que le temps 𝑡 est égal à la distance 𝑑 divisée par la vitesse 𝑣. Maintenant, nous avons juste besoin d’insérer nos valeurs pour 𝑑 et 𝑣 dans cette équation. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons que 𝑡 est égal à 35 mètres, la valeur de 𝑑, divisé par 500 mètres par seconde, la valeur de 𝑣. En calculant la valeur de cette expression, nous trouvons que 𝑡 est égal à 0,07 seconde. Et donc notre réponse à cette deuxième partie de la question est que la balle frappe la bouteille 0,07 seconde après avoir quitté le fusil.
