Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le discriminant d’une équation du second degré et à l’utiliser pour déterminer le nombre et le type de ses racines (solutions) sans la résoudre.
On rappelle qu’une équation du second degré prend la forme
où , et sont des nombres réels et est la variable à déterminer. Pour que cette équation soit du second degré, on doit avoir mais cette restriction n’est pas nécessaire pour ou . Cette équation est « résolue » lorsqu’on trouve une valeur de telle que l’équation (1) est vraie. Une équation du second degré telle que (1) peut avoir un maximum de deux solutions réelles, contrairement à une équation linéaire qui a une unique solution réelle. Pour être plus précis, pour toute équation du second degré avec des coefficients réels, elle a 0, 1 ou 2 solutions réelles.
On sait que la solution d’une équation du second degré est donnée par la formule des racines du second degré avec les deux solutions possibles distinguées par le signe . La validité de l’une ou l’autre de ces deux solutions peut être vérifiée algébriquement en la substituant dans l’équation (1).
La formule des racines du second degré implique qu’il peut y avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles à l’équation du second degré car le symbol indique qu’il y a deux calculs possibles pour déterminer . Si l’expression à l’intérieur de la racine carrée est strictement positive, alors on peut trouver la solution. Cependant, si l’expression à l’intérieur de la racine carrée est strictement négative, alors on essaie de prendre la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui n’a pas de solution dans les nombres réels. Enfin, si l’expression à l’intérieur de la racine carrée est nulle, alors les deux calculs sont égaux, il n’y a donc qu’une seule racine. Par conséquent, le nombre de solutions réelles est déterminé par le signe de l’expression , connue sous le nom de discriminant.
Définition : Discriminant d’une équation du second degré
On considère l’équation du second degré où , et sont des nombres réels et . Le « discriminant » de l’équation du second degré est alors défini par
Si est strictement positif, alors il y a deux solutions réelles à l’équation du second degré. Si , alors il y a une solution réelle (répétée). Et si est strictement négatif, alors il n’y a pas de solutions réelles.
Après avoir donné cette définition, on peut voir comment il est possible d’écrire la formule des racines du second degré en fonction du discriminant comme ce qui clarifie davantage le lien avec le nombre de solutions de l’équation du second degré. On va illustrer cette notion avec un d’exemple, en considérant l’équation du second degré . Il peut être utile de l’étudier par le biais de la fonction puis de chercher les valeurs de qui donnent . En d’autres termes, on essaye alors de trouver les racines de la fonction . On commence par tracer la représentation graphique de la fonction ci-dessous, ce qui révèle qu’il y a deux racines, l’une négative et l’autre positive.
On va maintenant confirmer cela en se référant à la définition du discriminant. Pour résoudre l’équation , on doit tout d’abord remarquer qu’il s’agit d’une équation du second degré en avec les coefficients , et . Le discriminant est ensuite calculé par
Par conséquent, on a , ce qui signifie qu’il y a deux solutions réelles d’après la définition ci-dessus. Cela était également visible sur la représentation graphique tracée ci-dessus. On peut alors utiliser la formule des racines du second degré pour calculer directement les racines :
On peut vérifier que ces deux solutions réelles correspondent numériquement à celles indiquées sur la représentation graphique.
On considère un autre exemple avec cette fois l’équation du second degré , on définit donc qui est une fonction du second degré où , et . Par rapport à la fonction , la fonction aura exactement la même forme après une translation de deux unités dans le sens vertical positif. La représentation graphique de cette fonction est la suivante :
Il semble qu’il n’y ait qu’une seule solution réelle à cette équation en , ce que l’on va montrer avec l’utilisation du discriminant. On calcule le discriminant :
Comme , il y a une racine réelle (répétée), comme on peut le voir sur la représentation graphique ci-dessus. On utilise ensuite la formule des racines du second degré pour calculer la solution
Dans ce cas, le terme n’est pas pertinent car additionner zéro revient à soustraire zéro. Contrairement au scénario précédent, il n’est pas nécessaire d’effectuer d’autres calculs pour trouver la racine réelle (répétée).
