Transcription de la vidéo
Une barre non uniforme 𝐴𝐵 de poids 40 newtons et une longueur 80 centimètres est suspendue verticalement à partir de son milieu par une chaine légère, et elle se met en équilibre en position horizontale quand un poids de 29 newtons est suspendu à son extrémité 𝐴. Déterminez la distance 𝑥 entre le point en lequel le poids de la barre agit et l’extrémité 𝐴. Après avoir retiré le poids en 𝐴, déterminez l’intensité de la force verticale qui serait nécessaire pour maintenir la barre en équilibre dans une position horizontale lorsqu’elle agit à l’extrémité 𝐵.
Pour les deux parties de cette question, nous cherchons la distance 𝑥 et l’intensité de la force verticale agissant en 𝐵 lorsque le poids est retiré, on nous dit la barre sera en équilibre, ceci signifie donc que deux conditions sont remplies. Tout d’abord, la somme de toutes les forces agissant sur la barre est nulle. En d’autres termes, il n’y a pas de force résultante. Deuxièmement, la somme de tous les moments des forces pour un point est également nulle. Il n’y a donc pas de moment résultant agissant n’importe où sur la barre. Si la direction d’une force est perpendiculaire à la droite reliant l’endroit où cette force agit et un point de référence, le moment de cette force pour le point de référence est égal à l’intensité de la force multipliée par la distance entre l’endroit où la force agit et le point de référence.
Nous pouvons maintenant utiliser ces conditions et les informations qui nous sont données sur les forces et les distances pour trouver ce que nous recherchons. Commençons par dessiner un schéma pour organiser les informations que nous avons sur les forces présentes et où elles agissent. Voici notre barre non uniforme suspendue en son milieu par une chaine légère. Nous avons dessiné la barre parfaitement horizontale parce qu’on nous a dit dans l’énoncé qu’elle est en équilibre horizontal.
Ajoutons maintenant quelques forces au schéma. Afin de maintenir cet équilibre, on nous dit qu’il y a un poids d’une intensité de 29 newtons qui est suspendu à l’extrémité 𝐴. On nous dit également que le poids de la barre est de 40 newtons, mais comme la barre est non uniforme, nous ne savons pas où ce poids agit. Nous savons cependant, que ce poids doit agir plus près de 𝐵 que de 𝐴 car sinon toutes les forces seraient sur un côté par rapport au milieu et la barre serait en déséquilibre.
Enfin, il y a une autre force non explicitement mentionnée dans l’énoncé. C’est la tension dans la chaine qui maintient la barre et s’oppose à la traction vers le bas de son propre poids et du poids supplémentaire en 𝐴. Puisque nous n’avons pas de valeur pour cette force de tension, nous l’appellerons simplement 𝑇. Pour compléter ce schéma, nous devons inclure les distances qui nous sont données. Nous savons que la longueur totale de la barre est de 80 centimètres, donc la distance à partir du milieu où la chaine est attachée à chaque extrémité est de 40 centimètres. Et la distance entre 𝐴 et le poids de la barre non uniforme est définie comme la distance 𝑥.
D’accord, maintenant tout ce que nous devons faire est d’appliquer nos conditions d’équilibre pour trouver ce que nous recherchons. Une approche sensée consisterait à utiliser notre condition pour les forces afin de trouver la tension inconnue dans la chaine puis utiliser notre condition pour les moments des forces pour déterminer 𝑥. Si nous adoptons cette approche, il s’avère que peu importe ce que nous choisissons pour notre point de référence lorsque nous calculons ces moments des forces. Cependant, afin d’illustrer l’importance des points de référence lors du calcul des moments de forces, nous allons choisir intelligemment notre point de référence, nous devons donc utiliser cette deuxième condition pour ne jamais avoir besoin de calculer la valeur de la tension inconnue 𝑇.
Pour supprimer la tension des calculs, notez que le moment de la force est défini comme l’intensité de la force multipliée par la distance au point de référence. Donc si la force agit exactement au point de référence, la distance au point de référence est nulle. Et donc le moment de cette force pour le point de référence est également nul. Nous allons donc prendre notre point de référence pour calculer les moments au centre de la barre. Puisque la tension agit au milieu de la barre, le moment de la tension pour ce point est nul. Il suffit donc d’équilibrer les moments du poids de la barre elle-même et le moment du poids supplémentaire fixé en 𝐴.
