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Multiplication scalaire des matrices
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă multiplier une matrice par un scalaire, câest-Ă -dire un nombre rĂ©el, et nous allons voir les propriĂ©tĂ©s et les rĂ©sultats qui dĂ©coulent de cette dĂ©finition. Avant de commencer avec les multiplications scalaires des matrices, rappelons que nous avons dĂ©jĂ vu la multiplication scalaire. Nous savons comment utiliser la multiplication scalaire et les vecteurs. ConsidĂ©rons le vecteur trois, moins quatre. Nous savons comment le multiplier par un nombre rĂ©el. Par exemple, on pourrait multiplier par cinq. On sait que pour multiplier un vecteur par cinq, on multiplie composante par composante. En dâautres termes, nous devons multiplier chaque composante par cinq.
Donc, lorsquâon multiplie chaque composante par cinq, on obtient une nouvelle composante horizontale de cinq fois trois et une nouvelle composante verticale de cinq multipliĂ©e par moins quatre. Cela nous donne le nouveau vecteur avec une composante horizontale de 15 et une composante verticale de moins 20. En dâautres termes, nous avons agrandi notre vecteur dâun facteur de cinq. Il se trouve quâon peut dĂ©finir exactement la mĂȘme opĂ©ration pour des matrices. Pour commencer, considĂ©rons la matrice dâordre đ đ, qui est comme suit. Autrement dit, lâĂ©lĂ©ment sur la ligne đ et colonne đ de cette matrice est đ đđ. Tout comme nous avons fait pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice par notre scalaire. Donc, si le scalaire est đ, on peut dĂ©finir đ fois đŽ comme suit.
On multiplie chaque Ă©lĂ©ment de la matrice par đ. Ceci est souvent appelĂ© la mise Ă lâĂ©chelle de la matrice par un facteur de đ car on a multipliĂ© chaque Ă©lĂ©ment de la matrice par đ. Et rappelons que nous pouvons Ă©galement reprĂ©senter cela par ce qui impacte chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice. Nous pouvons Ă©galement reprĂ©senter cela comme la matrice dont lâĂ©lĂ©ment sur la ligne đ et colonne đ est đ fois đ đđ. Voyons maintenant quelques exemples sur comment effectuer la multiplication scalaire des matrices.
ConsidĂ©rez la matrice đŽ. Ăvaluez neuf fois đŽ, oĂč đŽ est Ă©gal Ă la matrice un deux, deux, moins un.
Dans cette question, on nous donne la matrice đŽ et nous devons Ă©valuer neuf fois đŽ. Rappelons que neuf est un nombre rĂ©el, on a donc une multiplication scalaire de notre matrice. Donc, pour rĂ©pondre Ă cette question, nous devons nous rappeler comment multiplier une matrice par un scalaire. Pour ce faire, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment de la matrice par le scalaire. Nous devons donc multiplier lâĂ©lĂ©ment de la premiĂšre ligne et premiĂšre colonne par neuf et lâĂ©lĂ©ment de la premiĂšre ligne et seconde colonne par neuf. Cela nous donne la matrice suivante et nous pouvons simplement la calculer.
Dans la premiĂšre ligne et premiĂšre colonne, on a neuf fois deux, qui est Ă©gal Ă 18. Et dans la premiĂšre ligne et seconde colonne, on a neuf multipliĂ© par moins un. Ce qui est Ă©gal Ă moins neuf et cela nous donne notre rĂ©ponse finale. Par consĂ©quent, nous avons pu montrer que si đŽ est Ă©gal Ă la matrice un deux, deux, moins un, alors neuf đŽ est Ă©gal Ă la matrice un deux, 18, moins neuf.
Voyons maintenant un exemple qui nous montrera comment résoudre des équations en utilisant notre nouvelle définition pour multiplier les matrices par des scalaires.