Le dernier exemple que l’on étudie est une équation du second degré qui n’a pas de solution réelle. On prend l’exemple précédent et on le modifie légèrement pour obtenir l’équation du second degré . Pour nous aider dans le processus de résolution, on définit la fonction qui est une fonction du second degré avec , et . La représentation graphique de est la même que la représentation graphique de , translatée de deux unités dans le sens vertical positif, comme illustré ci-dessous.
On voit sur cette représentation graphique qu’il n’y a pas de solutions réelles à l’équation du second degré, ce que l’on peut montrer en calculant le discriminant :
On a , ce qui signifie qu’il n’y a pas de solution réelle et confirme la prédiction basée sur la représentation graphique. Si on essaie d’utiliser la formule des racines du second degré, on obtient les résultats suivants :
Ce calcul montre que l’on essaie de calculer la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui ne donne pas un résultat réel. Cela signifie qu’il n’y a pas de solution réelle à l’équation du second degré, comme prévu par la valeur du discriminant. Dans cette situation, la recherche des solutions nécessite une compréhension des nombres imaginaires et complexes qui sort du cadre de cette fiche explicative.
Étudions maintenant quelques exemples d’utilisation du discriminant pour déterminer le nombre de racines réelles d’une équation du second degré.
Exemple 1: Utiliser le signe du discriminant pour déterminer le nombre de racines complexes d’une équation du second degré
Combien de racines non réelles une équation du second degré possède-t-elle si son discriminant est strictement négatif ?
Réponse
On rappelle que pour l’équation du second degré , où , et sont des nombres réels et , on sait que la formule des racines du second degré est ce qui donne les racines de l’équation du second degré. Le discriminant est défini par , ce qui permet d’écrire la formule des racines du second degré comme
Si le discriminant est strictement négatif, on essaie alors de calculer la racine carrée d’un nombre strictement négatif, qui n’a pas de solution dans les nombres réels. Cela signifie qu’il n’y a aucune solution réelle à l’équation du second degré donnée et qu’il doit donc y avoir deux racines non réelles.
Exemple 2: Utiliser le signe du discriminant pour déterminer le nombre de racines complexes d’une équation du second degré
Quelle est la condition correcte pour que l’équation du second degré avec des coefficients réels n’ait pas de racines non réelles ?
- Le discriminant est strictement positif.
- Le discriminant est égal à zéro.
- Le discriminant est strictement négatif.
- Le discriminant n’est pas négatif.
- Le discriminant est un entier.
Réponse
Lorsque l’on travaille sur une équation du second degré, on rappelle que le signe du discriminant indique le nombre de racines réelles. Il y a trois possibilités pour le nombre de racines réelles :
- deux racines réelles, lorsque ;
- une racine réelle (répétée), lorsque ;
- pas de racines réelles, lorsque .
Il est indiqué que l’on cherche à ne pas avoir de racines non réelles pour l’équation du second degré donnée. Cela signifie qu’il doit y avoir au moins une solution réelle à l’équation du second degré, le maximum étant deux. Pour qu’il y ait une solution réelle, il faut que le discriminant soit égal à zéro, et pour qu’il y ait deux solutions réelles, il faut que le discriminant soit strictement positif. Pour que l’une ou l’autre de ces conditions soit remplie, le discriminant doit être supérieur ou égal à zéro. Cela correspond à l’option D de la liste ci-dessus, ce qui signifie que le discriminant doit être non négatif.
Les deux exemples ci-dessus montrent comment on peut déterminer le nombre de racines en utilisant simplement le discriminant. Lorsque l’on tente de trouver les racines précises d’une équation du second degré, une étape préalable utile est donc de calculer le discriminant puis de l’utiliser pour identifier le nombre de racines avant de les calculer. Par exemple, si le discriminant d’une équation du second degré est strictement négatif, il n’y a pas de racines réelles et il n’est donc pas nécessaire d’utiliser la formule des racines du second degré pour les déterminer. Nous allons en donner un exemple dans la question suivante.
Exemple 3: Déterminer le discriminant d’une équation du second degré et l’utiliser pour déterminer le nombre de racines réelles
- Déterminez le discriminant de l’équation du second degré .
- Combien de racines réelles l’équation possède-t-elle ?
- Par conséquent, déterminez combien de fois la courbe représentative de coupe l’axe des .
