Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à multiplier une matrice par un scalaire et à identifier les propriétés de cette multiplication.
Une matrice est un tableau de nombres organisés en lignes et en colonnes. Avant d’apprendre à utiliser les matrices dans des applications pratiques, il faut d’abord apprendre à réaliser les différentes opérations matricielles. Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons à la multiplication de matrices par un scalaire.
Le terme « scalaire » fait référence à un nombre ; par exemple, ou . Comment peut-on multiplier une matrice, c’est-à-dire un tableau de nombres, par un scalaire tel que ou ? Commençons par donner la définition de cette opération algébrique dans le cas général.
Définition : Multiplication de matrice par un scalaire
Pour une matrice d’ordre définie par on réalise la multiplication par un scalaire . En multipliant chaque coefficient de par : On peut aussi dire que l’on « met à l’échelle » la matrice selon la constante .
Autrement dit, il est possible de multiplier une matrice par un nombre (un scalaire) en multipliant tous les coefficients de la matrice par ce nombre.
Prenons par exemple la matrice
Imaginons que l’on veuille multiplier cette matrice par la constante . Pour cela, on doit multiplier chacun des coefficients de par , ce qui nous donne
On calcule ensuite le résultat de chacun de ces produits et on obtient
La multiplication de matrices par un scalaire ne se limite pas aux entiers : le scalaire peut être une fraction, un nombre irrationnel ou même un nombre complexe. Si le scalaire est une fraction, il est d’usage de simplifier les fractions résultantes jusqu’à obtenir leur forme irréductible. Bien que cela ne soit pas strictement nécessaire, c’est une bonne habitude à prendre. Par exemple, prenons la matrice et entreprenons de la multiplier par la constante ; on obtient dans un premier temps
Puis, on réduit autant que possible toutes les fractions qui peuvent l’être ; on a alors
Comme on l’a vu, la multiplication d’une matrice par un scalaire multiplie chacun des coefficients de cette matrice par une constante. En se basant sur cette définition, il est facile de voir que la multiplication par un scalaire égal à 1 conserve la matrice d’origine tandis que la multiplication par un scalaire égal à 0 transforme toute matrice en la matrice nulle.
Propriété : Élément neutre et multiplication par zéro pour la multiplication de matrices par un scalaire
Pour toute matrice , on a et , où est la matrice nulle de même ordre que .
La multiplication de matrices par un scalaire peut donner lieu à des problèmes retors ; réservons ces derniers pour plus tard et commençons par une question simple.
Exemple 1: Multiplier une matrice par un scalaire
Soit la matrice trouvez .
Réponse
On rappelle que pour multiplier une matrice par un nombre (un scalaire), on multiplie chacun des coefficients de la matrice par ce nombre.
Ainsi, pour multiplier par 3, on multiplie chaque coefficient par ce nombre ; on a alors
Un principe fondamental de la multiplication de matrices par un scalaire est le fait d’appliquer le même procédé à chacun des coefficients. Tous, sans exception, sont multipliés par le même nombre ; la multiplication de matrices par un scalaire ne multiplie jamais deux coefficients différents par deux nombres différents. Nous verrons dans l’exemple suivant comment appliquer ce principe pour résoudre des problèmes d’algèbre linéaire.
Exemple 2: Trouver le scalaire par lequel une matrice est multipliée
Sachant que trouvez la valeur de .
Réponse
On rappelle que pour multiplier une matrice par un nombre (un scalaire), on multiplie chacun des coefficients de la matrice par ce nombre.
On va multiplier chacun des coefficients de la matrice du membre de gauche par , afin de trouver en résolvant l’équation résultante : que l’on peut réécrire
On rappelle que deux matrices sont égales si elles sont de même ordre et si chacun des coefficients de l’une est égal au coefficient situé à la même ligne et à la même colonne dans l’autre. On observe que les matrices ont toutes les deux 2 lignes et 2 colonnes. Elles sont donc de même ordre et l’on peut associer chaque coefficient de l’une au coefficient correspondant de l’autre.
On obtient alors le système d’équations linéaires suivant
La deuxième équation est triviale ; quant aux trois autres, on remarque qu’on peut toutes les résoudre en posant .
Lorsque tous les coefficients de la matrice qui nous intéresse partagent un diviseur commun, on choisit souvent de l’extraire de la matrice. Par exemple, la matrice peut être réécrite sous la forme
On constate que tous les coefficients sans exception ont un facteur 4 ; on peut donc le sortir de la matrice et l’on obtient
Dans certains cas, il peut être préférable de définir une nouvelle matrice qui nous permette d’écrire que
Voyons un exemple dans lequel nous extrairons un scalaire d’une matrice.
Exemple 3: Multiplication de matrice par un scalaire
Sachant la matrice quel est le plus grand nombre pour lequel aucun coefficient de n’est supérieur à 1 ?
Réponse
On rappelle que pour multiplier une matrice par un nombre (un scalaire), on multiplie chacun des coefficients de la matrice par ce nombre.
Ainsi, pour notre matrice , on a
On peut voir que si l’on pose , tous les coefficients sont égaux à zéro (c’est la matrice nulle), et, par conséquent, la condition de n’avoir aucun coefficient supérieur à 1 est vérifiée. Notre but, cependant, est de trouver le plus grand nombre permettant de vérifier cette condition ; on va donc essayer de trouver un nombre strictement positif .
Si on liste les coefficients positifs, on obtient , , , et . Le plus grand de ces coefficients est ; ainsi, pour que notre condition soit vérifiée, il faut que . Il en découle que . On a déjà établi que est un nombre positif, ce qui implique que les coefficients restants, , , et , sont tous négatifs ; ils sont donc inférieurs à 1 et vérifient la condition.
