Transcription de la vidéo
Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑥 à la puissance quatre moins 625, le tout divisé par 𝑥 au cube moins 125.
Dans cette question, on nous demande de calculer la limite d’une fonction rationnelle. Et nous rappelons que nous pouvons essayer de le faire en utilisant la substitution directe. Nous substituons 𝑥 est égal à cinq dans notre fonction rationnelle pour obtenir cinq à la puissance quatre moins 625 divisé par cinq au cube moins 125. Cependant, si nous calculons le numérateur et le dénominateur de cette expression, nous voyons que c’est égal à zéro divisé par zéro. C’est une forme indéterminée. Ceci ne signifie pas que nous ne pouvons pas calculer cette limite. Tout ce que cela signifie c’est que nous ne pouvons pas calculer cette limite en utilisant uniquement la substitution directe. Nous allons donc devoir utiliser une méthode différente.
Et il existe différentes façons de calculer cette limite. Le moyen le plus simple est de remarquer que cette limite est donnée sous la forme de la limite d’une différence de puissances. Ceci signifie que nous pouvons calculer cette limite en rappelant le résultat suivant. La limite lorsque 𝑥 tend vers une constante 𝑎 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑎 à la puissance 𝑛 le tout divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑎 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 divisé par 𝑚 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚. Et cela à condition que 𝑚 ne soit pas égale à zéro et que 𝑎 à la puissance 𝑛, 𝑎 à la puissance 𝑚, et 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚 existent.
Nous savons que 625 est cinq à la puissance quatre et 125 est cinq au cube. Nous pouvons donc réécrire notre limite lorsque la limite quand 𝑥 tend vers cinq de 𝑥 à la puissance quatre moins cinq à la puissance quatre le tout divisé par 𝑥 au cube moins cinq au cube. Maintenant nous pouvons voir que nous avons réécrit cela sous la forme d’une limite de différence de puissances. Notre valeur de 𝑎 est cinq, notre valeur de 𝑛 est quatre et notre valeur de 𝑚 est trois. Par conséquent, nous pouvons calculer notre limite en utilisant notre résultat de limite. Nous substituons ces valeurs pour obtenir quatre tiers multipliés par cinq à la puissance quatre moins trois. Et nous pouvons calculer la valeur de cette expression. Quatre moins trois est égal à un, et cinq à la puissance un est égale lui-même. C’est égal à cinq. Cinq fois quatre sur trois c’est 20 divisé par trois, ce qui est notre réponse finale. Et c’est la façon la plus simple de répondre à cette question.
Cependant, il peut être utile de rappeler algébriquement pourquoi ce résultat est vrai. Donc au lieu de cela, nous allons également passer par la façon algébrique de calculer cette limite. Ceci aidera à réitérer pourquoi le résultat de notre limite est vrai. Pour calculer cette limite algébriquement, nous rappelons que lorsque nous avons substitué 𝑥 est égal à cinq dans notre fonction rationnelle, nous avons obtenu zéro divisé par zéro. Si on prend en compte les propriétés de la division euclidienne des polynômes, cela signifie que le polynôme de notre numérateur et le polynôme de notre dénominateur sont divisibles par 𝑥 moins cinq. Pour calculer cette limite algébriquement, nous voulons simplifier tous les facteurs communs de 𝑥 moins cinq au numérateur et au dénominateur. Nous allons donc commencer par factoriser ces deux polynômes.
Commençons par le polynôme de notre numérateur. Nous pouvons voir que c’est une différence entre les carrés puisque 𝑥 à la puissance quatre est 𝑥 au carré le tout au carré et 625 c’est 25 au carré. Par conséquent, nous pouvons réécrire notre numérateur comme 𝑥 au carré plus 25 multiplié par 𝑥 au carré moins 25. Et on peut même remarquer quelque chose d’intéressant. 𝑥 au carré moins 25 est aussi une différence entre deux carrés. Donc, nous pouvons factoriser davantage. C’est égal à 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 plus cinq.
Maintenant, passons à la factorisation de notre dénominateur. Il y a plusieurs façons de le faire. Par exemple, nous pourrions utiliser la division algébrique pour éliminer un facteur de 𝑥 moins cinq. Cependant, le moyen le plus simple est de rappeler le résultat suivant. Pour un entier positif 𝑛, 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑎 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un plus 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins deux. Et nous ajoutons des termes de cette forme jusqu’à 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un. En appliquant ce résultat, nous obtenons que le dénominateur est égal à 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus 25. Et c’est exactement le même résultat que nous aurions obtenu en utilisant la division euclidienne des polynômes.
Et maintenant, nous fixons la limite de ces deux fonctions rationnelles pour qu’elles soient égales. Nous voyons aussi que nous prenons la limite de cette fonction lorsque 𝑥 s’approche de cinq. Et rappelez-vous, cela signifie que nous voulons savoir ce qui arrive aux résultats de notre fonction lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de cinq. Ainsi la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à cinq ne changera pas la valeur de cette limite. Cela signifie que nous pouvons simplifier le facteur commun de 𝑥 moins cinq au numérateur et au dénominateur de cette fonction. Si 𝑥 n’est pas égal à cinq, 𝑥 moins cinq divisé par 𝑥 moins cinq est égal à un. Cela nous donne alors la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑥 au carré plus 25 multiplié par 𝑥 plus cinq le tout divisé par 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus 25.
Et maintenant, nous pouvons simplement calculer cette limite en utilisant la substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à cinq dans notre fonction rationnelle, nous obtenons cinq au carré plus 25 multiplié par cinq plus cinq le tout divisé par cinq au carré plus cinq fois cinq plus 25. Nous pouvons alors calculer cette expression. Nous obtenons 50 fois 10 divisé par 75, ce qui, si nous simplifions, est égal à 20 divisé par trois. Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑥 à la puissance quatre moins 625, le tout divisé par 𝑥 au cube moins 125 est égal à 20 divisé par trois.
