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La courbe représente le vecteur vitesse d’un objet en fonction du temps. L’objet change deux fois le sens de son mouvement qui dure 60 secondes. Le mouvement est initialement dirigé vers le nord. Après 60 secondes, l’objet se déplace-t-il vers le nord ou vers le sud ?
Dans cette question, on nous demande de considérer un graphique qui représente le vecteur vitesse sur l’axe vertical, ou l’axe des 𝑦, en fonction du temps sur l’axe horizontal, ou l’axe des 𝑥. Si nous regardons les graduations sur l’axe vertical du vecteur vitesse, nous pouvons voir que le vecteur vitesse prend des valeurs positives et aussi des valeurs négatives. Pour comprendre cela, rappelons que le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle. Ce qui signifie qu’il possède une norme et aussi un sens. Dans cette question, on nous dit que le mouvement est dirigé initialement vers le nord.
Nous pouvons voir sur le graphique vecteur vitesse-temps qu’initialement, c’est-à-dire pour un temps de zéro, le vecteur vitesse a une valeur positive. Comme on nous a dit qu’à ce moment-là, l’objet se déplace vers le nord, cela signifie que, dans cette situation, il faut considérer le nord comme le sens positif du mouvement. Donc, sur le graphique fourni, à chaque fois que le vecteur vitesse a une valeur positive, c’est-à-dire à chaque fois que la courbe bleue est située au-dessus de l’axe horizontal, alors l’objet se déplace vers le nord.
Alors, si le nord représente le sens positif, le sens opposé, qui est le sud, représente donc le sens négatif. Donc, sur le graphique vecteur vitesse-temps, à chaque fois que le vecteur vitesse a une valeur négative, c’est-à-dire à chaque fois que la courbe bleue est située en dessous de l’axe horizontal, alors l’objet se déplace vers le sud. Remarquons que dans l’énoncé, on nous dit que l’objet se déplace pendant 60 secondes et qu’il change deux fois de sens dans cet intervalle. Sur le graphique, ce sont ces deux points où la courbe coupe l’axe horizontal, ce qui correspond à un vecteur vitesse de zéro.
Si nous considérons le premier de ces deux points, nous pouvons voir qu’au début, avant ce point, l’objet a un vecteur vitesse positif, ce qui signifie qu’il se déplace vers le nord. Puis, lorsqu’on se rapproche de ce point, la vitesse de l’objet diminue. Donc, il se déplace toujours vers le nord, mais il ralentit de plus en plus. Au bout d’un moment, au niveau de ce point où la courbe coupe l’axe, l’objet a un vecteur-vitesse instantané nul. À ce point, l’objet ne se déplace plus vers le nord et il commence à prendre le sens opposé, vers le sud.
Le vecteur vitesse de l’objet devient alors de plus en plus négatif et son intensité augmente dans le sens négatif, vers le sud. Le principe est alors le même au niveau de ce deuxième point où le sens du mouvement change. Nous pouvons voir qu’avant ce point, le vecteur vitesse de l’objet est négatif, ce qui signifie qu’il se déplace vers le sud. L’intensité du vecteur vitesse diminue à mesure que l’objet ralentit de plus en plus. Et au niveau de ce point, il change de sens et commence à se diriger vers le nord et devient de plus en plus rapide.
Alors, maintenant que nous avons pris un peu de temps pour bien comprendre cette courbe. Concentrons-nous sur la première question.
On nous demande dans quelle direction l’objet se déplace après 60 secondes, c’est-à-dire vers le nord ou vers le sud. En regardant sur le graphique vecteur vitesse-temps pour une valeur de 60 secondes, nous pouvons voir qu’en ce point, la courbe bleue est située au-dessus de l’axe horizontal. Cela signifie que le vecteur vitesse de l’objet après 60 secondes a une valeur positive. Alors, nous avons déjà établi que le nord correspond au sens positif et donc qu’un vecteur vitesse positif signifie que l’objet se déplace vers le nord. On peut alors dire qu’après 60 secondes, l’objet se déplace vers le nord.
Faisons maintenant un peu de place sur le tableau et regardons la deuxième question.
Après 60 secondes, quelle est la distance entre l’objet et sa position initiale ?
Alors, dans la deuxième question, on nous demande de déterminer la distance entre l’objet et sa position initiale après son mouvement qui dure 60 secondes. Le premier point important ici, c’est qu’il ne s’agit pas de la distance totale parcourue par l’objet pendant 60 secondes. Et cela parce que l’objet a changé de sens pendant ce temps. L’objet se déplace initialement vers le nord, puis il se retourne et se dirige vers le sud pendant quelque temps, avant de changer de direction et de se diriger de nouveau vers le nord.