Sachant que l’on cherche une limite supérieure à la valeur de , la réponse est .
La multiplication par un scalaire est une opération courante en algèbre linéaire. Par ailleurs, avec l’addition, c’est peut-être l’opération algébrique la plus facile à comprendre. Pour autant, il serait incorrect de penser que les problèmes d’algèbre linéaire impliquant la multiplication par un scalaire sont forcément simples. Dans les deux prochains exemples, nous verrons que la multiplication de matrices par un scalaire peut être à l’origine de problèmes riches et intéressants, qui nous aideront à atteindre un meilleur niveau de compréhension.
Exemple 4: Résoudre des équations impliquant une multiplication de matrices par un scalaire
Soit l’équation matricielle suivante
Trouvez la valeur de solution de l’équation.
Réponse
On rappelle que pour multiplier une matrice par un nombre (un scalaire), on multiplie chacun des coefficients de la matrice par ce nombre. De la même manière, pour additionner deux matrices de même ordre, on additionne les deux coefficients situés à la même ligne et à la même colonne dans les deux matrices, et ce pour chaque paire de coefficients.
On commence par multiplier la première matrice du membre de droite par le scalaire :
Puis, une paire de coefficients après l’autre, on additionne les deux matrices du membre de droite pour trouver
On rappelle que deux matrices sont égales si elles sont de même ordre et si chacun des coefficients de l’une est égal au coefficient situé à la même ligne et à la même colonne dans l’autre. On observe que les matrices ont toutes les deux 2 lignes et 2 colonnes ; elles sont donc de même ordre.
On fait correspondre les deux coefficients apparaissant à la même ligne et à la même colonne dans les deux matrices et l’on obtient
La dernière équation nous donne et on constate que toutes les autres équations sont elles aussi vérifiées pour , il s’agit donc de notre solution. On peut s’en assurer en vérifiant que les deux membres de l’équation sont bien égaux lorsque l’on remplace par dans l’équation matricielle d’origine.
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé une constante inconnue dans une équation matricielle. Si l’on y regarde de plus près, on s’aperçoit qu’une équation matricielle donne lieu à un système d’équations. On peut donc trouver plusieurs constantes inconnues à partir d’une unique équation matricielle. Dans le dernier exemple, nous verrons le cas d’une équation matricielle comprenant trois constantes inconnues.
Exemple 5: Résoudre des équations impliquant la multiplication de matrices par un scalaire
Trouvez les nombres , et tels que
Réponse
On rappelle que pour multiplier une matrice par un nombre (un scalaire), on multiplie chacun des coefficients de la matrice par ce nombre. De même, pour additionner deux matrices de même ordre, on additionne les deux coefficients situés à la même ligne et à la même colonne dans les deux matrices, et ce pour chaque paire de coefficients.
On commence par introduire les scalaires à l’intérieur des matrices, ce qui nous donne
L’addition matricielle se réalisant coefficient par coefficient, on a
On rappelle que deux matrices sont égales si elles sont de même ordre et si chacun des coefficients de l’une est égal au coefficient situé à la même ligne et à la même colonne dans l’autre. On observe que les matrices ont toutes les deux 2 lignes et 2 colonnes ; elles sont donc de même ordre.
On fait correspondre les deux coefficients apparaissant à la même ligne et à la même colonne dans les deux matrices et on obtient le système d’équations
La troisième équation nous donne , que l’on peut remplacer dans la deuxième équation pour montrer que . Puis, en remplaçant par cette valeur de soit dans la première, soit dans la quatrième équation, on trouve que .
La multiplication de matrices par un scalaire présente de nombreuses propriétés très utiles lorsqu’on la combine à l’addition matricielle. Comme on le sait, en algèbre conventionnelle, les quantités , et suivent toujours la règle connue sous le nom de « distributivité de la multiplication sur l’addition ». Il s’avère que cette propriété s’applique également à la multiplication de matrice par un scalaire combinée à l’addition matricielle.
Théorème : Propriété de la distributivité
La multiplication de matrices par un scalaire est « distributive » lorsqu’elle est combinée à l’addition matricielle. Autrement dit, si est un scalaire et si et sont des matrices de même ordre, alors
Vérifions ce résultat à travers un exemple. On pose et on définit deux matrices telles que
Alors, et, par conséquent,
On aurait aussi pu commencer par calculer
Puis calculer
Ainsi, nous avons montré dans cet exemple que . À travers notre exemple, nous n’avons fait qu’illustrer le théorème ; il serait bien sûr possible de le prouver de façon rigoureuse, sans faire référence à un exemple en particulier.
La multiplication de matrices par un scalaire peut nous évoquer une opération matricielle triviale ; pour autant, une bonne maîtrise de ce concept fait souvent la différence entre une résolution de problème longue, compliquée et une résolution courte et simple. Il est généralement judicieux de vérifier s’il existe un facteur commun à tous les coefficients de la matrice sur laquelle on travaille ; le cas échéant, on peut extraire ce scalaire de la matrice.
Pour conclure cette fiche explicative, récapitulons quelques concepts essentiels.
Points clés
- Multiplier une matrice par un scalaire signifie que chaque coefficient de la matrice est multiplié par .
- Si tous les coefficients d’une matrice partagent un facteur commun, on peut extraire ce scalaire de la matrice en inversant la multiplication scalaire.
- La multiplication de matrices par un scalaire est distributive. Autrement dit, pour tout scalaire et pour toutes matrices de même ordre et , on a
- Pour toute matrice , on a et , où est la matrice nulle de même ordre que .
