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Résolvez 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre est égal à zéro par factorisation.
L'opposé ou l'inverse de la distributivité est la factorisation. Dans cet exemple, comme la seule composante commune de l'équation est un, nous avons besoin de deux parenthèses. Comme 𝑥 multiplié par 𝑥 est égal à 𝑥 au carré, le premier terme des deux parenthèses doit être 𝑥.
Pour déterminer le deuxième terme dans chacun des deux parenthèses, nous devons examiner l'équation du second degré générale : 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏 𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Si le coefficient de 𝑥 au carré, 𝑎, est égal à un, les deux nombres entiers ont un produit qui vaut 𝑐 et une somme qui vaut 𝑏. Dans notre cas, cela signifie que les deux nombres doivent avoir un produit de quatre, autrement dit qu'ils doivent se multiplier pour obtenir quatre. Ils doivent également avoir une somme qui vaut moins quatre.
Nous avons quatre nombres qui peuvent se multiplier et avoir un produit de quatre. Deux multiplié par deux est égal à quatre, moins deux multiplié par moins deux est également égal à quatre, quatre multiplié par un est égal à quatre, et moins quatre multiplié par moins un nous donne également quatre.
Laquelle de ces quatre paires de nombres, nous donne une somme qui vaut moins quatre ? Donc, deux plus deux est égal à plus quatre. Par conséquent, la ligne supérieure ne peut pas être notre réponse. En revanche, moins deux plus moins deux nous donne moins quatre. En poursuivant, nous pouvons supprimer les deux lignes du bas puisque quatre plus un égal cinq. Et moins quatre plus moins un est égal à moins cinq. Cela indique que les nombres entre nos parenthèses sont moins deux et un autre moins deux. Il en résulte deux parenthèses, 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 moins deux.
Nous pourrions développer tout cela pour revenir à notre équation initiale. Mais dans ce cas, on nous a demandé de la résoudre. Comme 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 moins deux est égal à zéro, l’une de ces parenthèses individuelles doit également être égale à zéro : soit la première parenthèse 𝑥 moins deux est égale à zéro, soit la deuxième parenthèse 𝑥 moins deux est égale à zéro. Lorsque nous ajoutons deux aux deux côtés de ces équations pour les équilibrer, nous obtenons les réponses 𝑥 est égal à deux ou 𝑥 est égal à deux.
À ce point, la plupart des équations du second degré auraient deux solutions distinctes. Cependant, comme nos parenthèses étaient similaires, nous n'avions qu'une seule solution : 𝑥 égale deux. Par conséquent, la solution ou la réponse à l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre égale zéro est 𝑥 égale deux. Nous pouvons réintégrer cette valeur dans l’équation d’origine pour nous assurer d’obtenir zéro.