Réponse
Partie 1
On commence par remarquer que l’équation du second degré peut être notée de manière standard en désignant les coefficients par , et . On rappelle que le discriminant d’une équation du second degré est , que l’on peut calculer pour cette équation comme suit :
Partie 2
On rappelle que le signe du discriminant d’une équation du second degré indique le nombre de racines réelles de l’équation. En particulier, si son signe est strictement négatif, alors il n’y a pas de racines réelles. Sachant que , cela signifie qu’il n’y a pas de racines réelles à l’équation du second degré, la réponse est donc aucune racine réelle.
Partie 3
Une fonction a une racine réelle lorsque la courbe représentative de cette fonction coupe l’axe des . Comme cette fonction n’a pas de racines réelles, la courbe représentative de la fonction ne coupe pas l’axe des . Cela peut être confirmé graphiquement en traçant la courbe représentative de la fonction ci-dessous.
On voit que la courbe représentative de la fonction ne coupe jamais l’axe des , comme prévu.
On a vu que la formule des racines du second degré peut être exprimée en fonction du discriminant comme
Avant de calculer les racines d’une équation du second degré, on doit calculer la racine carrée du discriminant . Cela signifie que si est un carré parfait, alors la racine carrée donne un nombre entier. Si et sont rationnels, les valeurs de dans ce cas particulier sont donc rationnelles. Cependant, n’est généralement pas un carré parfait, ce qui signifie que sa racine carrée est un nombre irrationnel. Dans ce cas, cela implique que les valeurs de sont irrationnelles, car elles sont calculées par la combinaison d’un nombre irrationnel et de deux nombres rationnels en utilisant l’addition et la division. Notez que cette propriété n’est vérifiée que dans l’hypothèse où et sont tous les deux rationnels. Si ces coefficients ne sont pas rationnels, on doit alors examiner la question avec un peu plus de finesse, comme on le voit dans l’exemple suivant.
Exemple 4: Déterminer si les racines d’une équation du second degré sont rationnelles ou non en utilisant le discriminant
Déterminez si les racines de l’équation sont rationnelles ou non sans la résoudre.
Réponse
On définit les coefficients de cette équation du second degré de manière standard : , et . On rappelle que le discriminant d’une équation du second degré est , et que la formule des racines du second degré indique que les racines de cette équation sont
On peut alors calculer le discriminant de l’équation du second degré comme suit :
Comme il est strictement positif, il y a deux racines réelles. On peut aussi voir dans la formule des racines du second degré que et sont tous les deux rationnels. Cependant, est irrationnel ; par conséquent, les racines sont irrationnelles.
Dans le prochain exemple, nous allons étudier le comportement d’une équation du second degré en considérant le coefficient comme un paramètre.
Exemple 5: Déterminer l’intervalle auquel appartient un coefficient d’une équation du second degré à partir de la nature de ses racines
Sachant que les racines de l’équation sont réelles et distinctes, déterminez l’intervalle auquel appartient .
Réponse
On commence par écrire cette équation du second degré sous forme standard. On définit les coefficients comme , et . On rappelle que le signe du discriminant d’une équation du second degré indique le nombre de racines du second degré. Dans cette question, on sait qu’il y a deux racines réelles distinctes, ce qui se produit lorsque le discriminant est strictement positif. On calcule le discriminant comme suit :
La question demande de trouver toutes les valeurs possibles de telles que les racines de l’équation du second degré sont réelles et distinctes. En d’autres termes, on cherche les valeurs possibles de telles qu’il y a deux racines réelles, soit En observant l’expression factorisée dans l’équation ci-dessus, on en déduit que si . En réarrangeant, on obtient . Notez que le cas doit être exclus, car il donnerait une seule racine réelle (répétée). Sachant que l’on doit avoir , on peut aussi l’exprimer par .
Points clés
- Une équation du second degré de la variable est définie comme , où , et sont des nombres réels et .
- Les racines d’une équation du second degré sont données par la formule des racines du second degré comme suit :
- Le discriminant de l’équation du second degré est . Le signe de indique le nombre de racines réelles :
- si , alors il y a deux solutions réelles distinctes ;
- si , alors il y a une solution réelle répétée ;
- si , alors il n’y a pas de solutions réelles.
- Il peut être utile de réécrire la formule des racines du second degré comme suit
- En supposant que , et sont tous rationnels, alors les valeurs de seront rationnelles si et seulement si, est un carré parfait.