La distance totale parcourue par l’objet pendant ce temps est égale à la distance parcourue vers le nord, plus la distance parcourue ensuite vers le sud, plus la distance parcourue vers le nord une deuxième fois. Mais, ce que nous cherchons à déterminer, c’est la distance entre l’objet et sa position de départ, après son déplacement pendant 60 secondes.
Donc, si ces trois flèches représentent le déplacement de l’objet au cours des trois parties du mouvement, alors l’objet commence à cette position ici, il se déplace vers le nord, puis vers le sud, puis vers le nord, pour terminer à cette position ici. Si nous dessinons une flèche allant de la position de départ à la position finale, cette flèche représente le déplacement global de l’objet pendant ces 60 secondes. La distance par rapport à la position initiale de l’objet est alors la longueur de cette flèche. Autrement dit, la valeur que nous cherchons à déterminer ici est la norme du déplacement de l’objet après 60 secondes.
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser cette équation cinématique. Cette équation dit que si un objet met un certain temps 𝑡 à passer d’une vitesse initiale 𝑢 à une vitesse finale 𝑣, alors le déplacement 𝑠 de l’objet après ce temps 𝑡 est égal à un demi fois 𝑢 plus 𝑣 fois 𝑡. Alors, pour utiliser les équations cinématiques, il y a quelques conditions particulières, il faut notamment que l’objet se déplace en ligne droite et qu’il ait une accélération constante.
Dans cette question, l’objet se déplace uniquement vers le nord et vers le sud. Et comme ces deux directions se situent le long d’un même axe, nous pouvons donc dire que l’objet se déplace en ligne droite. Mais l’autre condition est un peu plus délicate. Rappelons que si le mouvement d’un objet est représenté sur un graphique vecteur vitesse-temps comme celui-ci, alors la pente de la courbe nous donne l’accélération de l’objet. La pente de cette courbe vecteur vitesse-temps change en ce point, puis de nouveau en ce point ici. Donc, sur ce graphique, nous n’avons pas une pente constante pour toute la durée du mouvement, ce qui signifie que l’accélération n’est pas constante tout au long des 60 secondes.
Cependant, nous pouvons remarquer qu’il existe une pente constante entre zéro seconde et 20 secondes, puis une deuxième pente constante, avec une valeur différente, entre 20 secondes et 35 secondes et une troisième pente constante, avec une valeur encore différente, entre 35 secondes et 60 secondes. Nous pouvons donc diviser le graphique en trois sections, que nous avons appelées un, deux et trois. Alors, sur chacune de ces sections, l’accélération est constante, ce qui signifie que nous pouvons utiliser cette équation pour déterminer le déplacement sur chaque section séparément.
Si nous appelons les déplacements individuels au cours des sections un, deux et trois respectivement 𝑠 un, 𝑠 deux et 𝑠 trois, alors le déplacement total après 60 secondes, que nous avons appelé 𝑠 indice 𝑇 est égal à 𝑠 un plus 𝑠 deux plus 𝑠 trois. Alors, une bonne chose à propos de cette équation cinématique, c’est qu’il n’y a pas à se soucier de savoir si l’objet se déplace vers le nord ou vers le sud à un instant donné.
Sur le côté droit de l’équation, les vecteurs vitesse 𝑢 et 𝑣 sont des grandeurs vectorielles. Cela signifie qu’ils ont une direction. Et comme nous l’avons déjà vu, les vecteurs vitesse dirigés vers le nord seront positifs et les vecteurs vitesse dirigés vers le sud seront négatifs. La conséquence de tout cela est que le fait que l’objet se déplace vers le nord ou le sud est automatiquement inclus dans le signe associé à ces deux grandeurs Remarquons que les trois termes sur le côté droit de l’équation sont des valeurs que nous pouvons lire sur le graphique vecteur vitesse-temps pour chacune des trois sections du mouvement.
Regardons d’abord la première section du graphique. C’est la section comprise entre zéro seconde et 20 secondes. Nous allons attribuer à toutes les termes de cette équation un indice un. Le temps 𝑡 un, qui est la durée de cette première section du mouvement, est égal au temps à la fin de la section, qui vaut 20 secondes, moins le temps au début de la section, qui vaut zéro seconde. 20 secondes moins zéro seconde, cela fait simplement 20 secondes. Donc, voici la valeur de 𝑡 un.
