Vidéo de la leçon : Multiplication scalaire des matrices Mathématiques

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Multiplication scalaire des matrices

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier une matrice par un scalaire, c’est-à-dire un nombre réel, et nous allons voir les propriétés et les résultats qui découlent de cette définition. Avant de commencer avec les multiplications scalaires des matrices, rappelons que nous avons déjà vu la multiplication scalaire. Nous savons comment utiliser la multiplication scalaire et les vecteurs. Considérons le vecteur trois, moins quatre. Nous savons comment le multiplier par un nombre réel. Par exemple, on pourrait multiplier par cinq. On sait que pour multiplier un vecteur par cinq, on multiplie composante par composante. En d’autres termes, nous devons multiplier chaque composante par cinq.

Donc, lorsqu’on multiplie chaque composante par cinq, on obtient une nouvelle composante horizontale de cinq fois trois et une nouvelle composante verticale de cinq multipliée par moins quatre. Cela nous donne le nouveau vecteur avec une composante horizontale de 15 et une composante verticale de moins 20. En d’autres termes, nous avons agrandi notre vecteur d’un facteur de cinq. Il se trouve qu’on peut définir exactement la même opération pour des matrices. Pour commencer, considérons la matrice d’ordre 𝑚 𝑛, qui est comme suit. Autrement dit, l’élément sur la ligne 𝑖 et colonne 𝑗 de cette matrice est 𝑎 𝑖𝑗. Tout comme nous avons fait pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque élément de notre matrice par notre scalaire. Donc, si le scalaire est 𝑘, on peut définir 𝑘 fois 𝐴 comme suit.

On multiplie chaque élément de la matrice par 𝑘. Ceci est souvent appelé la mise à l’échelle de la matrice par un facteur de 𝑘 car on a multiplié chaque élément de la matrice par 𝑘. Et rappelons que nous pouvons également représenter cela par ce qui impacte chaque élément de notre matrice. Nous pouvons également représenter cela comme la matrice dont l’élément sur la ligne 𝑖 et colonne 𝑗 est 𝑘 fois 𝑎 𝑖𝑗. Voyons maintenant quelques exemples sur comment effectuer la multiplication scalaire des matrices.

Considérez la matrice 𝐴. Évaluez neuf fois 𝐴, où 𝐴 est égal à la matrice un deux, deux, moins un.

Dans cette question, on nous donne la matrice 𝐴 et nous devons évaluer neuf fois 𝐴. Rappelons que neuf est un nombre réel, on a donc une multiplication scalaire de notre matrice. Donc, pour répondre à cette question, nous devons nous rappeler comment multiplier une matrice par un scalaire. Pour ce faire, on multiplie chaque élément de la matrice par le scalaire. Nous devons donc multiplier l’élément de la première ligne et première colonne par neuf et l’élément de la première ligne et seconde colonne par neuf. Cela nous donne la matrice suivante et nous pouvons simplement la calculer.

Dans la première ligne et première colonne, on a neuf fois deux, qui est égal à 18. Et dans la première ligne et seconde colonne, on a neuf multiplié par moins un. Ce qui est égal à moins neuf et cela nous donne notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐴 est égal à la matrice un deux, deux, moins un, alors neuf 𝐴 est égal à la matrice un deux, 18, moins neuf.

Voyons maintenant un exemple qui nous montrera comment résoudre des équations en utilisant notre nouvelle définition pour multiplier les matrices par des scalaires.

Si 𝑥 fois la matrice deux deux, moins deux, zéro, moins trois, moins cinq est égale à la matrice deux deux, 14, zéro, 21, 35, quelle est la valeur de 𝑥 ?

On nous donne une équation impliquant deux matrices et 𝑥 et nous devons déterminer la valeur de 𝑥. Tout d’abord, nous devons remarquer en examinant notre équation, que 𝑥 est un nombre. Ce n’est pas une matrice. On le montre en écrivant 𝑥 en minuscules. Une autre raison pour laquelle on peut voir cela est qu’on nous demande de trouver la valeur de 𝑥. On demande de le faire uniquement lorsque 𝑥 représente un nombre. Donc, dans notre équation, lorsqu’on multiplie notre matrice 𝐴, il s’agit de la multiplication scalaire d’une matrice. Donc, la première chose que nous allons faire est de se concentrer sur 𝑥 multiplié par notre matrice et d’effectuer une multiplication scalaire pour réécrire cela sous une forme différente.

Pour ce faire, nous devons rappeler que lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie chaque coefficient de la matrice par le scalaire. Dans ce cas, nous devons multiplier tous les éléments par 𝑥. Ce faisant, nous obtenons la matrice deux deux avec les éléments 𝑥 fois moins deux, 𝑥 fois zéro, 𝑥 fois moins trois et 𝑥 fois moins cinq. Et bien sûr, nous pouvons évaluer ou simplifier tous ces éléments. Ce faisant, nous obtenons la matrice deux deux, moins deux 𝑥, zéro, moins trois 𝑥, moins cinq 𝑥.

Mais, dans la question, on nous dit que cette matrice est exactement égale à la matrice deux deux, 14, zéro, 21, 35. Nous avons donc montré que ces deux matrices sont égales. Pour trouver la valeur de 𝑥, nous allons devoir rappeler ce qu’on entend par deux matrices égales. Rappelons que deux matrices sont égales si tous les éléments de ces deux matrices sont égaux et qu’elles ont le même ordre. Bien sûr, ces deux matrices sont d’ordre deux deux. Donc, nous devons vérifier que tous leurs éléments sont égaux.

Ce faisant, on obtient une série d’équations. Lorsqu’on compare les éléments de la ligne un colonne un, on obtient 14 est égal à moins deux 𝑥. Lorsqu’on compare les éléments de la ligne un colonne deux de nos matrices, on obtient zéro est égal à zéro. Lorsqu’on compare les éléments de la ligne deux et colonne un de nos deux matrices, on obtient 21 est égal à moins trois 𝑥. Et enfin, lorsqu’on compare les éléments de la ligne deux colonne deux de nos matrices, on obtient 35 est égal à moins cinq 𝑥. Cela nous donne un système d’équations que nous devons résoudre. En fait, toutes ces équations sont affines, nous pourrions donc appeler cela un système d’équations affines.

Premièrement, nous pouvons voir que la deuxième équation est vraie pour toutes les valeurs de 𝑥. Ensuite, nous pouvons simplement résoudre les trois équations restantes. Nous allons diviser la première par moins deux, la deuxième par moins trois et la troisième par moins cinq. Et lorsqu’on fait cela, on constate que toutes ces équations sont résolues lorsque 𝑥 est égal à moins sept. Cela signifie que nous avons pu montrer que la valeur de 𝑥 est moins sept. Cependant, il convient également de souligner que nous pouvons confirmer cette réponse en introduisant la valeur de 𝑥 égale moins sept dans notre matrice, ou en substituant 𝑥 égale moins sept dans notre équation initiale. Nous pourrions alors vérifier que cela nous donne la bonne solution de l’équation.

Par conséquent, étant donné que 𝑥 fois la matrice deux deux, moins deux, zéro, moins trois, moins cinq était égal à la matrice deux deux 14, zéro, 21, 35, nous avons pu montrer que la valeur de 𝑥 doit être égale à moins sept.

Voyons maintenant un exemple de résultat utile qui découle de notre définition de la multiplication scalaire de matrice.

Si 𝐴 est égal à la matrice un trois ; huit, moins trois, un, quelle est la valeur de zéro 𝐴 ?

On nous donne une matrice 𝐴 et on nous demande d’évaluer zéro multiplié par 𝐴. Bien sûr, zéro est un nombre, c’est donc une multiplication scalaire de notre matrice. Nous allons commencer par rappeler comment multiplier une matrice par un scalaire. Nous rappelons que la multiplication scalaire d’une matrice signifie qu’on multiplie chaque élément par le scalaire. Dans ce cas, nous allons devoir multiplier chaque élément par zéro. Ce faisant, nous obtenons la matrice un trois avec dans la ligne un colonne un zéro fois huit ; ligne un, colonne deux zéro fois moins trois ; et ligne un, colonne trois zéro fois un. Et bien sûr, nous pouvons évaluer les expressions de tous nos éléments. Nous savons que zéro fois huit est égal à zéro, zéro fois moins trois est égal à zéro et zéro fois un est égal à zéro. Donc, cela nous donne la matrice un trois dans laquelle tous les éléments sont zéro, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐴 est égal à la matrice un trois, huit, moins trois, un, alors zéro 𝐴 sera égal à la matrice nulle d’ordre un trois.

Nous pouvons remarquer un résultat très utile à partir de cette question. Nous savons que tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro. Donc, en fait, la matrice importait peu. On aurait toujours obtenu une matrice dont tous les éléments sont zéro. Alors confirmons ce résultat. Si nous avons une matrice d’ordre 𝑚 𝑛, notée 𝐴. Nous allons appeler l’élément de la ligne 𝑖, colonne 𝑗 de cette matrice 𝐴 𝑎 𝑖𝑗, alors si nous multiplions notre matrice par le scalaire zéro, chaque élément à l’intérieur de notre matrice doit être zéro. En d’autres termes, cela devrait être égal à la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛, représentée par zéro 𝑚𝑛.

Et, nous pouvons prouver ce résultat. Nous pourrions faire cela en écrivant la matrice 𝐴 sous forme matricielle. Cependant, nous connaissons déjà l’élément de la ligne 𝑖 colonne 𝑗. Ainsi, lorsqu’on multiplie la matrice 𝐴 par le scalaire zéro, on multiplie chaque élément par zéro. En d’autres termes, l’entrée de la ligne 𝑖 colonne 𝑗 de cette matrice est zéro fois 𝑎 𝑖𝑗. Cependant, nous savons que pour tout nombre, zéro fois ce nombre sera toujours égal à zéro. En d’autres termes, pour tout 𝑖 et tout 𝑗, zéro fois 𝑎 𝑖𝑗 est égal à zéro. Ainsi, chaque élément de notre matrice est égal à zéro. En d’autres termes, cela est égal à la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛.

Et il est important de rappeler que nous devons maintenir l’ordre de notre matrice car la multiplication scalaire ne change pas l’ordre de la matrice. Mais ce n’est pas le seul résultat utile que nous pouvons obtenir de cette définition de la multiplication scalaire. Une autre question que nous pouvons nous poser est la suivante : qu’est-ce que un multiplié par une matrice 𝐴 ? Rappelons que lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie chaque élément de cette matrice par le scalaire. Donc, dans ce cas, on multiplie chaque élément de notre matrice par un. Bien sûr, cela ne changera la valeur d’aucun de nos éléments. Donc, cela devrait être égal à 𝐴.

Et en fait, nous pouvons le prouver en utilisant une méthode très similaire à celle que nous avons utilisée précédemment. Lorsqu’on multiplie la matrice 𝐴 par le scalaire un, on multiplie chaque élément de la matrice 𝐴 par un. En d’autres termes, l’élément de la ligne 𝑖 colonne 𝑗 sera égale à un fois 𝑎 𝑖𝑗 car nous savons que l’élément de la ligne 𝑖 colonne 𝑗 de la matrice 𝐴 est 𝑎 𝑖𝑗. Et bien sûr, un multiplié par n’importe quel nombre est égal à ce nombre. Donc, un fois 𝑎 𝑖𝑗 sera égal à 𝑎 𝑖𝑗 pour toutes les valeurs de 𝑖 et 𝑗. Par conséquent, les éléments de notre matrice ne changent pas. L’entrée de la ligne 𝑖 colonne 𝑗 est juste 𝑎 𝑖𝑗. Par conséquent, nous avons montré que pour toute matrice 𝐴, un fois 𝐴 est égal à 𝐴.

Et c’est un autre résultat utile dont nous aurons besoin plus tard. Nous voulons poser la question, quelle est la valeur de moins un 𝐴 ? Bien sûr, nous savons comment faire cela. On multiplie chaque élément de la matrice 𝐴 par moins un. Donc, cela semble suggérer que moins un fois 𝐴 sera égal à moins 𝐴. Et pour exprimer pleinement cela, nous allons devoir rappeler exactement ce qu’on entend par moins 𝐴. Le moyen le plus simple de le faire est de penser à ce qui se passe si on soustrait une matrice d’elle-même.

Rappelons que lorsqu’on soustrait des matrices, on procède élément par élément. Ainsi, lorsqu’on calcule la matrice 𝐴 moins elle-même, chaque élément est soustrait de lui-même. Chaque élément sera zéro. Et bien sûr, elle garde l’ordre 𝑚𝑛. Alors peut-être une meilleure façon d’écrire cette équation serait d’ajouter notre matrice 𝐴 aux deux côtés de l’équation. Cela nous donnerait la formule équivalente 𝐴 plus moins un fois 𝐴 égale 𝐴 moins 𝐴. Et nous connaissons la valeur de 𝐴 moins 𝐴. C’est la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛. Et nous pourrions prouver cela exactement de la même manière que nous l’avons fait ci-dessus.

Premièrement, pour évaluer moins un multiplié par 𝐴, on utilise la multiplication scalaire. On multiplie chaque élément de notre matrice par moins un. Donc, dans la ligne 𝑖, colonne 𝑗, nous aurons 𝑎 𝑖𝑗 plus moins un fois 𝑎 𝑖𝑗. Et bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Moins un multiplié par 𝑎 𝑖𝑗 est égal à moins 𝑎 𝑖𝑗 pour toutes les valeurs de 𝑖 et 𝑗. Mais rappelons que, lorsqu’on additionne deux matrices, on procède élément par élément. Donc, dans la ligne 𝑖, colonne 𝑗, nous allons obtenir 𝑎 𝑖𝑗 moins 𝑎 𝑖𝑗, et un nombre moins lui-même est égal à zéro. Ainsi, chaque élément de notre matrice sera zéro. Cela sera égal à la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛.

Et il y a un résultat final que nous pouvons obtenir de cette définition de la multiplication scalaire. Avant de faire cela, créons un peu d’espace. Ce résultat sera très similaire à notre premier résultat. Cependant, cette fois, au lieu de multiplier une matrice par le scalaire zéro, nous allons plutôt multiplier une matrice nulle par n’importe quel scalaire. Si 𝑘 est un nombre quelconque, alors on peut considérer ce qui se passe lorsqu’on multiplie la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛 par 𝑘. Bien sûr, multiplier par le scalaire 𝑘 signifie qu’on multiplie chaque élément de la matrice nulle par 𝑘.

Mais tous les éléments de la matrice nulle sont zéro. Donc, nous aurons juste 𝑘 multiplié par zéro pour tous les éléments. Cela sera simplement égal à la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛. Et nous pourrions le prouver en utilisant une méthode très similaire à celle que nous avons utilisée plus tôt. Lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on doit multiplier chaque élément de la matrice par le scalaire. Donc, dans ce cas, on aura dans la ligne 𝑖, colonne 𝑗 ; 𝑘 multiplié par l’élément de la ligne 𝑖 colonne 𝑗 de la matrice nulle. Cependant, chaque élément de la matrice nulle est zéro. Donc, dans la ligne 𝑖, colonne 𝑗, on obtient 𝑘 fois zéro, ce qui est égal à zéro. Donc, cela est égal à la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛.

Voyons maintenant comment utiliser ces résultats pour résoudre des problèmes.

Soit 𝑍 une matrice deux trois dont les éléments sont tous zéro. Si 𝐴 est une matrice deux trois, laquelle des options suivantes est équivalente à cinq 𝐴 moins trois 𝑍 ? Option (A) deux fois 𝑍 fois 𝐴, option (B) moins deux fois 𝐴 fois 𝑍, option (C) moins trois 𝑍, option (D) cinq 𝐴 ou option (E) deux 𝐴.

Dans cette question, on nous donne une expression en fonction de deux matrices et nous devons déterminer laquelle des cinq options est égale à cette expression. En fait, il existe différentes façons de répondre à cette question. Cependant, il y a une chose importante que nous devons noter. La matrice 𝑍 et la matrice 𝐴 sont toutes deux des matrices deux trois. Cela signifie que le nombre de lignes d’une matrice et le nombre de colonne de l’autre matrice ne sont jamais égaux. Et lorsque cela se produit, cela signifie qu’on ne peut pas multiplier 𝐴 par 𝑍, et on ne peut pas multiplier 𝑍 par 𝐴. Donc, les options (A) et (B) ne peuvent pas être correctes.

Voyons maintenant ce que nous pouvons faire avec l’expression qui nous est donnée. Commençons par rappeler que 𝑍 est une matrice deux trois, dans laquelle chaque élément est égal à zéro. Maintenant, on peut écrire cela en termes de matrices. Cependant, on peut également écrire cela comme la matrice nulle d’ordre deux trois ; zéro deux trois. Écrivons maintenant entièrement la matrice 𝐴 et la matrice nulle. Pour ce faire, il faut rappeler qu’une matrice d’ordre deux trois a deux lignes et trois colonnes. Nous allons aussi appeler l’élément de la matrice 𝐴, ligne 𝑖, colonne 𝑗 𝑎 𝑖𝑗. Cela nous donne l’expression suivante.

Nous pouvons maintenant simplifier cette expression soit en utilisant notre définition de la multiplication scalaire d’une matrice, ou en utilisant le fait que pour tout nombre 𝑘, 𝑘 multiplié par la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛 est égal à la matrice nulle d’ordre 𝑚 𝑛. Cela nous donne que trois 𝑍 est égal à la matrice nulle d’ordre deux trois. Maintenant, nous voyons qu’on soustrait la matrice nulle de la matrice cinq 𝐴. Nous pouvons procéder de différentes façons. Par exemple, nous pourrions utiliser la définition de la multiplication scalaire pour introduire cinq dans notre matrice. Ensuite, nous pourrions utiliser la définition de la soustraction matricielle pour répondre à cette question.

Cependant, cela n’est pas nécessaire car on soustrait la matrice nulle du même ordre. Et pour faire cela, on soustrait zéro de chaque élément de notre matrice. Bien sûr, soustraire zéro ne changera aucune des valeurs, donc c’est juste cinq 𝐴. Et cela nous donne que l’option (D) est la bonne réponse. Il convient également de souligner que nous pourrions vérifier que l’option (C) et l’option (E) ne sont pas correctes dans tous les scénarios. Par exemple, si nous définissons 𝐴 comme égale à la matrice deux trois dans laquelle tous les éléments sont un, alors nous avons déjà montré que cinq 𝐴 moins trois 𝑍 doit être égal à cinq 𝐴. Et, bien sûr, cinq 𝐴 est chaque élément de 𝐴 multiplié par cinq. C’est la matrice deux trois dans laquelle chaque élément est cinq.

Ce n’est bien sûr pas égal à deux 𝐴, puisque ce serait la matrice deux trois dans laquelle chaque entrée est deux, et ce n’est pas égal à la matrice moins trois 𝑍 puisque nous avons déjà montré que ce sera égal à la matrice nulle d’ordre deux trois. Par conséquent, nous avons pu montrer que la seule option correcte est l’option (D) ; cinq 𝐴 moins trois 𝑍 est égal à cinq 𝐴.

Voyons maintenant une dernière propriété que nous pouvons obtenir de la multiplication scalaire des matrices. Nous allons d’abord montrer cette propriété en la regardant en action.

Soit 𝐴 et 𝐵 les deux matrices suivantes. Nous voulons calculer les deux expressions suivantes. Tout d’abord, nous voulons calculer trois multiplié par la somme de 𝐴 et 𝐵. Nous voulons ensuite calculer trois 𝐴 plus trois 𝐵.

Dans ce cas, nous vérifions si on peut distribuer trois sur nos parenthèses. Et si cela est possible en général, il s’agira d’une propriété de distributivité.

Commençons par la première expression. Évaluons trois fois 𝐴 plus 𝐵. Rappelons que nous devons d’abord évaluer l’expression à l’intérieur de nos parenthèses. Nous allons donc commencer par écrire nos matrices 𝐴 et 𝐵. Et rappelons que, lorsqu’on additionne deux matrices du même ordre, on additionne simplement leurs éléments ensemble. Donc, dans la ligne un, colonne un, on aura moins quatre plus trois qui est égal à moins un. Dans la ligne un, colonne deux, on a six plus sept, qui est égal à 13. Et nous pouvons faire la même chose pour trouver les autres éléments. On obtient moins cinq, 14, 13 et un.

Et rappelons qu’on doit multiplier cette matrice par trois. On multiplie donc cette matrice par le scalaire trois. Souvenez-vous toujours de ceci, on multiplie chaque élément de notre matrice par trois. Pour l’élément de la ligne un, colonne un de notre matrice, on a trois multiplié par moins un, qui est égal à moins trois. Pour l’élément de la ligne un, colonne deux, on a trois multiplié par 13, qui est égal à 39. Et nous pouvons faire la même chose pour trouver le reste des éléments. On obtient moins 15, 42, 39 et trois.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsqu’on calcule trois 𝐴 plus trois 𝐵. Encore une fois, nous allons commencer par écrire nos matrices 𝐴 et 𝐵. Cette fois, nous devons d’abord utiliser la multiplication scalaire pour multiplier nos deux matrices par trois. Rappelons qu’on le fait en multipliant chaque élément de la matrice par trois. Nous allons commencer par évaluer trois 𝐴. Lorsqu’on multiplie chaque élément par trois et que l’on simplifie, on obtient la matrice deux trois ; moins 12, 18, zéro, 24, 21, six. On peut alors faire la même chose pour calculer trois 𝐵 ; c’est égal à la matrice deux trois suivante.

Enfin, il ne nous reste plus qu’à additionner les deux. Rappelons que l’on procède en additionnant élément par élément. Lorsqu’on additionne les éléments de la ligne un, colonne un, on obtient moins 12 plus neuf, qui est égal à moins trois. Lorsqu’on additionne les éléments de la ligne un, colonne deux, on obtient 39. Et nous pouvons faire la même chose pour trouver le reste des éléments. On obtient la matrice deux trois suivante et nous pouvons voir qu’elle est exactement égale à celle que nous avons trouvée plus tôt. En d’autres termes, trois fois 𝐴 plus 𝐵 est égal à trois 𝐴 plus trois 𝐵. Et en fait, cela est vrai en général. Pour tout nombre 𝑘 et les matrices d’ordres 𝑚 𝑛, 𝐴 et 𝐵, 𝑘 fois 𝐴 plus 𝐵 est égal à 𝑘𝐴 plus 𝑘𝐵. Et on appelle ça la propriété de distributivité parce qu’on peut distribuer 𝑘 sur les parenthèses.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Premièrement, nous avons montré que multiplier une matrice 𝐴 par un scalaire 𝑘 signifie multiplier chaque élément de 𝐴 par 𝑘. Et en fait, il convient de souligner que 𝑘 peut être n’importe quel nombre. Même un nombre complexe. Cependant, nous n’avons utilisé que des nombres réels dans cette vidéo. Et nous pouvons écrire cela comme 𝑘𝐴. Enfin, nous avons montré cinq propriétés utiles pour les matrices 𝑚 𝑛, 𝐴 et 𝐵. Les quatre premières sont des identités que nous tirons directement de la définition de la multiplication scalaire et de l’addition matricielle. Enfin, nous avons montré que la multiplication scalaire est distributive lorsqu’elle est combinée à l’addition matricielle.