Si đ„ fois la matrice deux deux, moins deux, zĂ©ro, moins trois, moins cinq est Ă©gale Ă la matrice deux deux, 14, zĂ©ro, 21, 35, quelle est la valeur de đ„ ?
On nous donne une Ă©quation impliquant deux matrices et đ„ et nous devons dĂ©terminer la valeur de đ„. Tout dâabord, nous devons remarquer en examinant notre Ă©quation, que đ„ est un nombre. Ce nâest pas une matrice. On le montre en Ă©crivant đ„ en minuscules. Une autre raison pour laquelle on peut voir cela est quâon nous demande de trouver la valeur de đ„. On demande de le faire uniquement lorsque đ„ reprĂ©sente un nombre. Donc, dans notre Ă©quation, lorsquâon multiplie notre matrice đŽ, il sâagit de la multiplication scalaire dâune matrice. Donc, la premiĂšre chose que nous allons faire est de se concentrer sur đ„ multipliĂ© par notre matrice et dâeffectuer une multiplication scalaire pour rĂ©Ă©crire cela sous une forme diffĂ©rente.
Pour ce faire, nous devons rappeler que lorsquâon multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie chaque coefficient de la matrice par le scalaire. Dans ce cas, nous devons multiplier tous les Ă©lĂ©ments par đ„. Ce faisant, nous obtenons la matrice deux deux avec les Ă©lĂ©ments đ„ fois moins deux, đ„ fois zĂ©ro, đ„ fois moins trois et đ„ fois moins cinq. Et bien sĂ»r, nous pouvons Ă©valuer ou simplifier tous ces Ă©lĂ©ments. Ce faisant, nous obtenons la matrice deux deux, moins deux đ„, zĂ©ro, moins trois đ„, moins cinq đ„.
Mais, dans la question, on nous dit que cette matrice est exactement Ă©gale Ă la matrice deux deux, 14, zĂ©ro, 21, 35. Nous avons donc montrĂ© que ces deux matrices sont Ă©gales. Pour trouver la valeur de đ„, nous allons devoir rappeler ce quâon entend par deux matrices Ă©gales. Rappelons que deux matrices sont Ă©gales si tous les Ă©lĂ©ments de ces deux matrices sont Ă©gaux et quâelles ont le mĂȘme ordre. Bien sĂ»r, ces deux matrices sont dâordre deux deux. Donc, nous devons vĂ©rifier que tous leurs Ă©lĂ©ments sont Ă©gaux.
Ce faisant, on obtient une sĂ©rie dâĂ©quations. Lorsquâon compare les Ă©lĂ©ments de la ligne un colonne un, on obtient 14 est Ă©gal Ă moins deux đ„. Lorsquâon compare les Ă©lĂ©ments de la ligne un colonne deux de nos matrices, on obtient zĂ©ro est Ă©gal Ă zĂ©ro. Lorsquâon compare les Ă©lĂ©ments de la ligne deux et colonne un de nos deux matrices, on obtient 21 est Ă©gal Ă moins trois đ„. Et enfin, lorsquâon compare les Ă©lĂ©ments de la ligne deux colonne deux de nos matrices, on obtient 35 est Ă©gal Ă moins cinq đ„. Cela nous donne un systĂšme dâĂ©quations que nous devons rĂ©soudre. En fait, toutes ces Ă©quations sont affines, nous pourrions donc appeler cela un systĂšme dâĂ©quations affines.
PremiĂšrement, nous pouvons voir que la deuxiĂšme Ă©quation est vraie pour toutes les valeurs de đ„. Ensuite, nous pouvons simplement rĂ©soudre les trois Ă©quations restantes. Nous allons diviser la premiĂšre par moins deux, la deuxiĂšme par moins trois et la troisiĂšme par moins cinq. Et lorsquâon fait cela, on constate que toutes ces Ă©quations sont rĂ©solues lorsque đ„ est Ă©gal Ă moins sept. Cela signifie que nous avons pu montrer que la valeur de đ„ est moins sept. Cependant, il convient Ă©galement de souligner que nous pouvons confirmer cette rĂ©ponse en introduisant la valeur de đ„ Ă©gale moins sept dans notre matrice, ou en substituant đ„ Ă©gale moins sept dans notre Ă©quation initiale. Nous pourrions alors vĂ©rifier que cela nous donne la bonne solution de lâĂ©quation.
