Transcription de la vidéo
Développez et simplifiez quatre moins 𝑖 multiplié par trois plus deux 𝑖.
OK, regardons d’abord cette question, nous pouvons voir que nous avons quatre moins 𝑖 multiplié par trois plus deux 𝑖. Eh bien, nous allons développer ces parenthèses de la même manière que nous aurions développé toute parenthèse. Peu importe que nous ayons 𝑖 ou un nombre imaginaire. Nous allons simplement procéder normalement.
Donc, si nous avons nos deux parenthèses, la première chose que nous allons multiplier est le premier terme de chaque parenthèse. Nous allons alors avoir quatre multiplié par trois, ce qui va nous donner 12. Ensuite, nous allons multiplier quatre, car c’est notre le premier terme de notre première parenthèse, par deux 𝑖, qui est le second terme de notre seconde parenthèse.
Donc, ça va nous donner huit 𝑖. Ensuite, nous avons en fait le second terme de notre première parenthèse, qui est moins 𝑖. Attention ! Assurez-vous d’inclure le bon signe ici. Donc c’est moins 𝑖. Et ça va être multiplié par trois. Donc, ça va nous donner moins trois 𝑖. Enfin, on va multiplier le second terme de chaque parenthèse.
Ainsi, nous allons avoir moins 𝑖 multiplié par deux 𝑖. Et nous allons multiplier cela de la même manière que nous multiplierions un terme quelconque normalement. Donc, nous allons en fait obtenir moins deux 𝑖 au carré. D’accord, super ! Nous avons donc développé nos parenthèses. Et nous avons les quatre termes. Bien ! Alors maintenant, comme toujours, nous allons regrouper nos termes et les simplifier.
Donc, nous allons avoir 12, puis nous avons plus huit 𝑖 moins trois 𝑖, ce qui va nous donner plus cinq 𝑖. Et puis nous avons moins deux 𝑖 au carré. D’accord, super ! Nous sommes arrivés à ce stade. Nous avons 12 plus cinq 𝑖 moins deux 𝑖 au carré. Eh bien, c’est en fait à ce stade que nous prenons en compte le fait que nous avons des nombres complexes, des termes en 𝑖.
Maintenant nous devons nous occuper de ce 𝑖 au carré. Alors, qu’est-ce que cela signifie réellement ? Eh bien, revenons à la définition de 𝑖. Et, 𝑖 est la racine carrée de moins un. Donc, utilisons cette propriété. Si nous savons que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un, revenons en arrière et voyons ce que 𝑖 au carré va nous donner.
Eh bien, si nous pensons réellement à ce que nous avons, alors 𝑖 au carré va être égal à la racine carrée de moins un, parce que c’est 𝑖. Puis ça va être le tout au carré parce que, évidemment, nous mettons notre 𝑖 au carré. Donc, si nous allons mettre une racine carrée au carré, alors cela sera égal à moins un. Et si nous nous demandons comment cela est possible, il y a deux manières de voir les choses.
Premièrement, si nous mettons au carré une racine carrée, nous inversons en fait la démarche, de sorte que nous avons le nombre à l’intérieur. Deuxièmement, si nous pensons à l’une de nos règles d’exposant, si nous avons 𝑎 à la puissance 𝑚 le tout à la puissance 𝑛, ce sera la même chose que 𝑎 à la puissance 𝑚𝑛. Dans ce cas, nous aurions moins un à la puissance un demi multiplié par deux. Cela signifie qu’un demi multiplié par deux vaut un. Ce qui nous donne moins un.
D’accord, super ! Nous savons donc maintenant ce que vaut 𝑖 au carré. Nous pouvons en fait continuer et simplifier davantage. Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est que si nous remplaçons 𝑖 au carré par moins un, nous allons obtenir 12 plus cinq 𝑖 moins, puis deux multiplié par moins un, qui sera égal à 12 plus cinq 𝑖 moins moins deux.
Et soustraire moins deux revient à ajouter deux. Donc, si nous développons et simplifions quatre moins 𝑖 multiplié par trois plus deux 𝑖, nous allons obtenir 14 plus cinq 𝑖. Et nous avons obtenu 14 car 12 plus deux nous donne 14, donc 14 plus cinq 𝑖.
