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Calculez la valeur de l’expression sinus de deux 𝑋 sur trois multiplié par tangente de quatre 𝑋 sur trois plus cosinus de deux 𝑋 sur trois, sans utiliser de calculatrice, sachant que tangente de 𝑋 est égale à un, où 𝑋 est un angle aigu.
Comme 𝑋 est un angle aigu, nous savons qu’il est compris entre zéro et 90 degrés. Nous allons maintenant utiliser notre connaissance des fonctions trigonométriques inverses ainsi que des angles particuliers compris entre zéro et 90 degrés pour résoudre ce problème. On nous dit que tangente de 𝑋 est égale à un. En prenant l’arc tangente des deux côtés de cette équation, nous avons arc tangente de tangente 𝑋 est égal à arc tangente de un. Nous rappelons que si l’angle thêta est aigu, l’arc tangente de tangente thêta est égal à thêta. Cela signifie que le côté gauche de notre équation se simplifie en 𝑋. Et il est égal à l’arc tangente de un.
Un de nos angles particuliers indique que la tangente de 45 degrés est égale à un. En prenant l‘arc tangente des deux côtés de cette équation, nous voyons que 45 degrés est égal à l‘arc tangente de un. Cela signifie que 𝑋 est égal à 45 degrés.
À ce stade, il convient de rappeler tous nos angles particuliers : le sinus, le cosinus et la tangente de 30, 45 et 60 degrés. Le sinus de ces trois angles est égal à un demi, racine de deux sur deux et racine de trois sur deux, respectivement. Le cosinus des trois angles est égal à racine de trois sur deux, racine de deux sur deux et un demi. Comme la tangente de tout angle est égale au sinus de cet angle divisé par le cosinus de cet angle, nous pouvons calculer la tangente de 30 degrés en divisant le sinus de 30 degrés par le cosinus de 30 degrés. Un demi divisé par racine de trois sur deux est égal à un sur racine de trois. En répétant ce processus pour 45 et 60 degrés, nous obtenons des réponses de un et de racine de trois.
Nous pouvons maintenant utiliser toutes ces informations pour calculer la valeur du sinus de deux 𝑋 sur trois multipliée par la tangente de quatre 𝑋 sur trois plus le cosinus de deux 𝑋 sur trois. Comme 𝑋 est égal à 45 degrés, deux 𝑋 sur trois est égal à 30 degrés car deux multiplié par 45 fait 90 et diviser cela par trois nous donne 30. Quatre 𝑋 sur trois ou quatre tiers 𝑋 est donc égal au double de ceci. C’est-à-dire 60 degrés. L’expression que nous devons évaluer est donc égale au sinus de 30 degrés multiplié par la tangente de 60 degrés plus le cosinus de 30 degrés.
Ces trois valeurs apparaissent dans notre tableau. Elles sont égales à un demi, racine de trois et racine de trois sur deux, respectivement. Un demi multiplié par racine de trois est égal à racine de trois sur deux. Et nous devons ajouter racine de trois sur deux à cela. Comme les dénominateurs sont les mêmes, nous ajoutons simplement les numérateurs, ce qui nous donne deux racine de trois sur deux. En divisant le numérateur et le dénominateur par deux, cela se simplifie en racine de trois. Si la tangente de 𝑋 est égale à un où 𝑋 est un angle aigu, alors sinus de deux 𝑋 sur trois multiplié par tangente de quatre 𝑋 sur trois plus cosinus de deux 𝑋 sur trois est égal à racine de trois.