Par consĂ©quent, Ă©tant donnĂ© que đ„ fois la matrice deux deux, moins deux, zĂ©ro, moins trois, moins cinq Ă©tait Ă©gal Ă la matrice deux deux 14, zĂ©ro, 21, 35, nous avons pu montrer que la valeur de đ„ doit ĂȘtre Ă©gale Ă moins sept.
Voyons maintenant un exemple de résultat utile qui découle de notre définition de la multiplication scalaire de matrice.
Si đŽ est Ă©gal Ă la matrice un trois ; huit, moins trois, un, quelle est la valeur de zĂ©ro đŽÂ ?
On nous donne une matrice đŽ et on nous demande dâĂ©valuer zĂ©ro multipliĂ© par đŽ. Bien sĂ»r, zĂ©ro est un nombre, câest donc une multiplication scalaire de notre matrice. Nous allons commencer par rappeler comment multiplier une matrice par un scalaire. Nous rappelons que la multiplication scalaire dâune matrice signifie quâon multiplie chaque Ă©lĂ©ment par le scalaire. Dans ce cas, nous allons devoir multiplier chaque Ă©lĂ©ment par zĂ©ro. Ce faisant, nous obtenons la matrice un trois avec dans la ligne un colonne un zĂ©ro fois huit ; ligne un, colonne deux zĂ©ro fois moins trois ; et ligne un, colonne trois zĂ©ro fois un. Et bien sĂ»r, nous pouvons Ă©valuer les expressions de tous nos Ă©lĂ©ments. Nous savons que zĂ©ro fois huit est Ă©gal Ă zĂ©ro, zĂ©ro fois moins trois est Ă©gal Ă zĂ©ro et zĂ©ro fois un est Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, cela nous donne la matrice un trois dans laquelle tous les Ă©lĂ©ments sont zĂ©ro, ce qui est notre rĂ©ponse finale.
Par consĂ©quent, nous avons pu montrer que si đŽ est Ă©gal Ă la matrice un trois, huit, moins trois, un, alors zĂ©ro đŽ sera Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre un trois.
Nous pouvons remarquer un rĂ©sultat trĂšs utile Ă partir de cette question. Nous savons que tout nombre multipliĂ© par zĂ©ro est Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, en fait, la matrice importait peu. On aurait toujours obtenu une matrice dont tous les Ă©lĂ©ments sont zĂ©ro. Alors confirmons ce rĂ©sultat. Si nous avons une matrice dâordre đ đ, notĂ©e đŽ. Nous allons appeler lâĂ©lĂ©ment de la ligne đ, colonne đ de cette matrice đŽ đ đđ, alors si nous multiplions notre matrice par le scalaire zĂ©ro, chaque Ă©lĂ©ment Ă lâintĂ©rieur de notre matrice doit ĂȘtre zĂ©ro. En dâautres termes, cela devrait ĂȘtre Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre đ đ, reprĂ©sentĂ©e par zĂ©ro đđ.
Et, nous pouvons prouver ce rĂ©sultat. Nous pourrions faire cela en Ă©crivant la matrice đŽ sous forme matricielle. Cependant, nous connaissons dĂ©jĂ lâĂ©lĂ©ment de la ligne đ colonne đ. Ainsi, lorsquâon multiplie la matrice đŽ par le scalaire zĂ©ro, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment par zĂ©ro. En dâautres termes, lâentrĂ©e de la ligne đ colonne đ de cette matrice est zĂ©ro fois đ đđ. Cependant, nous savons que pour tout nombre, zĂ©ro fois ce nombre sera toujours Ă©gal Ă zĂ©ro. En dâautres termes, pour tout đ et tout đ, zĂ©ro fois đ đđ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Ainsi, chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice est Ă©gal Ă zĂ©ro. En dâautres termes, cela est Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre đ đ.
