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Dans un système stellaire, il y a deux planètes. La première a une masse de 1,2 fois 10 puissance 22 kilogrammes, un rayon de 4 000 kilomètres, et l’accélération gravitationnelle à sa surface est 𝑔 indice un, alors que la deuxième planète a une masse de six fois 10 puissance 21 kilogrammes, un rayon de 8 000 kilomètres, et l’accélération gravitationnelle à sa surface est 𝑔 indice deux. Trouvez le rapport 𝑔 indice un sur 𝑔 indice deux, étant donné que la constante gravitationnelle universelle est de 6,67 fois 10 puissance moins 11 newton mètres carrés par kilogramme carré.
Donc, dans ce problème, ce que nous examinons est la loi de Newton de la gravitation universelle. Donc, nous pourrions utiliser la formule, qui est que la force gravitationnelle, 𝐹 indice 𝐺, égale à 𝐺 majuscule, qui est la constante gravitationnelle universelle, multipliée par 𝑚 indice un multiplié par 𝑚 indice deux sur 𝑟 au carré, où 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux sont les masses des deux corps et 𝑟 est la distance qui les sépare. Cependant, cela n’est pas particulièrement utile dans ce problème car dans ce problème, nous examinons l’accélération due à la pesanteur sur chacune des surfaces des planètes. Et nous ne regardons pas la force gravitationnelle entre elles. Alors, qu’allons-nous faire ?
Eh bien, ce que nous allons faire, c’est utiliser une formule dérivée de la loi universelle de gravitation et de la deuxième loi de Newton. Et c’est 𝑔 est égal à 𝐺 majuscule sur 𝑟 au carré. Et c’est là que petit 𝑔 est l’accélération due à la pesanteur. Ensuite, nous avons notre rayon 𝑟. Dans ce cas, ça va être le rayon de la planète à laquelle nous nous intéressons. Ensuite, nous avons grand 𝐺 ou 𝐺 majuscule, qui est notre constante gravitationnelle universelle, et puis 𝑚 est la masse de la planète. Maintenant que nous avons cela, ce que nous pouvons faire, c’est l’utiliser pour déterminer l’accélération due à la pesanteur à la surface de chacune de nos planètes.
Eh bien, si nous commençons par notre première planète, et que nous appelons la masse de cette première planète 𝑚 indice un, cela équivaut à 1,2 fois 10 puissance 22 kilogrammes. Et puis nous avons 𝑟 un, qui est notre rayon, et il va être de 4 000 kilomètres. Cependant, si nous regardons maintenant notre constante gravitationnelle universelle, nous pouvons voir que ses unités sont en newton mètres carrés par kilogramme carré. Donc, par conséquent, nous voulons travailler en mètres, nous allons donc convertir 4 000 kilomètres en mètres. Et pour ce faire, nous allons simplement multiplier par 1 000, ce qui signifie que le rayon de notre première planète sera de quatre millions de mètres.
D’accord, super, alors maintenant nous avons tout ce dont nous avons besoin pour déterminer l’accélération due à la pesanteur à la surface de notre première planète. Donc, nous pouvons dire que 𝑔 indice un, l’accélération due à la pesanteur sur la première planète, va être égale à 6,67 fois 10 puissance moins 11 multiplié par 1,2 fois 10 puissance 22 sur quatre millions au carré. Et cela va nous donner une accélération due à la pesanteur sur la première planète de 0,050025 mètre par seconde au carré. Bon, maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est passer à la deuxième planète, et nous pouvons libérer de l’espace pour nous aider dans notre travail.
Eh bien, pour notre deuxième planète, nous savons que la masse est six fois 10 puissance 21 kilogrammes et le rayon est égal à 8 000 kilomètres. Mais encore une fois, nous voulons travailler en mètres. Donc, ce que nous allons faire, c’est multiplier par 1 000, ce qui sera égal à huit millions de mètres. Nous avons donc maintenant toutes les informations dont nous avons besoin pour déterminer l’accélération due à la pesanteur à la surface de la deuxième planète. Donc, ce que nous pouvons dire, c’est que 𝑔 indice deux, l’accélération due à la pesanteur sur la deuxième planète, sera égale à 6,67 fois 10 puissance moins 11 fois six fois 10 puissance 21 sur huit millions au carré, ce qui va nous donner une accélération due à la pesanteur de 6,253125 fois 10 puissance moins trois mètres par seconde au carré.
Très bien, nous avons maintenant les accélérations dues à la pesanteur sur les deux surfaces. Mais ce n’est pas la réponse, car ce que nous voulons, c’est trouver le rapport entre elles, ce que nous allons voir maintenant. Donc, cela va nous donner un rapport de 0,050025 sur 6,253125 fois 10 puissance moins trois. Eh bien, c’est compliqué. Donc, ce que nous pouvons faire, c’est simplifier cela. Et ce que nous pouvons essayer, c’est diviser par la plus petite quantité, donc la valeur sur le côté droit. Ainsi, lorsque nous divisons par 6,253125 fois 10 puissance moins trois, nous obtenons un rapport de huit pour un. Nous pouvons donc dire que le rapport de la première planète à la deuxième planète lorsque nous regardons leur accélération due à la pesanteur sur les surfaces est de huit pour un.
