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Vidéo de la leçon : Utilisation du discriminant pour déterminer le nombre de racines d’une expression du second degré Mathématiques

Comprendre comment calculer la valeur du discriminant pour une équation du second degré et comment l’utiliser pour déterminer s’il y a zéro, une ou deux racines. Ceci est étayé par une série d’exemples accompagnés de graphiques et d’une explication des conclusions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir quelques courbes de fonctions du second degré et de trouver des liens entre ce qu’ils ressemblent, et les différents coefficients dans leurs équations. Nous explorerons pourquoi ces liens existent, en considérant la formule du discriminant.

Rappelez-vous que l’équation du second degré a un terme 𝑥 carré, un terme 𝑥 et un terme constant. Donc, c’est quelques fois le nombre 𝑥 au carré plus ou moins quelques fois le nombre 𝑥 plus ou moins un nombre constant à la fin.

Ainsi, par exemple, 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins cinq. Dans ce cas, la valeur 𝑎 est positive, elle est plus trois. La valeur 𝑏 est positive, elle est plus deux. Mais la valeur 𝑐 était négative, elle était moins cinq.

Un autre exemple est 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au carré. Donc dans ce cas, la valeur 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, est moins deux. Mais les coefficients du terme 𝑥 et de la constante ne sont que des séries de 𝑏 égal à zéro et 𝑐 égal à zéro.

Et un autre exemple, 𝑦 est égal à un quart 𝑥 au carré plus les deux cinquièmes. Dans ce cas, la valeur 𝑎 sera un quart, la valeur 𝑏 sera nulle et la valeur 𝑐 sera deux cinquièmes.

Donc 𝑏 ou 𝑐 pourrait être égal à zéro, mais pour être une équation du second degré, la valeur de 𝑎 ne pourrait jamais être nulle.

Si nous traçons la courbe représentative d’une fonction du second degré, nous aurons toujours une parabole symétrique comme l’une de ces deux, soit une forme en U soit une forme en U à l’envers. Maintenant, vous vous souvenez probablement que la valeur de 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, vous indique à quel point la courbe est large ou mince, et de quel côté elle est, rappelez-vous, les courbes positives de smiley heureux ou les courbes négatives tristes. Et en modifiant le coefficient 𝑥, la valeur de 𝑏 déplace la courbe vers la gauche ou la droite sur la courbe. Et la valeur 𝑐, le terme constant, vous indique la valeur de la fonction lorsque l’entrée 𝑥 est nulle. En d’autres termes, où elle coupe l’axe 𝑦 ou l’interception 𝑦.

Donc, regarder les coefficients et le terme constant peut nous en dire beaucoup à quoi ressemblerait la courbe de la fonction. Et l’inverse, si nous voyons la courbe, nous pouvons dire ce que le coe - certains des coefficients vont être. Mais il y a aussi un autre aspect que nous devons connaître. Où la courbe coupe-t-elle l’axe des 𝑥 ? En d’autres termes, quelles entrées 𝑥 génèrent des sorties 𝑦 nulles ?

Maintenant, vous avez probablement passé assez de temps à travailler sur de telles choses, peut-être en lisant les valeurs des courbes, donc en utilisant des essais et des améliorations systématiques. Peut-être en factorisant, ou en utilisant la formule du discriminant, ou même en complétant le carré. Mais vous avez peut-être remarqué que parfois vous obtenez deux réponses, parfois vous en obtenez une, et parfois vous n’en obtenez pas. Peut-être que l’expression quadratique ne peut pas être prise en compte, ou peut-être que la formule va mal et indique une erreur mathématique sur votre calculatrice, lorsque vous la tapez.

Maintenant, certaines paraboles ont deux racines et c’est parce qu’elles coupent l’axe des 𝑥 en deux endroits. Donc, il y a deux valeurs 𝑥 qui génèrent des coordonnées 𝑦 de zéro. Certaines ont une racine. Pour ce que nous appelons les racines répétées, ce sont deux racines, mais elles se trouvaient juste au même endroit. Et d’autres n’ont pas de racine, enfin pas de racine réelle. Il existe un moyen d’utiliser des choses appelées nombres imaginaires ou complexes pour générer des racines non réelles. Mais nous ne nous en inquiéterons pas encore. Donc, si la courbe se retourne et se dirige vers le haut, ou peut-être se retourne et se dirige vers le bas selon qu’elles viennent d’en haut ou en bas, sans traverser l’axe des 𝑥 n’importe où, alors nous disons qu’il n’y a pas de racine. Et c’est parce qu’il n’y a pas de points sur cette courbe qui ont une coordonnée 𝑦 de zéro. Aucune des entrées 𝑥 ne génère une coordonnée 𝑦 de zéro.