Et il est important de rappeler que nous devons maintenir lâordre de notre matrice car la multiplication scalaire ne change pas lâordre de la matrice. Mais ce nâest pas le seul rĂ©sultat utile que nous pouvons obtenir de cette dĂ©finition de la multiplication scalaire. Une autre question que nous pouvons nous poser est la suivante : quâest-ce que un multipliĂ© par une matrice đŽ ? Rappelons que lorsquâon multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment de cette matrice par le scalaire. Donc, dans ce cas, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice par un. Bien sĂ»r, cela ne changera la valeur dâaucun de nos Ă©lĂ©ments. Donc, cela devrait ĂȘtre Ă©gal Ă đŽ.
Et en fait, nous pouvons le prouver en utilisant une mĂ©thode trĂšs similaire Ă celle que nous avons utilisĂ©e prĂ©cĂ©demment. Lorsquâon multiplie la matrice đŽ par le scalaire un, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment de la matrice đŽ par un. En dâautres termes, lâĂ©lĂ©ment de la ligne đ colonne đ sera Ă©gale Ă un fois đ đđ car nous savons que lâĂ©lĂ©ment de la ligne đ colonne đ de la matrice đŽ est đ đđ. Et bien sĂ»r, un multipliĂ© par nâimporte quel nombre est Ă©gal Ă ce nombre. Donc, un fois đ đđ sera Ă©gal Ă đ đđ pour toutes les valeurs de đ et đ. Par consĂ©quent, les Ă©lĂ©ments de notre matrice ne changent pas. LâentrĂ©e de la ligne đ colonne đ est juste đ đđ. Par consĂ©quent, nous avons montrĂ© que pour toute matrice đŽ, un fois đŽ est Ă©gal Ă đŽ.
Et câest un autre rĂ©sultat utile dont nous aurons besoin plus tard. Nous voulons poser la question, quelle est la valeur de moins un đŽ ? Bien sĂ»r, nous savons comment faire cela. On multiplie chaque Ă©lĂ©ment de la matrice đŽ par moins un. Donc, cela semble suggĂ©rer que moins un fois đŽ sera Ă©gal Ă moins đŽ. Et pour exprimer pleinement cela, nous allons devoir rappeler exactement ce quâon entend par moins đŽ. Le moyen le plus simple de le faire est de penser Ă ce qui se passe si on soustrait une matrice dâelle-mĂȘme.
Rappelons que lorsquâon soustrait des matrices, on procĂšde Ă©lĂ©ment par Ă©lĂ©ment. Ainsi, lorsquâon calcule la matrice đŽ moins elle-mĂȘme, chaque Ă©lĂ©ment est soustrait de lui-mĂȘme. Chaque Ă©lĂ©ment sera zĂ©ro. Et bien sĂ»r, elle garde lâordre đđ. Alors peut-ĂȘtre une meilleure façon dâĂ©crire cette Ă©quation serait dâajouter notre matrice đŽ aux deux cĂŽtĂ©s de lâĂ©quation. Cela nous donnerait la formule Ă©quivalente đŽ plus moins un fois đŽ Ă©gale đŽ moins đŽ. Et nous connaissons la valeur de đŽ moins đŽ. Câest la matrice nulle dâordre đ đ. Et nous pourrions prouver cela exactement de la mĂȘme maniĂšre que nous lâavons fait ci-dessus.
