Transcription de la vidéo
Combien de racines réelles l’équation 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro admet-elle si 𝑎 est différent de zéro et 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à zéro ?
Eh bien, cette équation du second degré est ici sous forme développée. Et vous vous rappelez peut-être que si 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, alors 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Et cette formule ne fonctionne évidement que si 𝑎 est différent de zéro. Sinon, on diviserait le numérateur par zéro. Mais l’énoncé indique bien que 𝑎 est différent de zéro donc cette formule s’applique. L’autre information qui nous est donnée est que 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à zéro.
On rappelle que la valeur 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 a un nom dédié : on l’appelle le discriminant. Et c’est important parce qu’il s’agit de l’expression sous la racine carrée dans cette formule. Nous savons ici qu’elle est égal à zéro. Cela signifie donc que les racines de l’équation, les valeurs possibles de 𝑥, sont égales à moins le coefficient 𝑏 plus ou moins racine carrée de zéro sur deux fois le coefficient 𝑎. Et bien sûr, racine carrée de zéro égale zéro. On a donc moins 𝑏 plus ou moins zéro, le tout sur deux 𝑎. C’est-à-dire, moins 𝑏 plus zéro ou moins 𝑏 moins zéro sur deux 𝑎. Mais ajouter ou soustraire zéro ne change pas la valeur d’un nombre. On obtient donc simplement moins 𝑏 au numérateur et les deux expressions sont ainsi égales à moins 𝑏 sur deux 𝑎.
Les deux versions de la formule donnent donc la même solution. Par conséquent, il n’y a qu’une seule racine réelle à cette équation sous ces conditions.