Regardons bien cette formule du discriminant alors. Les solutions de 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal à zéro, où 𝑎 n’est pas égal à zéro, sont données par 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

L’idée est donc de prendre votre équation du second degré et de simplement placer les valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Et cela vous indiquera les coordonnées 𝑥 pour lesquelles la coordonnée 𝑦 est nulle. Mais qu’il y ait deux solutions, une solution ou aucune solution, tout dépend ici de ce petit bout ; et ça s’appelle le discriminant. Ainsi, lorsque vous utilisez la formule du discriminant, nous devons trouver la racine carrée du discriminant afin de nous aider à trouver les coordonnées 𝑥 des points où la courbe coupe l’axe des 𝑥. Voilà le problème. Donc, si le discriminant est positif, nous allons trouver la racine carrée d’un nombre positif. Et cela nous donnera deux valeurs différentes, une version positive et une version négative, générera donc deux valeurs de 𝑥. Si le discriminant est égal à zéro, alors nous allons avoir la racine carrée de zéro, ce qui est égal à zéro. Alors, qui est seulement une valeur, nous allons donc trouver une seule valeur. Et si le discriminant est négatif, nous allons essayer de trouver la racine carrée d’un nombre négatif, que vous savez que ça va être très difficile, voire impossible ; à moins que vous n’inventiez un tout nouveau système de nombres appelé nombres imaginaires.

Regardons alors quelques exemples. Donc, si 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus deux, cela signifie que 𝑎 est un, 𝑏 est trois et 𝑐 est deux. Donc, si nous mettons la coordonnée 𝑦 égale à zéro afin que nous puissions savoir où elle coupe l’axe des 𝑥, si nous plaçons tous ces nombres dans la formule du discriminant, le discriminant est trois ici au carré. C’est neuf moins quatre fois un fois deux ; c’est huit. Donc neuf moins huit est positif. Et la racine carrée de un pourrait être positive, pourrait être négative. Plus un fois plus un est un, moins un fois moins un est aussi un. Cela génère donc deux solutions possibles. Donc, pour cette quadratique particulière, une coordonnée 𝑥 de moins un génère une coordonnée 𝑦 de zéro, ou une coordonnée 𝑥 de moins deux génère une coordonnée 𝑦 de zéro. En d’autres termes, elle coupe l’axe des 𝑥 en deux endroits lorsque 𝑥 est égal à moins un et lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Ainsi, lorsque le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 était supérieur à zéro, nous avions deux racines réelles dans nos équations ; deux valeurs 𝑥 qui génèrent une coordonnée 𝑦 de zéro.

D’accord. Regardons alors un autre exemple. 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Donc, dans cette expression du second degré, 𝑎 est égal à un, 𝑏 est égal à deux et 𝑐 est égal à un. Donc, si nous mettons 𝑦 égal à zéro pour essayer de trouver les coordonnées 𝑥 où elle coupe l’axe des 𝑥, et lorsque nous plaçons ces nombres dans notre équation du second degré, ce morceau à l’intérieur de la racine carrée ici, le discriminant, se révèle être quatre moins quatre, ce qui est zéro. Donc, quand nous allons résoudre cette équation, les valeurs de 𝑥 vont être moins deux plus ou moins la racine carrée de zéro. Donc, évidemment, la racine carrée de zéro est zéro. Nous ajoutons donc zéro à moins deux et nous soustrayons zéro de moins deux. Donc, clairement, nos deux solutions vont être exactement les mêmes, dans ce cas, négatives. Donc, fondamentalement, une coordonnée 𝑥 de moins un génère une coordonnée 𝑦 de zéro. Mais il n’y a pas d’autres coordonnées 𝑥 pour le faire, c’est donc une courbe qui touche juste l’axe des 𝑥 en un seul endroit.

