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Sachant que 𝑥 multiplié par la matrice moins trois, moins huit, moins huit plus 𝑦 multiplié par la matrice zéro, zéro, sept moins 𝑧 multiplié par la matrice zéro, quatre, moins un est égal à la matrice moins 12, moins 28, moins 19. Déterminez les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
Eh bien, la première chose que nous faisons est de multiplier les matrices par 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Donc, tout d’abord, nous allons obtenir moins trois 𝑥, moins huit 𝑥, moins huit 𝑥. Ensuite, plus la matrice zéro, zéro, sept 𝑦. Et nous obtenons cela parce que 𝑦 multiplié par zéro est juste zéro. 𝑦 multiplié par l’autre zéro est juste zéro. Et ensuite, 𝑦 multiplié par sept est sept 𝑦.
Ensuite, on va avoir moins, puis la matrice zéro, quatre 𝑧, moins 𝑧. Et encore une fois, c’est parce que nous multiplions 𝑧 par zéro qui nous donne zéro, 𝑧 par quatre qui nous donne quatre 𝑧, puis 𝑧 par moins un qui est le même que moins un 𝑧. Mais nous écrivons simplement moins 𝑧. Ensuite, tout cela est égal à la matrice moins 12, moins 28, moins 19.
D’accord, super. Alors, que devons-nous faire maintenant si nous voulons évaluer et trouver les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 ? Eh bien, ce que nous pouvons faire, c’est créer un système d’équations avec les composantes correspondantes que nous avons. Donc, tout d’abord, nous allons commencer avec notre composante supérieure. Et nous pouvons voir à partir de notre composante supérieure, que nous avons moins trois 𝑥, puis plus zéro moins zéro, donc nous allons les ignorer, qui est égal à moins 12. Et je vais appeler ceci, l’équation un.
Alors ensuite, nous allons regarder les composantes suivantes. À partir de nos composantes suivantes, nous pouvons former l’équation moins huit 𝑥, puis nous avons plus zéro donc nous pouvons l’ignorer, moins quatre 𝑧 est égal à moins 28. Nous allons donc appeler ceci l’équation deux.
Ensuite, à partir des composantes du bas, nous pouvons former notre troisième équation. Et c’est moins huit 𝑥 plus sept 𝑦 moins moins 𝑧 est égal à moins 19. Mais nous savons que si nous soustrayons un nombre négatif, le résultat sera positif. Donc, nous pouvons réécrire ceci comme moins huit 𝑥 plus sept 𝑦 plus 𝑧 est égal à moins 19. D’accord, super. Donc, maintenant nous pouvons utiliser ces équations pour trouver 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Eh bien, je vais commencer par l’équation un. Et c’est parce que c’est la plus utile pour commencer parce que nous n’avons qu’une seule variable car elle contient simplement 𝑥.
Nous avons donc moins trois 𝑥 égale moins 12. Donc, ce que nous pouvons faire, c’est diviser chaque membre de l’équation par moins trois. Et c’est parce que si nous avons moins trois 𝑥, eh bien on veut un 𝑥 ou simplement 𝑥, on le divise par moins trois et on obtient 𝑥. Et quand nous faisons cela de l’autre membre de l’équation - parce que tout ce que nous faisons d’un côté, nous devons également le faire de l’autre - nous obtenons quatre car moins 12 divisé par moins trois est quatre, car un nombre négatif divisé par un nombre négatif donne un résultat positif.
Donc, cela nous a permis de trouver 𝑥. Ce que nous voulons faire maintenant, c’est trouver la variable suivante, c’est à dire 𝑧. Et nous allons le faire en substituant 𝑥 est égal à quatre dans l’équation deux. Et quand nous faisons cela, nous obtenons moins huit multiplié par quatre – car 𝑥 égale quatre - moins quatre 𝑧 est égal à moins 28. Eh bien, moins huit multiplié par quatre donne moins 32. Donc, nous avons moins 32 moins quatre 𝑧 égale moins 28.
Donc, nous pouvons ajouter 32 de chaque membre de l’équation. Et quand nous faisons cela, nous obtenons moins quatre 𝑧 est égal à quatre. Ainsi, si nous divisons les deux membres de l’équation par moins quatre pour isoler la variable 𝑧, nous obtenons 𝑧 est égal à moins un. Et c’est parce que si nous avions quatre divisé par moins quatre, nous aurions moins un, car un nombre positif divisé par un nombre négatif donne un résultat négatif.
Très bien, nous avons trouvé 𝑥 et 𝑧. Alors, passons maintenant à l’équation trois pour trouver 𝑦. Et nous pouvons le faire en substituant 𝑥 est égal à quatre et 𝑧 est égal à moins un. Ainsi, lorsque nous faisons cela, nous obtenons moins huit multiplié par quatre plus sept 𝑦 moins un est égal à moins 19. Et c’est encore parce que 𝑥 était égal à quatre et 𝑧 est égal à moins un. Comme nous l’avons déjà dit, moins huit multiplié par quatre donne moins 32, nous pouvons donc le réécrire comme moins 32 plus sept 𝑦 moins un égale moins 19.
Donc, si nous simplifions, nous obtenons sept 𝑦 moins 33 est égal à moins 19. Et c’est parce que moins 32 moins un donne moins 33. Et si nous ajoutons 33 de chaque membre de notre équation, ce que nous allons obtenir est sept 𝑦 est égal à 14. Ensuite, nous divisons les deux membres de l’équation par sept parce que nous voulons isoler 𝑦. Et quand nous faisons cela, nous avons 𝑦 est égal à deux.
Donc, maintenant nous avons trouvé les variables individuelles et nous pouvons dire que la valeur de 𝑥 est quatre, la valeur de 𝑦 est deux et la valeur de 𝑧 est moins un. Et ces valeurs sont correctes, étant donné que 𝑥 multiplié par la matrice moins trois, moins huit, moins huit plus 𝑦 multiplié par la matrice zéro, zéro, sept moins 𝑧 multiplié par la matrice zéro, quatre, moins un est égal à la matrice moins 12, moins 28 et moins 19.