Pour établir l’équation, notez que 29 newtons et 40 newtons agissent tous les deux dans la même direction, mais ils agissent dans des sens opposés par rapport à notre point de référence. Nous pouvons le voir en imaginant un cercle tracé autour du point de référence. Une force descendante à droite du point de référence se déplace dans le sens horaire autour du cercle, tandis qu’une force descendante à gauche du point de référence se déplace dans le sens antihoraire autour du cercle. Ceci signifie que les moments de chacune de ces forces pour le point de référence ont des signes opposés.
Prenons arbitrairement le moment où la force agissant sur 𝐴 est positive de sorte que le poids de la barre fournit un moment négatif. La distance entre la force en 𝐴 et le milieu est de 40 centimètres, donc son moment est 29 fois 40. Le poids de la barre a une intensité de 40 newtons, et elle agit à cette distance du point de référence. Bien que nous ne connaissions pas directement cette distance, nous savons que cette distance de 40 newtons jusqu’au milieu plus 40 centimètres à partir du milieu jusqu’à 𝐴 est exactement la distance 𝑥. Donc cette distance est en fait 𝑥 moins 40.
Ainsi le moment du poids de la barre pour son milieu est moins 40 fois 𝑥 moins 40, et le moment total est nul. Maintenant nous avons juste besoin de résoudre cette équation pour 𝑥. Les deux termes ont un facteur de 40, donc divisons les deux membres par 40. Nous avons 29 moins 𝑥 moins 40 est égal à zéro parce que zéro divisé par 40 est toujours zéro. En ajoutant 𝑥 moins 40 aux deux membres, 29 est égal à 𝑥 moins 40, que nous remplaçons dans notre schéma parce que nous en aurons besoin plus tard. Enfin, ajouter 40 à 𝑥 moins 40 nous donne 𝑥 et ajouter 40 à 29 nous donne 69. Donc 𝑥, la distance depuis laquelle le poids agit sur l’extrémité 𝐴, est de 69 centimètres. Et c’est la moitié de notre réponse.
Maintenant, nous devons envisager une situation différente. Le poids en 𝐴 a été supprimé. Et maintenant il y a une force verticale agissant en 𝐵 pour maintenir la barre en équilibre. Modifions notre schéma pour refléter ce changement. Nous avons supprimé le poids de 29 newton agissant sur 𝐴 et ajouté une force verticale d’intensité inconnue 𝐹 agissant sur 𝐵. Puisque la barre est toujours en équilibre dans sa position horizontale, nous savons que nos conditions précédentes sont toujours valables. Également comme avant, nous n’avons besoin que de la condition pour les moments de force tant que nous prenons le point de référence comme le centre de la barre pour que les effets de la tension inconnue disparaissent.
Effaçons nos calculs précédents pour faire de la place au nouveaux. Il faut maintenant tenir compte de deux forces, le poids de 40 newton agissant à 29 centimètres du milieu de la barre et la force verticale 𝐹 agissant à 40 centimètres du milieu de la barre. Si nous gardons notre choix précédent pour le signe des moments, la force de 40 newtons est toujours dans le sens horaire autour du point de référence. Son moment est donc moins 40 fois 29. Cependant, la force verticale en 𝐵, bien qu’elle soit également à droite du point de référence, pointe vers le haut et non vers le bas. Elle pointe donc dans le sens antihoraire par rapport au point de référence, son moment est donc positif.
Nous avons donc plus 𝐹 fois 40, la distance de 𝐵 au milieu de la barre, qui est le moment de la force 𝐹. Et comme précédemment, ceci nous donne une expression, moins 40 fois 29 plus 𝐹 fois 40, qui doit donner zéro. Il y a un facteur de 40 dans les deux termes du membre gauche, nous divisons donc les deux membres par 40 en supposant que zéro divisé par 40 est toujours égal à zéro. Ceci nous donne moins 29 plus 𝐹 est égal à zéro. Et en ajoutant 29 aux deux membres, nous constatons que 𝐹, l’intensité de la force agissant en 𝐵 qui maintient la barre en équilibre, est exactement de 29 newtons.
Il convient de souligner à nouveau que la raison pour laquelle nous avons pu trouver ces réponses sans se référer à la tension dans la chaine est que nous avons judicieusement choisi notre point de référence afin que la tension ne joue aucun rôle dans notre calcul du moment résultant. Il convient également de mentionner que cela n’est utile que parce que nous ne cherchions pas à trouver la tension dans la chaine. Si nous avions cherché à trouver la tension, nous aurions pu la trouver en utilisant notre condition pour la force résultante.