Jetons donc un œil à un autre exemple. 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus trois. Alors maintenant, 𝑎 est deux, 𝑏 est un et 𝑐 est trois. Et placer ces nombres dans notre formule du discriminant nous donne un discriminant de un carré moins quatre fois deux fois trois ; c’est moins vingt trois. Et quand nous essayons de résoudre ce problème maintenant, nous devons trouver la racine carrée de moins vingt trois. Mais vous ne pouvez pas obtenir une racine carrée d’un nombre négatif parce que si je prends un nombre multiplié par lui-même, que ce soit positif ou négatif, je vais toujours obtenir une réponse positive.

Voici donc un exemple de quadratique qui n’a pas de racine. En d’autres termes, il n’y a pas de coordonnées 𝑥 qui génèrent une coordonnée 𝑦 de zéro. Nous ne pouvons trouver aucune valeur réelle de 𝑥, qui va nous permettre de calculer cette racine carrée d’un nombre négatif ici. Nous pouvons donc utiliser ces informations, simplement en analysant le discriminant, pour dire s’il y aura deux racines, une racine ou aucune racine pour notre équation du second degré. Si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est strictement supérieur à zéro, alors il y aura deux racines. Donc, vous pouvez simplement calculer la valeur de 𝑏 au carré, la valeur de quatre 𝑎𝑐, et si 𝑏 au carré est strictement supérieur à quatre 𝑎𝑐, alors vous savez qu’il y aura deux racines. Si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à zéro, cette racine carrée va être nulle. Donc on va juste avoir une racine.

Et peut-être un moyen plus rapide de repérer, c’est que si la valeur de 𝑏 au carré est égale à quatre 𝑎𝑐, cela signifie la même chose ; ça va juste être une racine. Et si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est strictement inférieur à zéro, vous allez essayer de calculer la racine carrée d’un nombre négatif. Ce n’est pas un calcul ; il n’y aura pas de racine. Et cela se produit lorsque le carré de 𝑏 est strictement inférieur à quatre fois 𝑎 fois 𝑐.

Bon alors. Avant de partir, je veux juste que vous vous posiez ces trois questions.

Combien de racines ont ces expressions du second degré ? Donc, nous allons mettre la coordonnée 𝑦 égale à zéro et voir combien de solutions nous obtenons. Et je veux que vous le fassiez en analysant le discriminant dans chaque cas. Je suis donc — je vais- une pause de démarrage maintenant et je vais attendre quelques secondes, puis je vais expliquer les réponses.

Bien. Donc, dans chaque cas, la première chose à faire est d’écrire la valeur de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Et puis nous pouvons utiliser ces valeurs pour évaluer le discriminant. Et le discriminant, rappelez-vous, est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐.

Donc, avec cette première question, c’est cinq au carré moins quatre fois deux fois cinq. C’est donc vingt-cinq moins quarante, ce qui est moins quinze. Donc, dans ce cas, le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est strictement inférieur à zéro et cela signifie qu’il n’y a pas de racine réelle.

Passant au numéro deux, nous pouvons voir que 𝑎 vaut deux, 𝑏 vaut moins quatre et 𝑐 vaut deux. Le discriminant est donc 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. C’est donc moins quatre carré moins quatre fois deux fois deux. Eh bien, quatre au carré font seize et quatre fois deux font huit, fois deux font seize. Nous avons donc seize moins seize, c’est donc égal à zéro. Donc, 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, le discriminant, est égal à zéro et cela signifie que nous avons une racine double.

Et pour la dernière question, nous avons 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à un car ceci signifie un fois 𝑥 et 𝑐 est égal à moins trois. Et le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est un carré moins quatre fois deux fois moins trois. Maintenant quatre fois deux, c’est huit fois trois, c’est vingt-quatre. Nous supprimons donc moins vingt quatre, ce qui signifie que nous ajoutons vingt-quatre.

Faites donc attention à ces situations ; nous enlevons quelque chose, mais parce que l’un d’entre eux, la valeur 𝑐 dans ce cas, était moins un, nous avons le double signe moins. Le discriminant vaut donc vingt-cinq, ce qui est positif. Cela signifie donc que dans la formule du discriminant, nous trouverons la racine carrée de vingt-cinq, qui serait plus ou moins cinq. Nous ajoutons ou soustrayons donc quelque chose à notre réponse. Donc, le discriminant est supérieur à zéro, donc dans ce cas, numéro trois, nous avons deux racines.

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