Vidéo de la leçon: Discriminant d’une équation du second degré | Nagwa Vidéo de la leçon: Discriminant d’une équation du second degré | Nagwa

Vidéo de la leçon: Discriminant d’une équation du second degré Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le discriminant d’une équation du second degré et à en déduire le nombre et le type de ses racines (solutions) sans la résoudre.

11:02

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner quelques graphiques de fonctions du second degré et trouver des liens entre leur aspect et les différents coefficients de leurs équations. Nous expliquerons l’origine de ces liens à partir de la formule quadratique.

Rappelez-vous qu’une équation du second degré a un terme en 𝑥 au carré, un terme en 𝑥 et un terme constant. Donc, c’est un nombre multiplié par 𝑥 au carré, plus ou moins un nombre multiplié par 𝑥, plus ou moins une constante.

Par exemple, 𝑦 égale trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins cinq. Dans ce cas, la valeur 𝑎 est positive, elle vaut plus trois. La valeur 𝑏 est positive, elle vaut plus deux. Mais la valeur 𝑐 est négative, elle vaut moins cinq.

Un autre exemple, 𝑦 égale moins deux 𝑥 au carré. Donc, dans ce cas, la valeur 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, est moins deux. Mais les coefficients du terme en 𝑥 et de la constante sont 𝑏 égale zéro et 𝑐 égale zéro.

Dernier exemple, 𝑦 égale un quart de 𝑥 au carré plus deux cinquièmes. Dans ce cas, 𝑎 vaut un quart, 𝑏 vaut zéro et 𝑐 vaut deux cinquièmes.

Donc 𝑏 ou 𝑐 peuvent être nuls, mais pour qu’on ait une équation du second degré, 𝑎 ne peut pas être nul.

Si on trace la courbe d’une fonction du second degré, on a toujours une parabole symétrique comme celles-ci, en forme de U à l’endroit ou à l’envers. Vous vous souvenez peut-être que la valeur de 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, indique si la courbe est plutôt large ou mince et dans quelle direction elle est tournée : une courbe en forme de sourire pour 𝑎 positif, une courbe triste pour 𝑎 négatif, tournée vers le bas. Et si on modifie le coefficient de 𝑥, la valeur 𝑏, on déplace la courbe vers la gauche ou vers la droite. Et la valeur 𝑐, le terme constant, donne la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est nul. C’est-à-dire l’ordonnée à l’origine, là où la courbe coupe l’axe des ordonnées.

Donc, l’observation des coefficients et du terme constant en dit beaucoup sur l’aspect de la courbe de la fonction. Et à l’inverse, si on regarde le graphique, on peut en déduire les coefficients. Mais il y a aussi un autre aspect à connaître. Où la courbe coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Autrement dit, quelles valeurs de 𝑥 ont pour image zéro ?

Vous avez peut-être passé beaucoup de temps à chercher ce genre de choses, peut-être par lecture graphique, par essais et améliorations systématiques. Peut-être par factorisation, ou à l’aide de la formule quadratique, voire par complétion du carré. Peut-être avez-vous remarqué que parfois vous obtenez deux réponses, parfois une seule, parfois aucune. Peut-être que cette expression du second degré n’est pas factorisable, ou bien la formule n’a pas fonctionné et votre calculatrice a indiqué une erreur.

Certaines équations du second degré ont deux racines ; en effet, elles coupent l’axe des abscisses à deux endroits. Il y a donc deux valeurs de 𝑥 dont l’ordonnée est 𝑦 égale zéro. Certaines ont une seule racine. Pour ce qu’on appelle racines doubles, ce sont deux racines, mais elles se trouvent au même endroit. Et d’autres n’ont pas de racines, en tout cas pas de racines réelles. Il existe les nombres dits imaginaires ou complexes, qui permettent de trouver des racines non réelles. Mais nous n’allons pas en parler pour le moment. Donc, si la courbe fait demi-tour et remonte, ou fait demi-tour et redescend selon qu’elle vienne du haut ou du bas, sans jamais couper l’axe des abscisses, alors il n’y a pas de racines. En effet, aucun point de cette courbe n’a une ordonnée 𝑦 égale zéro. Aucune des valeurs de 𝑥 n’a une image 𝑦 égale à zéro.

