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Le nombre d’heures 𝑛 nécessaires pour accomplir une certaine tâche est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers affectés à celle-ci. Si elle est accomplie par 23 ouvriers en 35 heures, quel est le temps nécessaire à son accomplissement par 115 ouvriers?
D'accord. Nous pouvons à présent examiner comment résoudre ce problème. En fait, c'est un problème de proportionnalité. Et il y a trois éléments qui démontrent qu'il s'agit de proportionnalité. Le premier fait référence à quelque chose qui varie soit directement, soit inversement. Dans cette situation, c'est inversement. Deuxièmement, il y a une paire de valeurs que nous pouvons utiliser pour obtenir la constante de proportionnalité, dont nous allons parler dans un instant. Dans cet exemple, il y a 23 travailleurs et 35 heures. Enfin, on vous demandera toujours de déterminer l'une des variables. Donc, dans cette situation, nous devons déterminer combien d'heures sont nécessaires si nous avons 115 travailleurs.
Je crois que la première chose à examiner est "inversement". Qu'est-ce que cela sous-entend ? C'est donc inversement proportionnel, et je pense que la meilleure façon de le démontrer est d'utiliser des représentations graphiques. Tout d'abord, nous avons directement proportionnel. Comme vous pouvez le constater, quand une chose augmente, l'autre augmente aussi. Cela pourrait donc être, lorsque la quantité de marchandises achetées augmente, la somme d'argent dépensée augmente. On a alors une proportionnalité directe. À droite, cependant, nous pouvons voir une proportionnalité inverse. Dans notre représentation graphique, vous pouvez voir un exemple de cela. Dès lors qu'une chose augmente, l'autre diminue. Ainsi, par exemple, vous pouvez considérer la valeur d'une voiture en fonction de son vieillissement. En général, le prix d'une voiture diminue avec l'âge. Voilà donc ce qu’est une proportionnalité inverse. Et nous allons voir comment résoudre ce problème.
Alors examinons cela. On dit que n est inversement proportionnel à w. Donc, en utilisant le signe de proportionnalité, nous l'exprimerons comme suit, où n est le nombre d'heures et w le nombre d’ouvriers. Mais, encore une fois, cela ne nous est pas d'une grande utilité. Par conséquent, nous devons en tenir compte dans une équation. Pour ce faire, nous allons utiliser la constante de proportionnalité. Jusqu'à présent nous avons présenté la constante de proportionnalité, également appelée coefficient de proportionnalité, qui est 𝑘. Nous avons donc que 𝑛 est égal à 𝑘 sur 𝑤. La première étape dans ce type de problème, après avoir posé l'équation, est d'entrer les valeurs dont on a besoin pour trouver 𝑘. N'oubliez donc pas de chercher constamment 𝑘. La plupart des variables que nous allons échanger sont les 23 ouvriers et les 35 heures, ce qui donne l'équation 35 est égal à 𝑘 sur 23. Nous pouvons donc maintenant déterminer ce 𝑘 puisque nous avons deux valeurs qui peuvent nous permettre de le trouver. Pour ce faire, nous allons multiplier chaque côté par 23. Par conséquent, 805 est égal à 𝑘. Ou, comme je l'ai écrit, 𝑘 est égal à 805.
Génial ! Nous avons trouvé 𝑘. Nous avons trouvé notre constante de proportionnalité. Nous pouvons donc maintenant nous concentrer sur la résolution du problème et la détermination des valeurs manquantes. Pour résoudre le problème et trouver le temps manquant, nous devons utiliser la valeur de 𝑘 que nous avons trouvée, à savoir 805, et la réintégrer dans notre équation pour obtenir une nouvelle équation qui peut s'avérer extrêmement utile, en nous donnant l'équation 𝑛 égale à 805 divisé par w. Il ne nous reste plus qu'à insérer dans cette équation la valeur que nous avons obtenue pour le nombre des ouvriers. Nous serons alors en mesure de déterminer le temps nécessaire. Cela nous donne 𝑛 est égal à 805 divisé par 115. Alors on fait le calcul. Et ça nous donne une valeur finale pour 𝑛 de sept heures.
Ok, fantastique! Nous avons résolu le problème. Nous avons donc déterminé qu'il faudrait sept heures à 115 ouvriers pour réaliser cette tâche. Et maintenant, je vais simplement passer rapidement en revue les principaux points de cette question. En premier lieu, nous avons déterminé qu'il s'agissait d'une question de proportionnalité. C'est exactement ce que nous avons fait. Et nous avons constaté que c’était une proportionnalité inverse, ce qui signifie qu'une chose diminue tandis que l'autre augmente. On a alors établi une équation selon laquelle 𝑛 est égale 𝑘 sur 𝑤 parce que c’est inversement proportionnel. Il s’agit donc d’une proportionnalité inverse dans ce cas. Ensuite, on trouve la constante de proportionnalité, 𝑘. Par conséquent, nous devons d’abord déterminer 𝑘. Et nous le faisons en remplaçant par la paire de valeurs que nous avons. Cela conduit au calcul de 𝑘. Une fois que nous avons 𝑘, nous pouvons écrire notre nouvelle équation et y introduire la valeur que nous avons pour le nombre des ouvriers. Et avec ça, nous obtenons la réponse finale.
