Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un carré dont les sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ont pour coordonnées respectives un, moins huit ; trois, moins 10 ; et cinq, moins huit. En utilisant des vecteurs, déterminez les coordonnées du sommet 𝐷 et l’aire du carré.
Tout d’abord, il est important de se rappeler qu’il s’agit ici d’un carré. Nous savons que dans un carré, les côtés opposés sont parallèles et de longueur égale. Nous savons également que les côtés adjacents sont à angle droit les uns par rapport aux autres, bien que cela puisse être utile ou non lors de la résolution de cette question. On nous dit aussi que 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les points un, moins huit ; trois, moins 10 ; et cinq, moins huit, respectivement. Et donc nous pourrions choisir de tracer ces points sur un repère comme indiqué.
Il s’ensuit que 𝐷, le quatrième sommet du carré, se trouverait quelque part ici. Et en fait, il existe plusieurs façons d’utiliser les vecteurs pour déterminer les coordonnées exactes de ce point. Maintenant, cela peut ne pas ressembler à cela sur mon diagramme, mais nous savons que les vecteurs joignant 𝐴 à 𝐷 et 𝐵 à 𝐶 doivent être parallèles et de longueur égale.
Commençons donc par trouver le vecteur 𝐵𝐶. Une façon de le faire est de soustraire le vecteur 𝑂𝐵 du vecteur 𝑂𝐶. En tant que vecteur colonne, 𝑂𝐶 est cinq, moins huit et 𝑂𝐵 est trois, moins 10. Pour soustraire des vecteurs, nous soustrayons simplement leurs composantes individuelles. Cinq moins trois font deux. Et moins huit moins moins 10 est aussi deux. Nous voyons donc que le vecteur 𝐵𝐶 est deux, deux.
Cela signifie que le vecteur 𝐴𝐷 doit également être deux, deux. Et une façon d’aller du point 𝑂 à 𝐷 pour nous aider à trouver le vecteur 𝑂𝐷 serait d’aller de 𝑂 à 𝐴 - c’est-à-dire le vecteur 𝑂𝐴 – puis passer de 𝐴 à 𝐷. Nous ajoutons donc le vecteur 𝐴𝐷. 𝑂𝐴 est le vecteur un, moins huit. Et nous venons de trouver que le vecteur 𝐴𝐷 est deux, deux. La somme de ceux-ci est trois, moins six. Et nous constatons que le vecteur 𝑂𝐷 est trois, moins six. Les coordonnées de 𝐷 doivent donc être trois, moins six.
La deuxième partie de cette question nous demande de trouver l’aire du carré. Nous rappelons donc que, pour trouver l’aire du carré, nous mettons simplement sa largeur ou sa hauteur au carré. Alors, comment pouvons-nous trouver la largeur ou la hauteur de notre carré ? Eh bien, c’est la longueur du segment entre deux sommets adjacents. Nous allons considérer les sommets 𝐵 et 𝐶. Nous savons que le vecteur 𝐵𝐶 est deux, deux. Cela signifie que la longueur du segment joignant 𝐵 à 𝐶 est la norme de ce vecteur. Et nous trouvons la norme du vecteur en trouvant la racine carrée de la somme des carrés de chacune de ses composantes.
Voilà donc la racine carrée de deux au carré plus deux au carré, qui est la racine carrée de huit. Et nous voyons que chaque côté de notre carré doit donc être la racine carrée de huit unités. L’aire est le carré de cette valeur. C’est la racine carrée de huit au carré, qui est bien sûr huit. L’aire du carré est de huit unités carrées.