PremiĂšrement, pour Ă©valuer moins un multipliĂ© par đŽ, on utilise la multiplication scalaire. On multiplie chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice par moins un. Donc, dans la ligne đ, colonne đ, nous aurons đ đđ plus moins un fois đ đđ. Et bien sĂ»r, nous pouvons simplifier cela. Moins un multipliĂ© par đ đđ est Ă©gal Ă moins đ đđ pour toutes les valeurs de đ et đ. Mais rappelons que, lorsquâon additionne deux matrices, on procĂšde Ă©lĂ©ment par Ă©lĂ©ment. Donc, dans la ligne đ, colonne đ, nous allons obtenir đ đđ moins đ đđ, et un nombre moins lui-mĂȘme est Ă©gal Ă zĂ©ro. Ainsi, chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice sera zĂ©ro. Cela sera Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre đ đ.
Et il y a un rĂ©sultat final que nous pouvons obtenir de cette dĂ©finition de la multiplication scalaire. Avant de faire cela, crĂ©ons un peu dâespace. Ce rĂ©sultat sera trĂšs similaire Ă notre premier rĂ©sultat. Cependant, cette fois, au lieu de multiplier une matrice par le scalaire zĂ©ro, nous allons plutĂŽt multiplier une matrice nulle par nâimporte quel scalaire. Si đ est un nombre quelconque, alors on peut considĂ©rer ce qui se passe lorsquâon multiplie la matrice nulle dâordre đ đ par đ. Bien sĂ»r, multiplier par le scalaire đ signifie quâon multiplie chaque Ă©lĂ©ment de la matrice nulle par đ.
Mais tous les Ă©lĂ©ments de la matrice nulle sont zĂ©ro. Donc, nous aurons juste đ multipliĂ© par zĂ©ro pour tous les Ă©lĂ©ments. Cela sera simplement Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre đ đ. Et nous pourrions le prouver en utilisant une mĂ©thode trĂšs similaire Ă celle que nous avons utilisĂ©e plus tĂŽt. Lorsquâon multiplie une matrice par un scalaire, on doit multiplier chaque Ă©lĂ©ment de la matrice par le scalaire. Donc, dans ce cas, on aura dans la ligne đ, colonne đ ; đ multipliĂ© par lâĂ©lĂ©ment de la ligne đ colonne đ de la matrice nulle. Cependant, chaque Ă©lĂ©ment de la matrice nulle est zĂ©ro. Donc, dans la ligne đ, colonne đ, on obtient đ fois zĂ©ro, ce qui est Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, cela est Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre đ đ.
Voyons maintenant comment utiliser ces résultats pour résoudre des problÚmes.
Soit đ une matrice deux trois dont les Ă©lĂ©ments sont tous zĂ©ro. Si đŽ est une matrice deux trois, laquelle des options suivantes est Ă©quivalente Ă cinq đŽ moins trois đ ? Option (A) deux fois đ fois đŽ, option (B) moins deux fois đŽ fois đ, option (C) moins trois đ, option (D) cinq đŽ ou option (E) deux đŽ.
Dans cette question, on nous donne une expression en fonction de deux matrices et nous devons dĂ©terminer laquelle des cinq options est Ă©gale Ă cette expression. En fait, il existe diffĂ©rentes façons de rĂ©pondre Ă cette question. Cependant, il y a une chose importante que nous devons noter. La matrice đ et la matrice đŽ sont toutes deux des matrices deux trois. Cela signifie que le nombre de lignes dâune matrice et le nombre de colonne de lâautre matrice ne sont jamais Ă©gaux. Et lorsque cela se produit, cela signifie quâon ne peut pas multiplier đŽ par đ, et on ne peut pas multiplier đ par đŽ. Donc, les options (A) et (B) ne peuvent pas ĂȘtre correctes.
Voyons maintenant ce que nous pouvons faire avec lâexpression qui nous est donnĂ©e. Commençons par rappeler que đ est une matrice deux trois, dans laquelle chaque Ă©lĂ©ment est Ă©gal Ă zĂ©ro. Maintenant, on peut Ă©crire cela en termes de matrices. Cependant, on peut Ă©galement Ă©crire cela comme la matrice nulle dâordre deux trois ; zĂ©ro deux trois. Ăcrivons maintenant entiĂšrement la matrice đŽ et la matrice nulle. Pour ce faire, il faut rappeler quâune matrice dâordre deux trois a deux lignes et trois colonnes. Nous allons aussi appeler lâĂ©lĂ©ment de la matrice đŽ, ligne đ, colonne đ đ đđ. Cela nous donne lâexpression suivante.