Nous pouvons voir sur le graphique que, sur cette première section, l’objet a initialement un vecteur vitesse positif de 10 mètres par seconde. C’est donc la valeur de 𝑢 un, le vecteur vitesse initial de cette section. Ensuite, le vecteur vitesse final de cette section est le vecteur vitesse en ce point du graphique. Nous pouvons voir qu’il vaut 30 mètres par seconde. Encore une fois, cette valeur est positive et nous avons donc que 𝑣 un est égal à 30 mètres par seconde.
En remplaçant les valeurs dans cette équation, nous obtenons que 𝑠 un est égal à un demi multiplié par 10 mètres par seconde plus 30 mètres par seconde multiplié par 20 secondes. En additionnant 10 mètres par seconde et 30 mètres par seconde, nous obtenons 40 mètres par seconde. Comme l’unité du vecteur vitesse est le mètre par seconde et que l’unité du temps est la seconde, les secondes et les secondes se simplifient. Et il nous reste juste une unité en mètres. Nous avons alors que 𝑠 un est égal à un demi fois 40 fois 20 mètres. Le calcul de cette expression nous donne un résultat de 400 mètres pour 𝑠 un.
Faisons un peu plus de place maintenant pour pouvoir faire la même chose et déterminer les valeurs de 𝑠 deux puis de 𝑠 trois.
Comme nous considérons maintenant la deuxième section du graphique, nous avons attribué un indice deux à tous les termes de cette équation. La deuxième section du graphique correspond à cette partie avec une pente descendante comprise entre 20 secondes et 35 secondes. Nous avons alors que la durée 𝑡 deux est égale à 35 secondes, c’est le temps à la fin de la section, moins 20 secondes, le temps au début de la section. Ce qui nous donne 15 secondes.
La valeur de 𝑢 deux est le vecteur vitesse au début de cette section. Voilà donc le vecteur vitesse en ce point ici sur le graphique. Ce vecteur vitesse est identique au vecteur vitesse à la fin de la première section, qui, nous l’avons déjà calculé, vaut 30 mètres par seconde. Le vecteur vitesse final 𝑣 deux pour cette section est le vecteur vitesse en ce point ici sur le graphique. Nous pouvons voir qu’il a une valeur de moins 10 mètres par seconde. Nous avons alors que 𝑣 deux est égal à moins 10 mètres par seconde.
En remplaçant ces valeurs dans l’équation, nous obtenons cette expression ici. En regardant les vitesses, nous pouvons voir que nous avons 30 mètres par seconde plus moins 10 mètres par seconde. Ce qui s’écrit plus simplement 30 mètres par seconde moins 10 mètres par seconde. En faisant la soustraction, nous obtenons 20 mètres par seconde. Les secondes et les secondes se simplifient et nous avons que 𝑠 deux est égal à un demi fois 20 fois 15 mètres. Cela nous donne 150 mètres.
Maintenant que nous avons calculé la valeur de 𝑠 deux, faisons de la place pour calculer 𝑠 trois. Nous considérons maintenant la troisième section du graphique, comprise entre un temps de 35 secondes et un temps de 60 secondes. Cela signifie que 𝑡 trois est égal à 60 secondes moins 35 secondes. Ce qui nous donne 25 secondes.
Le vecteur vitesse initial de cette troisième section du graphique, qui est la valeur de 𝑢 trois, est le vecteur vitesse en ce point ici. Et cela correspond au vecteur vitesse final de la deuxième section, pour lequel nous avons trouvé une valeur de moins 10 mètres par seconde. Ensuite, le vecteur vitesse final 𝑣 trois est le vecteur vitesse en ce point. Voilà donc le point qui correspond à un temps de 60 secondes. Nous pouvons voir que le vecteur vitesse en ce point a une valeur de 25 mètres par seconde.
En remplaçant ces valeurs dans l’équation cinématique, nous obtenons cette expression pour 𝑠 trois. Moins 10 mètres par seconde plus 25 mètres par seconde font 15 mètres par seconde. Et puis en multipliant ce terme par un demi et par 25 secondes, nous obtenons que 𝑠 trois est égal à 187,5 mètres. Nous pouvons maintenant utiliser cette équation pour calculer la valeur de 𝑠 indice 𝑇. C’est la distance entre la position initiale de l’objet et sa position après 60 secondes. Faisons un peu de place, une dernière fois, pour faire ce calcul.
Dans cette équation, en remplaçant 𝑠 un par 400 mètres, 𝑠 deux par 150 mètres et 𝑠 trois par 187,5 mètres, nous obtenons cette expression pour 𝑠 indice 𝑇. En additionnant ces trois termes, nous obtenons un résultat de 737,5 mètres. Après son mouvement de 60 secondes, nous avons établi que la distance entre l’objet et sa position initiale est égale à 737,5 mètres.