Examinons cette formule quadratique. Les solutions de 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑎 est non nul, sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

L’idée est donc simplement de prendre la formule quadratique et d’y insérer les valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Et vous obtenez les abscisses 𝑥 pour lesquelles l’ordonnée 𝑦 est nulle. Mais qu’il y ait deux solutions, une seule solution ou aucune solution, tout dépend de cette expression ici ; on l’appelle le discriminant. Ainsi, quand on applique la formule quadratique, on doit calculer la racine carrée du discriminant afin de trouver les abscisses 𝑥 des points où la courbe coupe l’axe des abscisses. Voici le problème. Donc, si le discriminant est positif, on calcule la racine carrée d’un nombre positif. Et ça donne deux valeurs différentes, une positive et une négative, ce qui donne deux valeurs de 𝑥. Si le discriminant est nul, alors on a la racine carrée de zéro, qui est zéro. Il n’y a donc qu’une valeur, on n’obtient qu’une seule valeur. Et si le discriminant est négatif, on se retrouve avec la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui n’existe pas, à moins d’inventer un nouveau système de nombres appelés nombres imaginaires.

Voyons maintenant quelques exemples. Donc, si 𝑦 égale 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus deux, on a 𝑎 égale un, 𝑏 égale trois et 𝑐 égale deux. Donc, si on fixe l’ordonnée 𝑦 à zéro afin de savoir où la courbe coupe l’axe des 𝑥, si on utilise ces valeurs dans la formule quadratique, alors le discriminant est trois au carré… Égale neuf, moins quatre fois un fois deux ; ça fait huit. Donc, neuf moins huit, égale un. On a donc plus ou moins la racine carrée de un. Plus un fois plus un égale un, moins un fois moins un égale un. On obtient donc deux solutions. Donc, pour cette équation particulière, le point d’abscisse moins un a pour ordonnée zéro, et le point d’abscisse moins deux a pour ordonnée zéro. Autrement dit, la courbe coupe l’axe des 𝑥 en deux points : pour 𝑥 égale moins un et pour 𝑥 égale moins deux. Ainsi, lorsque le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est positif, les équations ont deux racines réelles ; il y a deux abscisses 𝑥 de points dont l’ordonnée 𝑦 est nulle.

Très bien. Passons à un autre exemple. 𝑦 égale 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Donc, dans cette expression du second degré, 𝑎 égale un, 𝑏 égale deux et 𝑐 égale un. Donc, si on écrit 𝑦 égale zéro pour chercher les abscisses des points d’intersection avec l’axe des 𝑥, et si on utilise la formule quadratique, alors l’intérieur de la racine carrée, le discriminant, est égal à quatre moins quatre, soit zéro. Ainsi, si on résout cette équation, les valeurs de 𝑥 sont moins deux plus ou moins la racine carrée de zéro. Évidemment, la racine carrée de zéro est zéro. Donc on ajoute zéro à moins deux et on soustrait zéro de moins deux. Donc, clairement, les deux solutions sont exactement les mêmes, ici moins un. Ainsi, le point d’abscisse 𝑥 égale moins un a pour ordonnée 𝑦 égale zéro. Mais c’est la seule abscisse 𝑥 qui annule l’équation, c’est donc une courbe qui coupe l’axe 𝑥 en un seul point.