Nous pouvons maintenant simplifier cette expression soit en utilisant notre dĂ©finition de la multiplication scalaire dâune matrice, ou en utilisant le fait que pour tout nombre đ, đ multipliĂ© par la matrice nulle dâordre đ đ est Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre đ đ. Cela nous donne que trois đ est Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre deux trois. Maintenant, nous voyons quâon soustrait la matrice nulle de la matrice cinq đŽ. Nous pouvons procĂ©der de diffĂ©rentes façons. Par exemple, nous pourrions utiliser la dĂ©finition de la multiplication scalaire pour introduire cinq dans notre matrice. Ensuite, nous pourrions utiliser la dĂ©finition de la soustraction matricielle pour rĂ©pondre Ă cette question.
Cependant, cela nâest pas nĂ©cessaire car on soustrait la matrice nulle du mĂȘme ordre. Et pour faire cela, on soustrait zĂ©ro de chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice. Bien sĂ»r, soustraire zĂ©ro ne changera aucune des valeurs, donc câest juste cinq đŽ. Et cela nous donne que lâoption (D) est la bonne rĂ©ponse. Il convient Ă©galement de souligner que nous pourrions vĂ©rifier que lâoption (C) et lâoption (E) ne sont pas correctes dans tous les scĂ©narios. Par exemple, si nous dĂ©finissons đŽ comme Ă©gale Ă la matrice deux trois dans laquelle tous les Ă©lĂ©ments sont un, alors nous avons dĂ©jĂ montrĂ© que cinq đŽ moins trois đ doit ĂȘtre Ă©gal Ă cinq đŽ. Et, bien sĂ»r, cinq đŽ est chaque Ă©lĂ©ment de đŽ multipliĂ© par cinq. Câest la matrice deux trois dans laquelle chaque Ă©lĂ©ment est cinq.
Ce nâest bien sĂ»r pas Ă©gal Ă deux đŽ, puisque ce serait la matrice deux trois dans laquelle chaque entrĂ©e est deux, et ce nâest pas Ă©gal Ă la matrice moins trois đ puisque nous avons dĂ©jĂ montrĂ© que ce sera Ă©gal Ă la matrice nulle dâordre deux trois. Par consĂ©quent, nous avons pu montrer que la seule option correcte est lâoption (D) ; cinq đŽ moins trois đ est Ă©gal Ă cinq đŽ.
Voyons maintenant une derniĂšre propriĂ©tĂ© que nous pouvons obtenir de la multiplication scalaire des matrices. Nous allons dâabord montrer cette propriĂ©tĂ© en la regardant en action.
Soit đŽ et đ” les deux matrices suivantes. Nous voulons calculer les deux expressions suivantes. Tout dâabord, nous voulons calculer trois multipliĂ© par la somme de đŽ et đ”. Nous voulons ensuite calculer trois đŽ plus trois đ”.
Dans ce cas, nous vĂ©rifions si on peut distribuer trois sur nos parenthĂšses. Et si cela est possible en gĂ©nĂ©ral, il sâagira dâune propriĂ©tĂ© de distributivitĂ©.
Commençons par la premiĂšre expression. Ăvaluons trois fois đŽ plus đ”. Rappelons que nous devons dâabord Ă©valuer lâexpression Ă lâintĂ©rieur de nos parenthĂšses. Nous allons donc commencer par Ă©crire nos matrices đŽ et đ”. Et rappelons que, lorsquâon additionne deux matrices du mĂȘme ordre, on additionne simplement leurs Ă©lĂ©ments ensemble. Donc, dans la ligne un, colonne un, on aura moins quatre plus trois qui est Ă©gal Ă moins un. Dans la ligne un, colonne deux, on a six plus sept, qui est Ă©gal Ă 13. Et nous pouvons faire la mĂȘme chose pour trouver les autres Ă©lĂ©ments. On obtient moins cinq, 14, 13 et un.
Et rappelons quâon doit multiplier cette matrice par trois. On multiplie donc cette matrice par le scalaire trois. Souvenez-vous toujours de ceci, on multiplie chaque Ă©lĂ©ment de notre matrice par trois. Pour lâĂ©lĂ©ment de la ligne un, colonne un de notre matrice, on a trois multipliĂ© par moins un, qui est Ă©gal Ă moins trois. Pour lâĂ©lĂ©ment de la ligne un, colonne deux, on a trois multipliĂ© par 13, qui est Ă©gal Ă 39. Et nous pouvons faire la mĂȘme chose pour trouver le reste des Ă©lĂ©ments. On obtient moins 15, 42, 39 et trois.
Voyons maintenant ce qui se passe lorsquâon calcule trois đŽ plus trois đ”. Encore une fois, nous allons commencer par Ă©crire nos matrices đŽ et đ”. Cette fois, nous devons dâabord utiliser la multiplication scalaire pour multiplier nos deux matrices par trois. Rappelons quâon le fait en multipliant chaque Ă©lĂ©ment de la matrice par trois. Nous allons commencer par Ă©valuer trois đŽ. Lorsquâon multiplie chaque Ă©lĂ©ment par trois et que lâon simplifie, on obtient la matrice deux trois ; moins 12, 18, zĂ©ro, 24, 21, six. On peut alors faire la mĂȘme chose pour calculer trois đ” ; câest Ă©gal Ă la matrice deux trois suivante.
Enfin, il ne nous reste plus quâĂ additionner les deux. Rappelons que lâon procĂšde en additionnant Ă©lĂ©ment par Ă©lĂ©ment. Lorsquâon additionne les Ă©lĂ©ments de la ligne un, colonne un, on obtient moins 12 plus neuf, qui est Ă©gal Ă moins trois. Lorsquâon additionne les Ă©lĂ©ments de la ligne un, colonne deux, on obtient 39. Et nous pouvons faire la mĂȘme chose pour trouver le reste des Ă©lĂ©ments. On obtient la matrice deux trois suivante et nous pouvons voir quâelle est exactement Ă©gale Ă celle que nous avons trouvĂ©e plus tĂŽt. En dâautres termes, trois fois đŽ plus đ” est Ă©gal Ă trois đŽ plus trois đ”. Et en fait, cela est vrai en gĂ©nĂ©ral. Pour tout nombre đ et les matrices dâordres đ đ, đŽ et đ”, đ fois đŽ plus đ” est Ă©gal Ă đđŽ plus đđ”. Et on appelle ça la propriĂ©tĂ© de distributivitĂ© parce quâon peut distribuer đ sur les parenthĂšses.
Passons maintenant en revue les points clĂ©s de cette vidĂ©o. PremiĂšrement, nous avons montrĂ© que multiplier une matrice đŽ par un scalaire đ signifie multiplier chaque Ă©lĂ©ment de đŽ par đ. Et en fait, il convient de souligner que đ peut ĂȘtre nâimporte quel nombre. MĂȘme un nombre complexe. Cependant, nous nâavons utilisĂ© que des nombres rĂ©els dans cette vidĂ©o. Et nous pouvons Ă©crire cela comme đđŽ. Enfin, nous avons montrĂ© cinq propriĂ©tĂ©s utiles pour les matrices đ đ, đŽ et đ”. Les quatre premiĂšres sont des identitĂ©s que nous tirons directement de la dĂ©finition de la multiplication scalaire et de lâaddition matricielle. Enfin, nous avons montrĂ© que la multiplication scalaire est distributive lorsquâelle est combinĂ©e Ă lâaddition matricielle.