Voyons un autre exemple. 𝑦 égale deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus trois. Donc maintenant, 𝑎 égale deux, 𝑏 égale un et 𝑐 égale trois. Et insérant ces nombres dans la formule quadratique, on obtient un discriminant de un au carré moins quatre fois deux fois trois ; c’est moins vingt-trois. Pour résoudre cette équation, on doit trouver la racine carrée de moins vingt-trois. Mais on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif, parce que si on multiplie un nombre par lui-même, qu’il soit positif ou négatif, le résultat est toujours positif.

Donc, voilà un exemple d’équation du second degré qui n’a pas de racine. Autrement dit, il n’y a aucune abscisse d’un point de la courbe dont l’ordonnée est égale à zéro. On ne peut pas trouver de valeurs réelles de 𝑥 permettant de calculer cette racine carrée d’un nombre négatif. On peut utiliser cette information, une simple analyse du discriminant, pour en déduire qu’une équation du second degré a deux racines, une seule racine ou aucune racine. Si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est positif, alors il y a deux racines. Donc, on peut simplement calculer la valeur de 𝑏 au carré, la valeur de quatre 𝑎𝑐, et si 𝑏 au carré est supérieur à quatre 𝑎𝑐, alors il y a deux racines. Si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à zéro, cette racine carrée est nulle. Il y a donc une seule racine.

Pour aller peut-être un peu plus vite, regardez si la valeur de 𝑏 au carré est égale à quatre 𝑎𝑐, ça revient au même ; il n’y a qu’une racine. Et si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est négatif, on se retrouve à chercher la racine carrée d’un nombre négatif. Ça ne marche pas ; il n’y a pas de racine. C’est lorsque le carré de 𝑏 est inférieur à quatre fois 𝑎 fois 𝑐.

Très bien. Avant de terminer, vous allez répondre à ces trois questions.

Combien de racines ont ces trois équations ? Nous allons donc fixer l’ordonnée 𝑦 à zéro et voir le nombre de solutions obtenues. Pour ce faire, vous allez analyser le discriminant dans chaque cas. Donc maintenant je fais une petite pause de quelques secondes, puis je vais expliquer les réponses.

Bien. Donc, dans chaque cas, on commence par trouver les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Puis on utilise ces valeurs pour calculer le discriminant. Pour rappel, le discriminant est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐.

Donc, pour la première question, c’est cinq au carré moins quatre fois deux fois cinq. Ce qui fait vingt-cinq moins quarante, soit moins quinze. Donc, dans ce cas, le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est inférieur à zéro, ce qui veut dire qu’il n’y a pas de racines réelles.

Passons à la question deux, on voit que 𝑎 égale deux, 𝑏 égale moins quatre et 𝑐 égale deux. Et le discriminant est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Donc, c’est moins quatre au carré moins quatre fois deux fois deux. Eh bien quatre au carré font seize et quatre fois deux font huit ; fois deux, seize. On a donc seize moins seize, donc c’est égal à zéro. Donc, 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, le discriminant, est égal à zéro, ce qui veut dire qu’on a une racine double.

Et pour la dernière question, on a 𝑎 égale deux, 𝑏 égale un, car c’est une fois 𝑥, et 𝑐 égale moins trois. Et le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est un au carré moins quatre fois deux fois moins trois. Quatre fois deux font huit ; fois trois, vingt-quatre. Donc on retranche moins vingt-quatre, ce qui revient à ajouter vingt-quatre.

Faites bien attention dans ce cas ; on retranche quelque chose, mais comme une des valeurs, ici la valeur 𝑐, est négative, on a deux signes moins. Donc, le discriminant est vingt-cinq, ce qui est positif. Ainsi, dans la formule quadratique, on a plus ou moins la racine carrée de vingt-cinq, qui donne plus ou moins cinq. On ajoute ou on retranche quelque chose au résultat. Donc, le discriminant est positif, donc pour la question trois, on a deux racines.

Télécharger l’application Nagwa Classes

Assistez à des séances, chattez avec votre enseignant ainsi que votre classe et accédez à des questions spécifiques à la classe. Téléchargez l’application Nagwa Classes dès aujourd’hui !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité